{"id":108,"date":"2022-01-20T13:36:45","date_gmt":"2022-01-20T12:36:45","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.hjgsoft.nl\/?page_id=108"},"modified":"2024-03-26T10:55:37","modified_gmt":"2024-03-26T09:55:37","slug":"fibonacci-sommen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/","title":{"rendered":"Fibonacci sommen"},"content":{"rendered":"<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de5f2e56b68\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69de5f2e56b68\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#fibonacci\">Fibonacci<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#vragen\">Vragen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#guldensnede\">Gulden-snede<\/a> <\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Al lezend in het boek\u00a0MindF*ck\u00a0van Victor\u00a0Mids\u00a0en Oscar\u00a0Verpoort\u00a0werd ik ge\u00efnspireerd tot het schrijven van dit stukje.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">In het boek komt (in mijn eigen bewoordingen) de volgende truc voor:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><em>\u201cVraag iemand twee willekeurige getallen onder elkaar te schrijven (niet al te groot, want de persoon moet ermee gaan rekenen). Laat de persoon nu deze twee getallen optellen en de som onder het tweede getal zetten. Vraag nu aan deze persoon om het tweede en derde getal bij elkaar op te tellen en deze som daar weer onder te zetten. Laat hem\/haar dit herhalen totdat er 10 getallen onder elkaar staan.<\/em><\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><em>Nu zeg je dat je in een oogwenk deze 10 getallen bij elkaar zult optellen. De persoon laat het blaadje met de 10 getallen aan je zien en je zet er een streep onder met daaronder de som van de getallen.<\/em><\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><em>Laat de persoon deze getallen ook bij elkaar optellen (rekenmachine toegestaan) en hij\/zij zal verbaasd zijn over de uitkomst. Jij had het namelijk goed!<\/em><\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><em>\u00a0<\/em><em>De truc is als volgt: Kijk naar het zevende getal en vermenigvuldig dit met 11 (x10 + 1) en zet dit getal onder de streep. Onafhankelijk van de gekozen getallen werkt dit altijd.\u201d<\/em><\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Tot zover het boek. Maar hoe zit dit nu? Daar geeft het boek geen antwoord op. Dus gaan we zelf maar aan de slag.<\/p>\n<h3><a id=\"fibonacci\"><\/a>Fibonacci<\/h3>\n<p style=\"font-weight: 400;\">De meeste mensen hebben wel gehoord over de rij van Fibonacci. Deze rij bestaat uit de volgende getallen:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \u2026<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">en is opgebouwd volgens een vast patroon: De eerste twee termen zijn 1 en de daarop volgende termen zijn de som van de voorgaande twee termen.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">In formulevorm:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\left\\{\\begin{matrix}F_{1}=F_{2}=1\\\\F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\\forall n&gt;2\\end{matrix}\\right.<\/div>\n<p style=\"font-weight: 400;\">We defini\u00ebren nu de Fibonacci-som als volgt:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">s_{n}=\\sum_{i=1}^{n}F_{i}<\/div>\n<p style=\"font-weight: 400;\">S<em><sub>n<\/sub><\/em>\u00a0is dus de cumulatieve som van alle Fibonacci-getallen t\/m de\u00a0<em>n<\/em><sup>e<\/sup>.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Kijk even naar de volgende tabel:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"57\">n<\/td>\n<td width=\"54\">1<\/td>\n<td width=\"54\">2<\/td>\n<td width=\"54\">3<\/td>\n<td width=\"54\">4<\/td>\n<td width=\"55\">5<\/td>\n<td width=\"55\">6<\/td>\n<td width=\"55\">7<\/td>\n<td width=\"56\">8<\/td>\n<td width=\"56\">9<\/td>\n<td width=\"53\">10<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"57\">Fib<sub>n<\/sub><\/td>\n<td width=\"54\">1<\/td>\n<td width=\"54\">1<\/td>\n<td width=\"54\">2<\/td>\n<td width=\"54\">3<\/td>\n<td width=\"55\"><span style=\"color: #00ff00;\">5<\/span><\/td>\n<td width=\"55\">8<\/td>\n<td width=\"55\"><span style=\"color: #00ff00;\">13<\/span><\/td>\n<td width=\"56\">21<\/td>\n<td width=\"56\">34<\/td>\n<td width=\"53\">55<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"57\">S<sub>n<\/sub><\/td>\n<td width=\"54\">1<\/td>\n<td width=\"54\">2<\/td>\n<td width=\"54\">4<\/td>\n<td width=\"54\">7<\/td>\n<td width=\"55\">12<\/td>\n<td width=\"55\"><span style=\"color: #ff0000;\">20<\/span><\/td>\n<td width=\"55\">33<\/td>\n<td width=\"56\">54<\/td>\n<td width=\"56\">88<\/td>\n<td width=\"53\"><span style=\"color: #ff0000;\">143<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"font-weight: 400;\">In bovenstaande tabel zijn S<sub>6<\/sub>\u00a0en S<sub>10<\/sub> rood en F<sub>5<\/sub>\u00a0en F<sub>7<\/sub>\u00a0groen gemarkeerd. Ik kan namelijk S<sub>6<\/sub>\u00a0uitdrukken in F<sub>5<\/sub>\u00a0en evenzo S<sub>10<\/sub>\u00a0in S<sub>7<\/sub>\u00a0en wel als volgt:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">S<sub>6<\/sub>\u00a0= 4 x F<sub>5<\/sub>\u00a0en S<sub>10<\/sub>\u00a0= 11 x F<sub>7<\/sub>.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Nu kan ik natuurlijk iedere S<em><sub>n<\/sub><\/em>\u00a0in een F<em><sub>m<\/sub><\/em>\u00a0uitdrukken (bijvoorbeeld S<sub>5<\/sub>\u00a0= 6 x F<sub>3<\/sub>), maar met deze twee is toch iets bijzonders aan de hand.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">We maken even een nieuwe tabel:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"57\">n<\/td>\n<td width=\"54\">1<\/td>\n<td width=\"54\">2<\/td>\n<td width=\"54\">3<\/td>\n<td width=\"54\">4<\/td>\n<td width=\"55\">5<\/td>\n<td width=\"55\">6<\/td>\n<td width=\"55\">7<\/td>\n<td width=\"56\">8<\/td>\n<td width=\"56\">9<\/td>\n<td width=\"53\">10<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"57\">Fib<sub>n<\/sub><\/td>\n<td width=\"54\">4<\/td>\n<td width=\"54\">7<\/td>\n<td width=\"54\">11<\/td>\n<td width=\"54\">18<\/td>\n<td width=\"55\"><span style=\"color: #00ff00;\">29<\/span><\/td>\n<td width=\"55\">47<\/td>\n<td width=\"55\"><span style=\"color: #00ff00;\">76<\/span><\/td>\n<td width=\"56\">123<\/td>\n<td width=\"56\">199<\/td>\n<td width=\"53\">322<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"57\">S<sub>n<\/sub><\/td>\n<td width=\"54\">4<\/td>\n<td width=\"54\">11<\/td>\n<td width=\"54\">22<\/td>\n<td width=\"54\">40<\/td>\n<td width=\"55\">69<\/td>\n<td width=\"55\"><span style=\"color: #ff0000;\">116<\/span><\/td>\n<td width=\"55\">192<\/td>\n<td width=\"56\">315<\/td>\n<td width=\"56\">514<\/td>\n<td width=\"53\"><span style=\"color: #ff0000;\">836<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En nog steeds geldt: S<sub>6<\/sub>\u00a0= 4 x F<sub>5<\/sub>\u00a0en S<sub>10<\/sub>\u00a0= 11 x F<sub>7<\/sub>\u00a0(merk op dat S<sub>5<\/sub>\u00a0= 6 3\/11 x F<sub>3<\/sub>).<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Dit verdient nader onderzoek.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">In Excel even een grotere tabel gemaakt:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-114 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/fib05.png\" alt=\"\" width=\"987\" height=\"627\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/fib05.png 987w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/fib05-300x191.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/fib05-768x488.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 987px) 100vw, 987px\" \/><\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Wanneer je in deze tabel verschillende waarden voor F<sub>1<\/sub>\u00a0en F<sub>2<\/sub>\u00a0invult dan blijkt dat de gele cellen onveranderlijk blijven<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Uit de tabel haal ik de volgende onveranderlijke\u00a0S<em><sub>n<\/sub><\/em>\u2019s:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">S<sub>6<\/sub>\u00a0= 4 x F<sub>5<br \/>\n<\/sub>S<sub>10<\/sub>\u00a0= 11 x F<sub>7<br \/>\n<\/sub>S<sub>14<\/sub>\u00a0= 29 x F<sub>9<br \/>\n<\/sub>S<sub>18<\/sub>\u00a0= 76 x F<sub>11<br \/>\n<\/sub>\u2026<\/p>\n<h3><a id=\"vragen\"><\/a>Vragen<\/h3>\n<p style=\"font-weight: 400;\">De volgende vragen dringen zich nu op:<\/p>\n<ol>\n<li style=\"font-weight: 400;\">Kunnen we een formule bedenken voor iedere \u201cbijzondere\u201d S<em><sub>n<\/sub><\/em>\u00a0uitgedrukt als een getal (de vermenigvuldiger) keer een F<em><sub>m<\/sub><\/em>?<\/li>\n<li style=\"font-weight: 400;\">Kunnen we de vermenigvuldiger uit de formule van vraag 1 bepalen?<\/li>\n<li style=\"font-weight: 400;\">Kunnen we aantonen dat voor de bijzondere\u00a0S<em><sub>n<\/sub><\/em>\u2019s\u00a0de vermenigvuldiger invariant is?<\/li>\n<\/ol>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Uit de voorbeelden en uit de grote tabel blijkt dat:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">S<sub>4<em>n<\/em>+2<\/sub>\u00a0=\u00a0V<em><sub>n<\/sub><\/em>\u00a0x F<sub>2<em>n<\/em>+3<\/sub>.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Dit is dus het antwoord op vraag 1.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">We weten uit de voorbeelden dat:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">V<sub>1<\/sub>\u00a0= 4,<br \/>\nV<sub>2<\/sub>\u00a0= 11,<br \/>\nV<sub>3<\/sub>\u00a0= 29,<br \/>\nV<sub>4<\/sub>\u00a0= 76\u2026<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Deze rij getallen biedt niet meteen houvast om een gemakkelijke regel voor V<sub>5<\/sub>, V<sub>6<\/sub>\u2026V<em><sub>n<\/sub><\/em>\u00a0te bepalen. Hiervoor moeten we wat verder onderzoek doen.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Laten we eens kijken naar S<sub>10<\/sub>\u00a0met als startgetallen F<sub>1<\/sub>=A=4 en F<sub>2<\/sub>=B=7:<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a0<em>n<\/em><\/td>\n<td width=\"57\">\u00a0F<em><sub>n<\/sub><\/em><\/td>\n<td width=\"57\">\u00a0\u00a0A<\/td>\n<td width=\"28\"><\/td>\n<td width=\"57\">\u00a0\u00a0B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a01<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a0\u00a04<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a01A<\/td>\n<td width=\"28\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a02<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a0\u00a07<\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"28\"><\/td>\n<td width=\"57\">\u00a01B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a03<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a011<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a01A<\/td>\n<td width=\"28\">+<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a01B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a04<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a018<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a01A<\/td>\n<td width=\"28\">+<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a02B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a05<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a029<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a02A<\/td>\n<td width=\"28\">+<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a03B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a06<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a047<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a03A<\/td>\n<td width=\"28\">+<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a05B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a07<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a076<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a05A<\/td>\n<td width=\"28\">+<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a08B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a08<\/td>\n<td width=\"57\">123<\/td>\n<td width=\"57\">\u00a08A<\/td>\n<td width=\"28\">+<\/td>\n<td width=\"57\">13B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">\u00a09<\/td>\n<td width=\"57\">199<\/td>\n<td width=\"57\">13A<\/td>\n<td width=\"28\">+<\/td>\n<td width=\"57\">21B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\">10<\/td>\n<td width=\"57\">322<\/td>\n<td width=\"57\">21A<\/td>\n<td width=\"28\">+<\/td>\n<td width=\"57\">34B<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\"><\/td>\n<td width=\"57\">&#8212;+<\/td>\n<td width=\"57\">&#8212;+<\/td>\n<td width=\"28\"><\/td>\n<td width=\"57\">&#8212;+<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"47\"><\/td>\n<td width=\"57\">836<\/td>\n<td width=\"57\">55A<\/td>\n<td width=\"28\"><\/td>\n<td width=\"57\">88B<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"font-weight: 400;\">S<sub>10<\/sub>\u00a0= 836 = 55A + 88B = 11(5A+8B). Maar nu is 5A+8B gelijk aan F<sub>7<\/sub>\u00a0(kijk maar in de tabel hierboven). Dus is S<sub>10<\/sub>\u00a0= 11 x F<sub>7<\/sub>. A en B zijn hier willekeurig en zowel S<sub>10<\/sub>\u00a0als F<sub>7<\/sub>\u00a0zijn in dezelfde A en B uitgedrukt (nl. 5A+8B) waarmee de vermenigvuldiger (11) dus invariant is.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Hiermee is dus (min of meer) vraag 3 beantwoord.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Kijk nog eens goed naar de factoren van A en B in de bovenstaande tabel. De factoren bij A en bij B volgen weer keurig de (standaard) rij van Fibonacci!<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En dit geeft ons houvast voor een formule voor de vermenigvuldigers\u00a0V<em><sub>n<\/sub><\/em>.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">V<sub>2<\/sub>=11=(F<sub>10<\/sub>-F<sub>11<\/sub>-1)\/(F<sub>5<\/sub>-F<sub>6<\/sub>),<br \/>\nV<em><sub>n<\/sub><\/em>=(F<sub>4<em>n<\/em>+2<\/sub>+F<sub>4<em>n<\/em>+3<\/sub>)\/(F<sub>2<em>n<\/em>+1<\/sub>+F<sub>2<em>n<\/em>+2<\/sub>).<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En hiermee is ook vraag 2 opgelost.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">We hebben dus voor de mooie\u00a0S<em><sub>n<\/sub><\/em>\u2019s\u00a0de volgende formule:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">S_{4n+2}=\\frac{F_{4n+2}+F_{4n+3}\\text{ - }1}{F_{2n+1}+F_{2n+2}}\\cdot F_{2n+3}<\/div>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Tot slot zou het mooi zijn als we in de formule voor S<em><sub>n<\/sub><\/em>\u00a0alleen maar afhankelijk zouden zijn van gewone getallen al dan niet in combinatie met\u00a0<em>n<\/em>, ofwel dat we S<em><sub>n<\/sub><\/em>\u00a0kunnen uitdrukken in termen van\u00a0<em>n<\/em>.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Dit betekent dat we dus een formule voor\u00a0F<em><sub>n<\/sub><\/em>\u00a0uitgedrukt in\u00a0<em>n<\/em>\u00a0moeten hebben.<\/p>\n<h3><a id=\"guldensnede\"><\/a>Gulden-snede<\/h3>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Welnu, deze is er:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">F_{n}=\\frac{\\left ( \\frac{1+\\sqrt{5}}{2} \\right )^{n}\\text{ - }\\left ( \\frac{1\\text{ - }\\sqrt{5}}{2} \\right )^{n}}{\\sqrt{5}}<\/div>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Deze formule is (vrij eenvoudig) te bewijzen door middel van volledige inductie, maar dat laat ik graag aan de lezer over.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">De getallen (1+\u221a5)\/2 en (1-\u221a5)\/2 komen niet zo maar uit de lucht vallen.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Wanneer je kijkt naar het quoti\u00ebnt van twee opeenvolgende Fibonacci getallen, dus F<em><sub>m<\/sub><\/em>\/F<em><sub>m<\/sub><\/em><sub>-1<\/sub>, en je gaat steeds verder in de rij dat blijkt dat het quoti\u00ebnt naar een bepaalde limiet-waarde toegaat. Deze limiet-waarde blijkt (1+\u221a5)\/2 te zijn.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Kijk maar eens:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Stel :<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">L=\\lim_{n \\to \\infty }\\frac{F_{n}}{F_{n\\text{ - }1}}=\\lim_{n \\to \\infty }\\frac{F_{n+1}}{F_{n}}<\/div>\n<p style=\"font-weight: 400;\">De tweede = heeft te maken met de eigenschappen van limieten (<em>n<\/em>\u00a0gaat toch naar oneindig).<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Denk nog even aan de\u00a0recurente\u00a0betrekking van\u00a0F<em><sub>n<\/sub><\/em>:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">F_{n+1}=F_{n}+F_{n\\text{ - }1}<\/div>\n<p style=\"font-weight: 400;\">dan krijgen we nu:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">L=\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{F_{n+1}}{F_n}=\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{F_{n}+F_{n\\text{ - }1}}{F_n}=\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{F_{n}}{F_n}+\\lim_{n \\to \\infty}\\frac{F_{n\\text{ - }1}}{F_n}=1+\\frac{1}{L}<\/div>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Bedenkt bij de laatste limiet dat F<em><sub>n<\/sub><\/em><sub>-1<\/sub>\/F<em><sub>n<\/sub><\/em>\u00a0= 1 \/ (F<em><sub>n<\/sub><\/em>\/F<em><sub>n<\/sub><\/em><sub>-1<\/sub>).<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">We hebben dus\u00a0<em>L<\/em>\u00a0= 1 + 1\/<em>L<\/em>. Dat kunnen we herschrijven als\u00a0<em>L<\/em><sup>2<\/sup>\u00a0=\u00a0<em>L<\/em>\u00a0+ 1 ofwel\u00a0<em>L<\/em><sup>2<\/sup>\u00a0\u2013\u00a0<em>L<\/em>\u00a0\u2013 1 = 0.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En met behulp van de abc-formule vinden we voor\u00a0<em>L<\/em>\u00a0de waardes (1+\u221a5)\/2 en (1-\u221a5)\/2.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Tussen haakjes (het getal (1+\u221a5)\/2 staat ook wel bekend als de waarde van de gulden-snede en wordt ook wel\u00a0\u03c6\u00a0(phi) genoemd).<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Met al deze kennis kunnen we nu een formule voor mooie\u00a0S<em><sub>n<\/sub><\/em>\u2019s\u00a0uitgedrukt in\u00a0<em>n<\/em>\u00a0geven:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">S_{4n+2}=\\frac{\\frac{\\left ( \\frac{1+\\sqrt{5}}{2} \\right )^{4n+2}\\text{ - }\\left ( \\frac{1\\text{ - }\\sqrt{5}}{2} \\right )^{4n+2}}{\\sqrt{5}}+\\frac{\\left ( \\frac{1+\\sqrt{5}}{2} \\right )^{4n+3}\\text{ - }\\left ( \\frac{1\\text{ - }\\sqrt{5}}{2} \\right )^{4n+3}}{\\sqrt{5}}\\text{ - }1}{\\frac{\\left ( \\frac{1+\\sqrt{5}}{2} \\right )^{2n+1}\\text{ - }\\left ( \\frac{1\\text{ - }\\sqrt{5}}{2} \\right )^{2n+1}}{\\sqrt{5}}+\\frac{\\left ( \\frac{1+\\sqrt{5}}{2} \\right )^{2n+2}\\text{ - }\\left ( \\frac{1\\text{ - }\\sqrt{5}}{2} \\right )^{2n+2}}{\\sqrt{5}}}\\cdot \\frac{\\left ( \\frac{1+\\sqrt{5}}{2} \\right )^{2n+3}\\text{ - }\\left ( \\frac{1\\text{ - }\\sqrt{5}}{2} \\right )^{2n+3}}{\\sqrt{5}}<\/div>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Wat kan wiskunde toch mooi zijn!<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 8pt;\">[<a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/raadseltjes\/oplossing-raadsel-3\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Oplossing raadsel 3<\/a>]<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Inleiding Al lezend in het boek\u00a0MindF*ck\u00a0van Victor\u00a0Mids\u00a0en Oscar\u00a0Verpoort\u00a0werd ik ge\u00efnspireerd tot het schrijven van dit stukje. In het boek komt (in mijn eigen bewoordingen) de volgende truc voor: \u201cVraag iemand twee willekeurige getallen onder elkaar te schrijven (niet al te groot, want de persoon moet ermee gaan rekenen). Laat de persoon nu deze twee getallen [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2061,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-108","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Fibonacci sommen - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Fibonacci sommen - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Inleiding Al lezend in het boek\u00a0MindF*ck\u00a0van Victor\u00a0Mids\u00a0en Oscar\u00a0Verpoort\u00a0werd ik ge\u00efnspireerd tot het schrijven van dit stukje. In het boek komt (in mijn eigen bewoordingen) de volgende truc voor: \u201cVraag iemand twee willekeurige getallen onder elkaar te schrijven (niet al te groot, want de persoon moet ermee gaan rekenen). Laat de persoon nu deze twee getallen [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-03-26T09:55:37+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/fib05.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"7 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/fibonacci-sommen\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/fibonacci-sommen\\\/\",\"name\":\"Fibonacci sommen - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/fibonacci-sommen\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/fibonacci-sommen\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/01\\\/fib05.png\",\"datePublished\":\"2022-01-20T12:36:45+00:00\",\"dateModified\":\"2024-03-26T09:55:37+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/fibonacci-sommen\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/fibonacci-sommen\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/fibonacci-sommen\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/01\\\/fib05.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/01\\\/fib05.png\",\"width\":987,\"height\":627},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/fibonacci-sommen\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Artikel 00-0F\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":5,\"name\":\"Fibonacci sommen\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Fibonacci sommen - Wiskunst","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Fibonacci sommen - Wiskunst","og_description":"Inleiding Al lezend in het boek\u00a0MindF*ck\u00a0van Victor\u00a0Mids\u00a0en Oscar\u00a0Verpoort\u00a0werd ik ge\u00efnspireerd tot het schrijven van dit stukje. In het boek komt (in mijn eigen bewoordingen) de volgende truc voor: \u201cVraag iemand twee willekeurige getallen onder elkaar te schrijven (niet al te groot, want de persoon moet ermee gaan rekenen). Laat de persoon nu deze twee getallen [&hellip;]","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2024-03-26T09:55:37+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/fib05.png","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"7 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/","name":"Fibonacci sommen - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/fib05.png","datePublished":"2022-01-20T12:36:45+00:00","dateModified":"2024-03-26T09:55:37+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/#primaryimage","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/fib05.png","contentUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/fib05.png","width":987,"height":627},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/fibonacci-sommen\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Artikel 00-0F","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/"},{"@type":"ListItem","position":5,"name":"Fibonacci sommen"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/108","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=108"}],"version-history":[{"count":42,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/108\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2043,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/108\/revisions\/2043"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2061"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=108"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}