\nOp school heeft u geleerd dat er twee methodes zijn om een stelsel op te lossen:
\n1. de substitutie-methode
\n2. de eliminatie-methode
\nLaten we aan de hand van een eenvoudig voorbeeld beide methodes nog eens doorlopen:
\nBekijk het stelsel:
\n\u00a0I: 2x-2y=-2<\/span>
\nII: 3x+2y-7=0<\/span>
\nVoor het gemak zetten we de onderste (II) ook in de volgorde van de eerste (I):
\n\u00a0I: 2x-2y=-2<\/span>
\nII: 3x+2y=7<\/span>
\nEerst de substitutie-methode: Druk x<\/em> uit in y<\/em> of andersom.
\nVergelijking I kan ik herschrijven als 2x=2y-2<\/em> en als ik alle factoren door 2 deel: x=y-1<\/em>.
\nNu kan ik de gevonden x<\/em> in II gaan invullen:
\n3(y-1)+2y=7 ==> 3y-3+2y=7 ==> 5y=10 ==> y=2<\/em>
\nWe weten (zie 3 regels terug) dat x=y-1<\/em>, dus x=2-1=1<\/em>.
\nEn hiermee hebben we dit stelsel opgelost.
\nDe tweede methode is die van de eliminatie.
\n\u00a0 \u00a0I: 2x-2y=-2<\/span>
\n\u00a0 II: 3x+2y= 7 \u00a0<\/span>(ik ga I en II optellen)
\nI+II: ————————+<\/span>
\n\u00a0 \u00a0 \u00a0 5x+0 = 5<\/span>
\nDe y<\/em> is hier meteen weggevallen: Dus 5x=5 ==> x=1<\/em>; invullen in I (of II) geeft: 2(1)-2y=-2 ==> -2y=-4 ==> y=2<\/em>.
\nStelsel wederom opgelost.
\nOver het algemeen is de tweede methode (iets) sneller, al moet je vaak een van beide of beide vergelijkingen “verbouwen” zodat ze makkelijk van elkaar zijn af te trekken of op te tellen.
\nDe methodes worden steeds moeilijker wanneer er meer vergelijkingen en meer onbekenden voorkomen.
\nWe moeten de boel wat gaan versimpelen. Om dat te doen gaan we met matrices werken. Alle overbodige ballast gooien we over boord.<\/p>\n
Matrix vegen<\/h3>\n
In het voorbeeld zijn eigenlijk alleen de co\u00ebffici\u00ebnten en de losse getallen interessant omdat we daarmee rekenen. De x<\/em>-en en y<\/em>-en zijn tijdens dat proces alleen maar lastig (om maar niet te spreken over een stelsel van 30 vergelijkingen met 30 onbekenden, want dan hebben we geen letters genoeg en moeten we indexeren o.i.d). In de eerste ronde wordt het eerste element van de eerste rij op 1 gezet door alle getallen van de eerste rij te vermenigvuldigen met het omgekeerde van het eerste element van de rij (de reciproque of reciproke dus) gevolgd door:<\/em> Dit wordt herhaald voor alle rijen waarbij het woordje eerste<\/em> wordt vervangen door tweede<\/em>, derde<\/em> etc. 1<\/strong> 0 | 1<\/strong><\/span> En nu staat achter de verticale streep de oplossing van x<\/em> (1e kolom) en y<\/em> (2e kolom). Zet eerst een werkblad op met de co\u00ebffici\u00ebnten:<\/p>\n Klik in de tab HJGSoft<\/em> van het lint op de knop Kies een wizard<\/em> en klik daar op de optie Los Stelsel Op<\/em>. Het scherm bestaat uit twee tabbladen. Vul het eerste als volgt:<\/p>\n Klik nu op het tabblad Opmaak Berekening<\/em> en maak de gewenste keuzes:<\/p>\n Klik op de knop OK<\/em> en bekijk het resultaat:<\/p>\n LosStelselOp is onderdeel van de Excel-Handigheidjes van HJGSoft. Meer informatie vindt u op de pagina Excel. U kunt de tool downloaden op de Download-pagina en kunt deze daarna gratis 10 dagen uitproberen.<\/em><\/span><\/p>\n Opmerking<\/strong>: De verwijzingen naar HJGSoft zijn niet meer actief omdat HJGSoft niet meer actief is. Wellicht dat in de toekomst een deel van de functionaliteiten op deze site gepubliceerd gaat worden.<\/span><\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Stelsels van vergelijkingen In dit artikel leg ik u uit hoe u op generieke wijze stelsels van vergelijkingen kunt oplossen. Uitgangspunt is dat er evenveel vergelijkingen als onbekenden zijn. Tot slot laat ik u zien hoe een en ander in Excel ge\u00efmplementeerd kan worden. De school-methodes Als u op de middelbare school wiskunde heeft gehad […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1103,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-1111","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"\n
\nWe schrijven het stelsel als een matrix:
\n2 -2 | -2<\/span>
\n 3 \u00a02 | \u00a07<\/span>
\nwaarbij de co\u00ebffici\u00ebnten voor de verticale streep staan en de losse getallen achter de verticale streep.
\nIn de eerste kolom staan dus de “x<\/em>-en” en in de tweede kolom staan de “y<\/em>-en”.
\nEn nu is het de kunst om van de matrix voor de verticale lijn de zogenaamde eenheids-matrix te maken, dat is een matrix waarop de hoofd-diagonaal (val links boven naar rechts onder) alleen maar 1<\/em>-en staan en alle andere getallen 0<\/em> zijn. Dan staat achter de verticale streep de oplossingen van het stelsel.
\nHier is een generiek algoritme voor dat bekend staat als het Gauss-Jordan-algoritme en gaat als volgt:<\/p>\n
\nAlle andere rijen worden afgetrokken door de eerste met een factor dat overeenkomt met de waarde van de eerste element van de andere rijen.<\/em><\/p>\n
\nDit betekent dus dat je voor n<\/em> vergelijkingen met n<\/em> onbekenden n<\/em> rondes nodig hebt.
\nTerug naar ons voorbeeld:
\nWe hebben dus:
\n2 -2 | -2<\/span>
\n 3 \u00a02 | \u00a07<\/span>
\n1e ronde:
\nvermenigvuldig I met 0,5 (=1\/2)<\/em>:
\n1 -1 | -1<\/span> ; trek nu 3*I van II af, dus II-3*I<\/strong>:
\n0 \u00a05 | 10<\/span>
\n2e ronde:
\nvermenigvuldig II met 0,2 (=1\/5)<\/em>:
\n…<\/span>
\n 0 1 | 2<\/span> ; trek nu -1*II van I af, dus I-1*II, ofwel I + II<\/strong><\/p>\n
\n 0 1<\/strong> | 2<\/strong><\/span><\/p>\n
\nOverigens moeten matrices netjes tussen kromme haken staan, maar dit is typografisch erg onhandig.
\nExcel kent een aantal matrix-functies maar niet om de Gauss-Jordan-methode te kunnen toepassen.
\nGelukkig biedt de nieuwe versie (2017) van de Excel-Handigheidjes van HJGSoft uitkomst.<\/p>\nLos Stelsel Op wizard<\/h2>\n
![\"\"](\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/stelsel-voorbeeld.jpg\")
<\/p>\n
\nU ziet het volgende scherm:<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/HJGSoft-LosStelselOp-wizard.jpg\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/HJGSoft-LosStelselOp-wizard-tab1-ingevuld.jpg\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/HJGSoft-LosStelselOp-wizard-tab2-ingevuld.jpg\")
<\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/10\/HJGSoft-LosStelselOp-resultaat.jpg\")
<\/p>\n