{"id":1273,"date":"2022-07-25T08:34:54","date_gmt":"2022-07-25T07:34:54","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.nl\/?page_id=1273"},"modified":"2026-03-31T08:55:03","modified_gmt":"2026-03-31T07:55:03","slug":"over-bloemetjes-en-bijtjes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/","title":{"rendered":"Over bloemetjes en bijtjes"},"content":{"rendered":"<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29e7d273a\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69de29e7d273a\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#Inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#De_rij_van_Fibonacci\">De rij van Fibonacci<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Fibonacci_en_de_natuur\">Fibonacci en de natuur<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#De_gulden_ratio\">De gulden ratio<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Uitbreiding_van_de_rij\">Uitbreiding van de rij<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#De_formule_van_Binet\">De formule van Binet<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#De_rij_van_Lucas\">De rij van Lucas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Klokrekenen\">Klokrekenen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#machtsverheffen\">Machtsverheffen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#fibluc\">Fibonacci en Lucas<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#raadgetal\">Raad getal<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Variaties_op_een_thema\">Variaties op een thema<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Driehoek_van_Pascal\">Driehoek van Pascal<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#De_restjes\">De restjes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Korte_biografieen\">Korte biografie\u00ebn<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Programmas\">Programma&#8217;s<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#Bronnen\">Bronnen<\/a> <\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"Inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p>Deze aflevering gaat over \u00e9\u00e9n van de bekendste rijen getallen, die van Fibonacci en waar we dit allemaal kunnen tegenkomen.<br \/>\nEen simpele rij getallen die op de meest opmerkelijke plekken opduikt. Zo vinden we deze getallen in de natuur, in de kunst, in het menselijk lichaam. Maar ook meer abstract. Zo vind ik het opmerkelijk dat een formule met irrationale getallen de rij kan voortbrengen. En dat deze formule een opmerkelijke grafiek voortbrengt.<br \/>\nDe getallen vormen ook de basis voor de zogenaamde gulden snede en zijn terug te vinden in de driehoek van Pascal.<\/p>\n<p>We gaan ook kijken naar variaties op de rij en een paar abstracties.<\/p>\n<p>Maar we beginnen bij het begin.<\/p>\n<h3><a id=\"De_rij_van_Fibonacci\"><\/a>De rij van Fibonacci<\/h3>\n<p>De rij van Fibonacci ziet er als volgt uit:<\/p>\n<p>(0), 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, &#8230;<\/p>\n<p>Je kunt deze gemakkelijk voortzetten, want het volgende element is de som van de voorgaande twee elementen. Je begint de rij met de getallen 1 en 1.<br \/>\nDat ik de nul tussen haakjes heb staan is om aan te geven dat het 0<sup>de<\/sup> element 0 is.<\/p>\n<p>In wiskundige notatie ziet de rij er als volgt uit:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\left\\{\\begin{matrix}F_{1}=F_{2}=1\\\\F_{n}=F_{n\\text{ - }1}+F_{n\\text{ - }2}, \\forall n&gt;2\\end{matrix}\\right.<\/div>\n<p>Merk op dat wanneer we de index n vanaf 0 laten lopen we deze notatie krijgen:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\left\\{\\begin{matrix}F_{0}=0, F_{1}=1\\\\F_{n}=F_{n\\text{ - }1}+F_{n\\text{ - }2}, \\forall n&gt;1\\end{matrix}\\right.<\/div>\n<p>Maar dit levert exact dezelfde rij op.<\/p>\n<p>De eerste die deze rij beroemd heeft gemaakt is Leonardo van Pisa, bijgenaamd Fibonacci. In zijn werk &#8220;Liber Abaci&#8221; (het boek over rekenen) geeft hij de volgende uitleg over de rij:<\/p>\n<p>Begin met \u00e9\u00e9n paar konijnen (een mannetje en een vrouwtje). In de derde maand zijn ze geslachtsrijp en produceren dan 1 paar nieuwe konijnen (mannetje en vrouwtje) per maand. We tellen nu per maand het aantal paren konijnen.<\/p>\n<p>In maand 1 hebben we (dus) 1 paar.<br \/>\nIn maand 2 hebben we nog steeds 1 paar.<br \/>\nIn maand 3 komt er 1 paar konijnen bij omdat het eerste paar heeft geproduceerd, dus er zijn nu 2 paar.<br \/>\nIn maand 4 komt er weer een paar bij omdat het eerste paar weer heeft geproduceerd, dus een totaal van 3 paar.<br \/>\nIn maand 5 komen er 2 paar bij, 1 paar van het eerste paar maar nu ook van het tweede paar omdat deze nu ook geslachtsrijp zijn, een totaal van 5 paar.<br \/>\nEn zo voort&#8230; (het is bij de konijnen af!)<\/p>\n<p>En deze rij groeit dus gestaag.<\/p>\n<h3><a id=\"Fibonacci_en_de_natuur\"><\/a>Fibonacci en de natuur<\/h3>\n<p>Het blijkt dat Fibonacci getallen veel in de natuur voorkomen.<\/p>\n<p>Zo zijn het aantal blaadjes aan een bloem vaak een Fibonacci getal:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1304 size-large\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes-1024x186.png\" alt=\"\" width=\"580\" height=\"105\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes-1024x186.png 1024w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes-300x55.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes-768x140.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes.png 1200w\" sizes=\"auto, (max-width: 580px) 100vw, 580px\" \/><\/p>\n<p>De dennenappel en de zonnebloem hebben spiralen; het aantal spiralen , zowel linksom als rechtsom, zijn vaak weer Fibonacci getallen.<\/p>\n<p>Maar ook in ons eigen lichaam zijn ze te vinden:<\/p>\n<p>Zo hebben we 1 hart en 1 hoofd, 2 armen, 2 benen, 2 ogen en 2 oren, 3 botten in elke arm en been, 5 vingers aan elke hand en 5 tenen aan elke voet. De torso heeft 5 &#8220;aanhangsels&#8221;: Twee armen, twee benen en een hoofd.<br \/>\nWe hebben 5 zintuigen: Zien, horen, voelen, ruiken en proeven.<br \/>\nMaar ook in ons diepste wezen: Een DNA-streng is 34 \u00e5ngstr\u00f6m lang en 21 \u00e5ngstr\u00f6m breed; 1 \u00e5ngstr\u00f6m = 10<sup>-10<\/sup>m ofwel 0,1 nanometer (1 miljardste meter) of 100 picometer (1 biljoenste meter) en wordt gebruikt om de grootte van een atoom aan te geven (0,5\u00c5&lt;atoom&lt;6\u00c5).<\/p>\n<p>Het voorbeeld over de konijnen was door Fibonacci gebruikt om een eenvoudige duiding aan de rij te geven.<\/p>\n<p>In de bijenwereld is de rij echter goed terug te vinden. En wel in de stamboom van een bijenfamilie.<br \/>\nEen bij kan ontstaan uit een bevrucht of onbevrucht eitje. Uit een onbevrucht eitje komt een dar (een mannetje) en uit een bevrucht eitje komt een werkster (vrouwtje). Dit betekent dus dat een Dar slechts 1 ouder heeft (een moeder) en een werkster 2 ouders (vader en moeder).<br \/>\nBeginnen we nu met \u00e9\u00e9n werkster (W) en \u00e9\u00e9n dar (D) dan zien de eerste 4 generaties van hun stamboom er als volgt uit:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1407 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/bijen-stamboom.png\" alt=\"\" width=\"601\" height=\"135\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/bijen-stamboom.png 601w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/bijen-stamboom-300x67.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 601px) 100vw, 601px\" \/><\/p>\n<p>De onderste generatie bestaat uit 2 bijen, die daarboven uit 3, daarboven 5 en de bovenste bestaat uit 8 bijen (etc.).<\/p>\n<h3><a id=\"De_gulden_ratio\"><\/a>De gulden ratio<\/h3>\n<p>Laten we eens kijken naar de opeenvolgende fracties van f<sub>n+1<\/sub>\/f<sub>n<\/sub>, we delen dus steeds twee opeenvolgende Fibonacci-getallen op elkaar:<\/p>\n<table style=\"width: 68.9628%;\" width=\"226\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\" width=\"64\">n<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\" width=\"64\">Fib<sub>n<\/sub><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\" width=\"98\">Fib<sub>n+1<\/sub>\/Fib<sub>n<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,666666667<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">13<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,625<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">21<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,615384615<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">34<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,619047619<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">55<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,617647059<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">11<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">89<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,618181818<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">12<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">144<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,617977528<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">13<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">233<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,618055556<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">14<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">377<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,618025751<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">15<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">610<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,618037135<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">16<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">987<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,618032787<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">17<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">1597<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,618034448<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">18<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">2584<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,618033813<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">19<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">4181<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,618034056<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 15.025%;\">20<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 18.6966%;\">6765<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 31.2936%;\">1,618033963<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Het lijkt erop dat deze fractie naar een limiet gaat en dat is ook zo!<\/p>\n<p>De limiet is de gulden ratio, ook wel gulden snede, gouden ratio of gouden snede genoemd.<\/p>\n<p>Hoe komen we aan deze limiet?<\/p>\n<p>Bekijk onderstaande afbeelding:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1282 size-full aligncenter\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden-ratio.png\" alt=\"\" width=\"384\" height=\"44\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden-ratio.png 384w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden-ratio-300x34.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 384px) 100vw, 384px\" \/><\/p>\n<p>We zien een lijnstuk met een lengte van a+b. De gulden snede is nu de verhouding van a:b tot (a+b):a. En dit levert een vergelijking op:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{a}{b}=\\frac{a+b}{a}\\Rightarrow b(a+b)=a^{2}<\/div>\n<p>Nemen we b=1 (dat mag omdat het hier om een verhouding gaat) dan krijgen we:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">a^{2}=a+1 \\Rightarrow a^{2}\\text{ - }a\\text{ - }1=0<\/div>\n<p>En als we deze vergelijking oplossen dan krijgen we:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">a=\\frac{1}{2}\\text{ - }\\frac{1}{2}\\sqrt{5}\\; \\vee a=\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}\\sqrt{5}<\/div>\n<p>En de tweede oplossing is ongeveer 1,618033&#8230;, de gulden ratio.<\/p>\n<p>En omdat dit een &#8220;speciaal&#8221; getal is geven wiskundige daar graag een letter aan en voor de gulden snede is dat de Griekse letter \u03a6 (hoofdletter phi) of \u03c6 (kleine letter phi).<\/p>\n<p>Waarom wordt \u03c6 nu de <strong>gulden snede<\/strong> genoemd? Bovenal omdat wij mensen dit een mooie verhouding vinden. Je vindt de gulden snede heel veel terug in het perspectief van kunst. Maar ook in de symmetrie van de mens, bijvoorbeeld de plaats van de pols ten opzichte van de lengte vanaf de ellenboog tot en met de hand. En zo verder.<\/p>\n<p>Nog een voorbeeld: De gulden spiraal:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1284 size-large\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede-spiraal_cb-1024x696.png\" alt=\"\" width=\"580\" height=\"394\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede-spiraal_cb-1024x696.png 1024w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede-spiraal_cb-300x204.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede-spiraal_cb-768x522.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede-spiraal_cb-1536x1043.png 1536w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede-spiraal_cb-2048x1391.png 2048w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede-spiraal_cb-1200x815.png 1200w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede-spiraal_cb-1980x1345.png 1980w\" sizes=\"auto, (max-width: 580px) 100vw, 580px\" \/><\/p>\n<p>Je kunt deze spiraal in gedraaide, gespiegelde, in- of uitgerekte vorm vaak leggen op verschillende kunst zodat het perspectief duidelijk wordt.<\/p>\n<p>Maar wat heeft deze spiraal nog van doen met de rij van Fibonacci?<\/p>\n<p>Kijk maar eens hoe deze is opgebouwd:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1285 size-large\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede_cb-1024x637.png\" alt=\"\" width=\"580\" height=\"361\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede_cb-1024x637.png 1024w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede_cb-300x187.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede_cb-768x478.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede_cb-1536x955.png 1536w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede_cb-2048x1274.png 2048w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede_cb-1200x746.png 1200w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/gulden_snede_cb-1980x1232.png 1980w\" sizes=\"auto, (max-width: 580px) 100vw, 580px\" \/><\/p>\n<p>De spiraal kromt zich een weg vanuit het midden naar buiten toe door de verschillende vierkanten. Maar kijk nu eens goed naar de lengte van de zijden van de vierkanten: 1, 1, 2, 3, 5, 8, &#8230; Precies de getallen uit de rij van Fibonacci.<\/p>\n<p>Een vraag die zich wellicht opdoemt is: Is er een betekenis voor de eerste oplossing van voornoemde vergelijking en zo ja welke?<\/p>\n<p>Deze vraag gaan we in de volgende paragraaf behandelen.<\/p>\n<h3><a id=\"Uitbreiding_van_de_rij\"><\/a>Uitbreiding van de rij<\/h3>\n<p>Laten we de rij eens uitbreiden naar de negatieve kant, ofwel hoe ziet de rij eruit voor negatieve n.<\/p>\n<p>We beginnen weer met F<sub>1<\/sub>=F<sub>2<\/sub>=1.<\/p>\n<p>F<sub>0<\/sub> is nu het verschil van F<sub>2<\/sub> en F<sub>1<\/sub> ofwel F<sub>0<\/sub>=F<sub>2<\/sub>-F<sub>1<\/sub>=1-1=0.<\/p>\n<p>F<sub>-1<\/sub> is dan F<sub>1<\/sub>-F<sub>0<\/sub>=1-0=1<br \/>\nF<sub>-2<\/sub>=F<sub>0<\/sub>-F<sub>-1<\/sub>=0-1=-1<br \/>\nF<sub>-3<\/sub>=F<sub>-1<\/sub>-F<sub>-2<\/sub>=1&#8211;1=2<br \/>\nF<sub>-4<\/sub>=F<sub>-2<\/sub>-F<sub>-3<\/sub>=-1-2=-3<\/p>\n<p>We zien een merkwaardig patroon opdoemen: De getallen zijn afwisselend positief en negatief.<\/p>\n<p>Laten we weer eens kijken naar de fracties van F<sub>n+1<\/sub>\/F<sub>n<\/sub>:<\/p>\n<table style=\"width: 71.8966%; height: 840px;\" width=\"226\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\" width=\"64\">n<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\" width=\"64\">Fib<sub>n<\/sub><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\" width=\"98\">Fib<sub>n+1<\/sub>\/Fib<sub>n<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">bn<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">-1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-2<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-4<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">-3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,5<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,666666667<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">-8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,6<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">13<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,625<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">-21<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,615384615<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-9<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">34<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,619047619<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-10<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">-55<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,617647059<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-11<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">89<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,618181818<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-12<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">-144<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,617977528<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-13<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">233<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,618055556<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-14<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">-377<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,618025751<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-15<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">610<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,618037135<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-16<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">-987<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,618032787<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 15.5172%;\">-17<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 21.0345%;\">1597<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 35.1724%;\">-1,618034448<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Ook hier zien we een limiet ontstaan van -1,618034&#8230;<\/p>\n<p>En dit is de eerste oplossing van a<sup>2<\/sup>-a-1=0 ofwel:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{1}{2}\\text{ - }\\frac{1}{2}\\sqrt{5}<\/div>\n<p><strong>Afspraak:<\/strong> <em>Voor de rest van rest van dit artikel gebruiken we de kleine letter phi voor de eerste (negatieve) oplossing voor bovenstaande vergelijking en de hoofdletter phi voor de tweede (positieve) oplossing voor bovenstaande vergelijking. Dus:<\/em><\/p>\n<p><em><div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\varphi =\\frac{1}{2}\\text{ - }\\frac{1}{2}\\sqrt{5}\\; en\\; \\phi =\\frac{1}{2}+\\frac{1}{2}\\sqrt{5}<\/div><\/em><\/p>\n<p>Welke grafiek krijgen we nu als we de getallen van de uitgebreide rij van Fibonacci met elkaar verbinden? Welnu, deze:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1292 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/verbonden-getallen.png\" alt=\"\" width=\"480\" height=\"288\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/verbonden-getallen.png 480w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/verbonden-getallen-300x180.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 480px) 100vw, 480px\" \/><\/p>\n<p>Voor negatieve waarde van n zig-zagt de grafiek en voor positieve waarde stijgt de grafiek.<\/p>\n<p>De volgende vraag die we gaan beantwoorden is: Bestaat er een formule die de getallen van Fibonacci voortbrengt? En ja, deze bestaat!<\/p>\n<h3><a id=\"De_formule_van_Binet\"><\/a>De formule van Binet<\/h3>\n<p>Merk op dat:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\varphi =\\text{ - }\\frac{1}{\\phi }<\/div>\n<p>Tevens geldt (maar minder belangrijk voor dit verhaal):<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\phi +\\varphi =1\\; en\\; \\phi \\text{ - }\\varphi =\\sqrt{5}<\/div>\n<p>De formule van Binet luidt als volgt:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">B(n)=\\frac{\\phi ^{n}\\text{ - }\\varphi ^{n}}{\\sqrt{5}}<\/div>\n<p>En zo levert bijvoorbeeld B(3)=2 op en B(7)=13 en B(0)=0 en B(-4)=-3 etc.<\/p>\n<p>Wat een prachtige formule.<\/p>\n<p>Maar wat zou er nu gebeuren als we deze formule eens gaan beschouwen met re\u00eble getallen in plaats van gehele getallen?<\/p>\n<p>Kortom: wat is dan bijvoorbeeld B(1,5), of B(-\u03c0)?<\/p>\n<p>We lopen echter wel meteen tegen een probleem aan. Op school hebben we geleerd dat machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen is.<\/p>\n<p>Dus x<sup>n<\/sup>=x.x.x. &#8230; x., en dat n keer.<\/p>\n<p>Verder hebben we geleerd dat x<sup>0<\/sup>=1.<\/p>\n<p>En tot slot de volgende twee regels:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">x^{\\text{ - }n}=\\frac{1}{x^{n}}\\\\x^{\\frac{1}{n}}=\\sqrt[n]{x}<\/div>\n<p>Om kort te gaan moet de exponent (n) uit de verzameling \u2115\u222a{0}, de verzameling van de gehele getallen met nul, komen.<\/p>\n<p>Willen we de exponent toch uit \u211d laten komen dan krijgen we antwoorden uit de Binet formule die zogenaamd complex zijn, ofwel uit de verzameling \u2102 komen (zie ook het artikel <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/formule-van-euler\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Formule van Euler<\/a>).<\/p>\n<p>Wanneer we een en ander in Excel willen doen dan lukt dat niet voor de re\u00eble getallen. De beperkt aantal complexe functies in Excel is niet toereikend.<br \/>\nDus maar even Python erbij gepakt.<\/p>\n<p>Zo is B(1,5)\u22480.920442065259926+0.21728689675164012i en<br \/>\nB(-\u03c0)\u22481.9292695604395613-0.8726530431453033i.<\/p>\n<p>We gaan eerst eens kijken naar:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">B(x), \\; x\\in \\mathbb{R}^{+}\\cup {\\left \\{ 0 \\right \\}}<\/div>\n<p>ofwel naar de positieve re\u00eble getallen met 0.<\/p>\n<p>De grafiek van de &#8220;positieve&#8221; kant van Binet ziet er als volgt uit:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1297 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/binet_fib_pos_sm.png\" alt=\"\" width=\"476\" height=\"354\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/binet_fib_pos_sm.png 476w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/binet_fib_pos_sm-300x223.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 476px) 100vw, 476px\" \/><\/p>\n<p>Een mooie rustige kringelende grafiek. Merk op dat punt 1 twee maal wordt doorkruist. Precies wat je zou verwachten, niet waar?<\/p>\n<p>Maar hoe ziet de &#8220;negatieve&#8221; kant van de grafiek er nu uit?<\/p>\n<p>De (laatste) grafiek uit de vorige paragraaf doet vermoeden dat er iets van een zaagtand uitkomt. Maar niets is minder waar:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1300 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/binet_fib_neg_sm.png\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"480\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/binet_fib_neg_sm.png 640w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/binet_fib_neg_sm-300x225.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/p>\n<p>Er komt een prachtige spiraal uit die keurig krult tussen de afwisselende positieve en negatieve Fibonacci getallen bij een negatieve index.<\/p>\n<p>En beide grafieken gecombineerd ziet er als volgt uit:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1301 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/binet_fib_sm.png\" alt=\"\" width=\"640\" height=\"480\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/binet_fib_sm.png 640w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/binet_fib_sm-300x225.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 640px) 100vw, 640px\" \/><\/p>\n<h3><a id=\"De_rij_van_Lucas\"><\/a>De rij van Lucas<\/h3>\n<p>De rij van Lucas (vernoemd naar de 19<sup>e-<\/sup>eeuwse Fransman Fran\u00e7ois Lucas) volgt dezelfde regel als de rij van Fibonacci maar begint de rij met 2, 1 (in plaats van 0, 1).<\/p>\n<p>Let op: De 2 is dus de 0<sup>e<\/sup> positie.<\/p>\n<p>Het blijkt dat wanneer de natuur afwijkt van een Fibonacci getal het dan wel vaak een Lucas getal is.<\/p>\n<p>De rij begint als volgt:<\/p>\n<p>2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, &#8230;<\/p>\n<p>Gaan de fracties van de opeenvolgende getallen weer naar een limiet toe? Het antwoord is jawel en dat is dezelfde limiet als bij de Fibonacci getallen, namelijk de gulden snede \u03a6.<\/p>\n<p>En als we de Lucas rij in negatieve richting uitbreiden dan zien we (beginnend met index 0 en daarna aflopend):<\/p>\n<p>2, -1, 3, -4, 7, -11, 18, -29, 47, -76, &#8230;<\/p>\n<p>En de fracties van opeenvolgende getallen (aan de negatieve kant) is inderdaad \u03c6.<\/p>\n<p>Is dit nu toeval? Nee, dat is het niet.<\/p>\n<p>Laten we eens kijken naar het voorschrift. Die zijn voor beide rijen (Fibonacci en Lucas) hetzelfde:<\/p>\n<p>R<sub>n<\/sub> = R<sub>n-1<\/sub> + R<sub>n-1<\/sub>.<\/p>\n<p>De fracties de we vervolgens bekijken ook:<\/p>\n<p>R<sub>n+1<\/sub> \/ R<sub>n<\/sub>.<\/p>\n<p>E\u00e9n en ander substitueren levert op:<\/p>\n<p>R<sub>n+1<\/sub> \/ R<sub>n<\/sub> = R<sub>n+1<\/sub> \/ (R<sub>n-1<\/sub>+R<sub>n-2<\/sub>) =&gt; R<sub>n+1<\/sub>(R<sub>n-1<\/sub>+R<sub>n-2<\/sub>)=R<sub>n<\/sub>.R<sub>n+1<\/sub> =&gt; R<sub>n<\/sub>=R<sub>n-1<\/sub>+R<sub>n-2<\/sub>, wat natuurlijk het voorschrift is!<\/p>\n<p>Het voorschrift R<sub>n<\/sub> = R<sub>n-1<\/sub> + R<sub>n-1<\/sub> leidt tot de zogenaamde karakteristieke vergelijking r<sup>2<\/sup>-r-1=0.<\/p>\n<p>En die vergelijking zijn we al eerder tegengekomen en de uitkomsten daarvan zijn bekend, nl.: r=\u03c6 of r=\u03a6.<\/p>\n<p>Het maakt dus niet uit welke startwaarden er worden genomen, de fracties zullen altijd leiden naar \u03c6 (bij negatieve index) of naar \u03a6 (bij positieve index).<\/p>\n<p>Verder gelden er nog allerlei verbanden tussen de rijen (n\u22650):<\/p>\n<p>L<sub>n<\/sub>=F<sub>n-1<\/sub>+F<sub>n+1<\/sub><br \/>\nF<sub>2n<\/sub>=L<sub>n<\/sub>*F<sub>n<\/sub><br \/>\nL<sub>n<\/sub>=F<sub>n<\/sub>+2F<sub>n-1<\/sub><\/p>\n<p>Bestaat er voor de rij van Lucas ook iets als een formule van Binet?<\/p>\n<p>Het antwoord is jawel. Sterker nog: Voor iedere twee beginwaardes bestaat er een Binet formule.<\/p>\n<p>Uit het voorschrift F<sub>n<\/sub>=F<sub>n-1<\/sub>+F<sub>n-2<\/sub> volgt de karakteristieke vergelijking r<sup>2<\/sup>-r-1=0, zoals we hierboven al gezien hebben, met oplossingen r=\u03c6 of r=\u03a6.<\/p>\n<p>Hieruit volgt de generieke vergelijking (zonder dat ik hier de achterliggende wiskunde verklaar): Als a<sub>n<\/sub>=a<sub>n-1<\/sub>+a<sub>n-2<\/sub> dan a<sub>n<\/sub>=\u03b1r<sub>1<\/sub><sup>n<\/sup>+\u03b2r<sub>2<\/sub><sup>n<\/sup>.<\/p>\n<p>Hierboven hebben we r<sub>1<\/sub> en r<sub>2<\/sub> al uitgerekend, dus krijgen we:<br \/>\na<sub>n<\/sub>=\u03b1\u03c6<sup>n<\/sup>+\u03b2\u03a6<sup>n<\/sup>. Ook weten we wat a<sub>0<\/sub> is en wat a<sub>1<\/sub> is, namelijk a<sub>0<\/sub>=2 en a<sub>1<\/sub>=1.<\/p>\n<p>We krijgen dus een stelsel van 2 vergelijkingen met 2 onbekenden:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\left\\{\\begin{matrix}a_{0}=2=\\alpha \\varphi ^{0}+\\beta \\Phi ^{0}=\\alpha +\\beta \\\\a_{1}=1=\\alpha \\varphi ^{1}+\\beta \\Phi ^{1}=\\alpha \\varphi +\\beta \\Phi \\end{matrix}\\right.<\/div>\n<p>En dit stelsel is oplosbaar.<\/p>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29e7d280e\"  tabindex=\"0\" title=\"Oplossing\"    >Oplossing<\/span><div id=\"target-id69de29e7d280e\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>We lossen dit op door middel van matrices.<\/p>\n<p>Vooraf merk op dat:<\/p>\n<p>\u03a6 &#8211; \u03c6 = \u221a5<br \/>\n\u03c6 &#8211; \u03a6 = -\u221a5<br \/>\n\u03c6 + \u03a6 = 1<br \/>\nen uit bovenstaande volgt:<br \/>\n1 -2\u03c6 = \u03c6 + \u03a6 &#8211; 2\u03c6 = \u03a6 &#8211; \u03c6 = \u221a5 (heb ik later nodig)<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\left (\\begin{array}{rr|r}1 &amp; 1 &amp; 1 \\\\ \\varphi &amp; \\phi &amp; -1 \\\\\\end{array}\\right ) \\Rightarrow (stap1:II\\text{ - }\\varphi I) \\left (\\begin{array}{rr|r}1 &amp; 1\\;\\;\\;\\;\\; \\;\\;\\; &amp; 2 \\;\\;\\;\\;\\;\\;\\\\ 0 &amp; \\varphi\\text{ - }\\phi=\\sqrt{5} &amp; 1\\text{ - }2\\phi=\\sqrt{5} \\\\\\end{array}\\right )<\/div>\n<p>Verder vanaf de laatste:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\left (\\begin{array}{rr|r}1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\ 0 &amp; \\sqrt{5} &amp; \\sqrt{5} \\\\\\end{array}\\right ) \\Rightarrow (stap2:\\frac{II}{\\sqrt{5}}) \\left (\\begin{array}{rr|r}1 &amp; 1 &amp; 2 \\\\ 0 &amp; 1 &amp; 1\\\\\\end{array}\\right ) \\Rightarrow (stap3:I\\text{ - }II) \\left (\\begin{array}{rr|r}1 &amp; 0 &amp; 1 \\\\ 0 &amp; 1 &amp; 1\\\\\\end{array}\\right )<\/div>\n<p>In de verschillende stappen werken we naar de eenheidsmatrix toe.<br \/>\nMet I worden de elementen van de bovenste regel bedoeld en met II de\u00a0 elementen van de onderste regel, steeds van links naar rechts.<br \/>\nIn stap1 haal je dus van II, \u03c6 maal de waarde van I af.<br \/>\nIn stap2 deel je II door \u221a5 en<br \/>\nin stap 3 haal je II van I af.<\/p>\n<p>De laatste matrix is de eenheidsmatrix en levert onze waarde voor \u03b1 en \u03b2 op.<\/p>\n<\/div>\n<p>De oplossingen zijn: \u03b1 = 1 en \u03b2 = 1.<\/p>\n<p>De Binet formule voor Lucas luidt nu als volgt:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">B_{L}(n)=\\varphi ^{n}+\\phi ^{n}=\\left ( \\frac{1\\text{ - }\\sqrt{5}}{2} \\right )^{n}+\\left ( \\frac{1+\\sqrt{5}}{2} \\right )^{n}<\/div>\n<h3><a id=\"Klokrekenen\"><\/a>Klokrekenen<\/h3>\n<p>In deze paragraaf gaan we kijken naar de Fibonacci getallen modulus een bepaald getal.<\/p>\n<p>Modulus rekenen is niets anders dan klokrekenen.<\/p>\n<p>En klokrekenen kunnen we natuurlijk allemaal. Kijk maar: Het is nu tien over negen (9:10). Hoe laat is het over 55 minuten? Niemand zal zeggen 65 over negen (9:65), maar vijf over tien (10:05). We kijken eerst naar de hele uren, gaat de tijd daar over heen, zoals in het voorbeeld, dan kijken we vervolgens hoeveel (minuten) er nog over zijn en tellen die weer bij het hele uur op.<br \/>\nWat we hier dus eigenlijk doen is rekenen met een klok van 12 uur en 60 minuten.<br \/>\nIn wiskundige termen rekenen we hier modulo 12.<\/p>\n<p>En dat is precies wat het is. Bij modulo rekenen kijken we naar de rest die over blijft bij een deling.<\/p>\n<p>Een paar voorbeeldjes:<\/p>\n<p>Wat is 7 mod 4? Dit betekent: Wat is de rest wanneer je 7 door 4 deelt. Welnu: 4 kan (geheel) 1 keer in 7; en dan blijft er 3 over.<br \/>\nDus 7 mod 4 = 3.<br \/>\nNotatie: 7 mod 4 = 3 of 7 \u2261 3 (mod 4).<\/p>\n<p>En zo is 7 \u2261 1 (mod 3), want 3 past 2 keer (geheel) in 7 en dan blijft er 1 over.<\/p>\n<p>Merk op: Bij klokrekenen kan de rest nooit groter zijn dan de deler.<br \/>\nDus a mod b kan nooit groter zijn dan b, sterker nog a mod b is altijd kleiner dan b.<\/p>\n<p>En dat gaan we nu eens toepassen op de Fibonacci getallen.<\/p>\n<p>Laten we eerst eens kijken naar Fib mod 4, ofwel wat zijn de &#8220;resten&#8221; als we de Fibonacci getallen delen door 4:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 48.9136%;\" border=\"0\" width=\"192\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"0\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; width: 32.9843%; text-align: center;\" width=\"64\" height=\"19\">n<\/td>\n<td style=\"width: 33.5079%; text-align: center;\" width=\"64\">f<sub>n<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 79.5418%; text-align: center;\" width=\"64\">f<sub>n<\/sub> mod 4<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">3<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">13<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">21<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">34<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">55<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">3<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">11<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">89<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">12<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">144<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">13<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">233<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">14<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">377<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 79.5418%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>De resten zijn inderdaad allemaal kleiner dan 4. Verder zien we dat de sequentie van resten zich herhalen na 6 Fibonacci getallen: 0, 1, 1, 2, 3, 1 en dat patroon wordt daarna herhaald.<\/p>\n<p>Laten we eens kijken naar Fib mod 2:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 50.8079%;\" border=\"0\" width=\"192\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"0\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; width: 32.9843%; text-align: center;\" width=\"64\" height=\"19\">n<\/td>\n<td style=\"width: 32.9843%; text-align: center;\" width=\"64\">f<sub>n<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 87.9581%; text-align: center;\" width=\"64\">f<sub>n<\/sub> mod 2<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">13<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">21<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">34<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\">55<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 87.9581%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Dan herhaalt de rest sequentie zich al na 3 keer: 0, 1, 1.<\/p>\n<p>En tot slot kijken we hier naar Fib mod 3:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 48.2244%;\" border=\"0\" width=\"192\" cellspacing=\"0\" cellpadding=\"0\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; width: 32.9843%; text-align: center;\" width=\"64\" height=\"19\">n<\/td>\n<td style=\"width: 33.5079%; text-align: center;\" width=\"64\">f<sub>n<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 80.1047%; text-align: center;\" width=\"64\">f<sub>n<\/sub> mod 3<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">13<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">21<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">34<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">55<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">11<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">89<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 14.4pt;\">\n<td style=\"height: 14.4pt; text-align: center; width: 32.9843%;\" align=\"right\" height=\"19\">12<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.5079%;\" align=\"right\">144<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 80.1047%;\" align=\"right\">0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Hoewel we hier te weinig data hebben om de herhaling te zien vertel ik dat de rest sequentie hier 8 is.<\/p>\n<p>Wanneer we naar de tabellen kijken dat kan het opvallen dat iedere sequentie begint met 0, 1, en dat is ook zo. Dus in de laatste tabel zien we dat 0, 1 weer terug komt vanaf n=8, dus is de rest sequentie 8 (n begint bij 0).<\/p>\n<p>De lengte van de rest sequentie noemen we het Pisano getal (uiteraard weer vernoemd naar Leonardo van Pisa).<\/p>\n<p>Hieronder een tabelletje met wat Pisano getallen:<\/p>\n<table style=\"width: 44.6552%;\" width=\"136\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\" width=\"64\">mod<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\" width=\"72\">Pisano<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">8<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">6<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">20<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">24<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">16<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">12<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">24<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">60<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">11<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">10<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">12<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">24<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">13<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">28<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">14<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">48<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">15<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">40<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 23.9655%;\">16<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 20.5173%;\">24<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Wat misschien nog niet is opgevallen is dat de resten ook de Fibonacci regel volgt alleen steeds gecorrigeerd met de modulus.<\/p>\n<p>Kijk maar eens naar de eerste tabel (mod 4):<\/p>\n<p>De resten zijn:<br \/>\n0, 1, 1, 2, 3, 1<br \/>\nmaar dat is:<br \/>\n0, 1, (0+1) mod 4\u22611, (1+1) mod 4\u22612, (1+2) mod 4\u22613, (2+3) mod 4\u22611<br \/>\nDe eerste twee resten (0 en 1) zijn de startgetallen en daarna is het weer de som van de voorgaande twee getallen, alleen nu modulo 4.<\/p>\n<p>Na al deze getalletjes weer eens wat plaatjes. Met bovenstaande kunnen we leuke afbeeldingen maken.<\/p>\n<p>We gaan eerst wat cirkels met lijnen maken en wel als volgt:<\/p>\n<p>Teken een cirkel. Zet op de cirkel op even grote afstand van elkaar het aantal stippen van de modulus. Trek vervolgens lijnen tussen de stippen volgens de resten.<br \/>\nDus als we bijvoorbeeld modulo 4 rekenen dan hebben we een cirkel met 4 stippen (0 t\/m 3), elk 90\u00b0 van elkaar verwijderd en trekken we de volgende lijnen: van 0 naar 1, van 1 naar 1, van 1 naar 2, van 2 naar 3 en van 3 naar 1 (want de resten zijn 0, 1, 1, 2, 3, 1).<\/p>\n<p>We krijgen dan deze figuur:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1316\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_04_vert-237x300.png\" alt=\"\" width=\"237\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_04_vert-237x300.png 237w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_04_vert.png 435w\" sizes=\"auto, (max-width: 237px) 100vw, 237px\" \/><\/p>\n<p>Laten we nog eens wat cirkeltjes bekijken:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1318\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_02_vert-229x300.png\" alt=\"\" width=\"229\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_02_vert-229x300.png 229w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_02_vert.png 423w\" sizes=\"auto, (max-width: 229px) 100vw, 229px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1319\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_03_vert-219x300.png\" alt=\"\" width=\"219\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_03_vert-219x300.png 219w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_03_vert.png 394w\" sizes=\"auto, (max-width: 219px) 100vw, 219px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1316\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_04_vert-237x300.png\" alt=\"\" width=\"237\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_04_vert-237x300.png 237w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_04_vert.png 435w\" sizes=\"auto, (max-width: 237px) 100vw, 237px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1320\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_05_vert-272x300.png\" alt=\"\" width=\"272\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_05_vert-272x300.png 272w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_05_vert.png 487w\" sizes=\"auto, (max-width: 272px) 100vw, 272px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1321\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_06_vert-291x300.png\" alt=\"\" width=\"291\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_06_vert-291x300.png 291w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_06_vert.png 520w\" sizes=\"auto, (max-width: 291px) 100vw, 291px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1322\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_07_vert-258x300.png\" alt=\"\" width=\"258\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_07_vert-258x300.png 258w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_07_vert.png 465w\" sizes=\"auto, (max-width: 258px) 100vw, 258px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1323\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_08_vert-239x300.png\" alt=\"\" width=\"239\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_08_vert-239x300.png 239w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_08_vert.png 432w\" sizes=\"auto, (max-width: 239px) 100vw, 239px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1324\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_vert-286x300.png\" alt=\"\" width=\"286\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_vert-286x300.png 286w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_vert.png 518w\" sizes=\"auto, (max-width: 286px) 100vw, 286px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1325\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_10_vert-300x162.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"162\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_10_vert-300x162.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_10_vert-768x414.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_10_vert.png 995w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1326\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_11_vert-234x300.png\" alt=\"\" width=\"234\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_11_vert-234x300.png 234w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_11_vert.png 423w\" sizes=\"auto, (max-width: 234px) 100vw, 234px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1327\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_12_vert-296x300.png\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_12_vert-296x300.png 296w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_12_vert.png 531w\" sizes=\"auto, (max-width: 296px) 100vw, 296px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1328\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_13_vert-300x276.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"276\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_13_vert-300x276.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_13_vert.png 586w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1329\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_14_vert-300x179.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"179\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_14_vert-300x179.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_14_vert-768x457.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_14_vert.png 907w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1330\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_15_vert-300x203.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"203\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_15_vert-300x203.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_15_vert-768x521.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_15_vert.png 802w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1331\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_16_vert-300x298.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"298\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_16_vert-300x298.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_16_vert-150x150.png 150w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_16_vert.png 543w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1332\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_17_vert-300x218.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"218\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_17_vert-300x218.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_17_vert.png 739w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1333\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_18_vert-300x286.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"286\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_18_vert-300x286.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_18_vert.png 567w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1334\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_19_vert-283x300.png\" alt=\"\" width=\"283\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_19_vert-283x300.png 283w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_19_vert.png 508w\" sizes=\"auto, (max-width: 283px) 100vw, 283px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1335\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_20_vert-300x134.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"134\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_20_vert-300x134.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_20_vert-1024x457.png 1024w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_20_vert-768x343.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_20_vert-1200x536.png 1200w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_20_vert.png 1212w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1336\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_21_vert-275x300.png\" alt=\"\" width=\"275\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_21_vert-275x300.png 275w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_21_vert.png 504w\" sizes=\"auto, (max-width: 275px) 100vw, 275px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1337\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_22_vert-300x240.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"240\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_22_vert-300x240.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_22_vert.png 675w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1338\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_23_vert-300x161.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"161\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_23_vert-300x161.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_23_vert-768x413.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_23_vert.png 1020w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1339\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_24_vert-300x289.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"289\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_24_vert-300x289.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_24_vert.png 563w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Onder de cirkels staat ook nog het aantal nullen dat in de rest sequentie voorkomt. Het blijkt dat er altijd 1, 2 of 4 nullen zijn. Verder valt op dat wanneer het aantal nullen 1 is de figuur asymmetrisch is (behalve bij mod 2), als het aantal nullen 4 is de figuur symmetrisch is en bij 2 nullen beide varianten voorkomen.<br \/>\nIs dat nu niet geinig?<\/p>\n<p>We kunnen met die resten ook nog andere plaatjes maken.<br \/>\nLaten we de volgende regels afspreken:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: circle;\">\n<li>Als de rest 0 is &#8211;&gt; doe niets<\/li>\n<li>Als de rest even is &#8211;&gt; naar rechts en dan vooruit<\/li>\n<li>Als de rest oneven is &#8211;&gt; naar links en dan vooruit<\/li>\n<\/ul>\n<p>Ook dan krijg je hele spannende plaatjes.<\/p>\n<p>Opvallend: Als we beginnen met mod 1, dan krijg je dus gewoon de Fibonacci getallen dan krijg je dit figuur:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1341\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_01_line-300x203.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"203\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_01_line-300x203.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_01_line.png 343w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Een grote plus; hoe toepasselijk.<\/p>\n<p>Een paar andere voorbeelden:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1342\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_03_line-284x300.png\" alt=\"\" width=\"284\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_03_line-284x300.png 284w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_03_line.png 344w\" sizes=\"auto, (max-width: 284px) 100vw, 284px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1343\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_04_line-300x211.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"211\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_04_line-300x211.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_04_line.png 340w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1344\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_05_line-300x158.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"158\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_05_line-300x158.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_05_line.png 339w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1345\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_06_line-280x300.png\" alt=\"\" width=\"280\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_06_line-280x300.png 280w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_06_line.png 343w\" sizes=\"auto, (max-width: 280px) 100vw, 280px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1346\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line-300x238.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"238\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line-300x238.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line.png 334w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1347\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_10_line-300x213.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"213\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_10_line-300x213.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_10_line.png 347w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1348\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_11_line-286x300.png\" alt=\"\" width=\"286\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_11_line-286x300.png 286w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_11_line.png 345w\" sizes=\"auto, (max-width: 286px) 100vw, 286px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1349\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_17_line-300x148.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"148\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_17_line-300x148.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_17_line.png 343w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1350\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_19_line-300x234.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"234\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_19_line-300x234.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_19_line.png 348w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Een aantal figuren keert terug. Sommige figuren zijn keurig symmetrisch terwijl andere &#8220;wild&#8221; tekeer gaan. Ze hebben wel allemaal wat fractalachtigs.<\/p>\n<p>De bijschriften vertellen welke modulus gebruikt is, hoe vaak een rest-sequentie gebruikt is en onder welke hoek er is gedraaid. Bij het wijzigen van de hoek ontstaan ook spannende plaatjes (hier wat variaties op mod 9):<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1351\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line_115-300x118.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"118\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line_115-300x118.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line_115.png 347w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1352\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line_120-300x137.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"137\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line_120-300x137.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line_120.png 365w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-medium wp-image-1353\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line_150-300x172.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"172\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line_150-300x172.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/fibmod_09_line_150.png 348w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<h3><a id=\"machtsverheffen\"><\/a>Machtsverheffen<\/h3>\n<p>We weten dat \u03a6 \u2248 1,618033989&#8230; .<br \/>\nWe weten ook dat 1\/\u03a6 \u2248 0,618033988&#8230; .<\/p>\n<p>Laten we eens kijken naar \u03a6<sup>2<\/sup>. Op de rekenmachine levert dit op: \u03a6<sup>2<\/sup> \u2248 2,618033989&#8230; .<\/p>\n<p>Als we goed naar al deze uitkomsten kijken dan lijkt het erop dat:<\/p>\n<p>1\/\u03a6 = \u03a6 &#8211; 1 en \u03a6<sup>2<\/sup> = \u03a6 + 1.<\/p>\n<p>Dat zou een opmerkelijk resultaat zijn.<\/p>\n<p>Laten we eens kijken of er inderdaad een getal bestaat waarvan het kwadraat het getal vermeerderd met 1 oplevert. We noemen dat getal maar even x (origineel, niet waar?).<\/p>\n<p>Dus x<sup>2<\/sup>=x+1 ofwel x<sup>2<\/sup>-x-1=0. Maar die zijn we, inderdaad, al eerder tegengekomen. En de uitkomst was dat x=\u03c6 of x=\u03a6.<\/p>\n<p>En als we kijken naar de reciproke, dan krijgen we:<br \/>\n1\/\u03a6 = \u03a6 &#8211; 1 \u21d2 (beide zijden met \u03a6 vermenigvuldigen) 1 = \u03a6<sup>2<\/sup> &#8211; \u03a6 \u21d2 \u03a6<sup>2<\/sup> &#8211; \u03a6 -1 = 0, en dat is dus hetzelfde als x<sup>2<\/sup>-x-1=0.<br \/>\n(<em>We moeten de antwoorden nog wel invullen in de originele vergelijking om er zeker van te zijn dat 1\/\u03a6 geen deling door nul oplevert; maar dat doet het niet!<\/em>)<\/p>\n<p>De opmerkelijke resultaten van hierboven zijn dus juist. Tevens is \u03a6 het enige getal met deze eigenschappen.<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 14pt;\"><em>Overigens is het natuurlijk altijd mogelijk om een getal te vinden waarvan het kwadraat gelijk is aan het getal zelf plus een bepaalde constante omdat de vergelijking x<sup>2<\/sup>-x-c=0 nu eenmaal altijd een oplossing heeft, ook al is deze wellicht complex. Maar dan is de reciproke niet gelijk aan dat getal minus 1.<\/em><\/span><\/p>\n<p>Maar het wordt nog veel leuker!<\/p>\n<p>Wat zou \u03a6<sup>3<\/sup> zijn?<\/p>\n<p>We weten dat \u03a6<sup>2<\/sup> = \u03a6+1.<\/p>\n<p>Welnu: \u03a6<sup>3<\/sup> = \u03a6.\u03a6<sup>2<\/sup> = \u03a6(\u03a6+1) = \u03a6<sup>2<\/sup>+\u03a6 = (\u03a6+1)+\u03a6 = <strong>2\u03a6+1<\/strong>.<br \/>\nDus de derde macht van \u03a6 is 2 keer \u03a6 plus 1.<\/p>\n<p>Laten we eens kijken naar wat meer (opeenvolgende) machten:<\/p>\n<p>\u03a6<sup>4<\/sup> = \u03a6.\u03a6<sup>3<\/sup> = \u03a6(2\u03a6+1) = 2\u03a6<sup>2<\/sup>+\u03a6 = 2(\u03a6+1)+\u03a6 = <strong>3\u03a6+2<\/strong>.<br \/>\n\u03a6<sup>5<\/sup> = \u03a6.\u03a6<sup>4<\/sup> = \u03a6(3\u03a6+2) = 3\u03a6<sup>2<\/sup>+2\u03a6 = 3(\u03a6+1)+2\u03a6 = <strong>5\u03a6+3<\/strong>.<br \/>\n\u03a6<sup>6<\/sup> = \u03a6.\u03a6<sup>5<\/sup> = \u03a6(5\u03a6+3) = 5\u03a6<sup>2<\/sup>+3\u03a6 = 5(\u03a6+1)+3\u03a6 = <strong>8\u03a6+5<\/strong>.<\/p>\n<p>Er ontvouwt zich een patroon. Als we bovenstaande opeenvolgende machten doorzetten dan blijkt inderdaad:<\/p>\n<p>\u03a6<sup>7<\/sup> = &#8230; = <strong>13\u03a6 + 8<\/strong><br \/>\n\u03a6<sup>8<\/sup> = &#8230; = <strong>21\u03a6 + 13<\/strong><br \/>\n&#8230;<\/p>\n<p>Ziet u in de resultaten van de verschillende machten de Fibonacci getallen ook terugkomen?<\/p>\n<p>Er geldt dus de volgende opmerkelijke regel:<\/p>\n<p><strong>\u03a6<sup>n<\/sup> = F<sub>n<\/sub>\u03a6+F<sub>n-1<\/sub><\/strong>, voor n\u22650.<\/p>\n<p>Voor n&lt;0 geldt: <strong>\u03c6<sup>n<\/sup>=-F<sub>n<\/sub>\u03c6-F<sub>n+1<\/sub><\/strong>.<\/p>\n<p>Hoe mooi!<\/p>\n<h3><a id=\"fibluc\"><\/a>Fibonacci en Lucas<\/h3>\n<p>Met al het bovenstaande kunnen we nu wat nader ingaan op beide bekende rijen.<\/p>\n<p>We kijken nog even naar de rij van Lucas:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">index<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">Lucas<sub>index<\/sub><\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">\u03a6<sup>index<\/sup><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">\u223c<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">\u223c<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">2,618&#8230;<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">4,236<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">7<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">6,854<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">11<\/td>\n<td style=\"width: 33.3333%; text-align: center;\">11,090&#8230;<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Vanaf index 2 wordt het interessant. Het lijkt erop dat [\u03a6<sup>n<\/sup>] gelijk is aan L<sub>n<\/sub>, en dat is ook zo!<br \/>\nDe blokhaken ( [&#8230;] ) betekenen dat de waarde tussen de blokhaken moet worden afgerond naar een geheel getal.<\/p>\n<p>Dus: \u2200 n\u2208\u2115, n&gt;1 geldt: L<sub>n<\/sub> = [\u03a6<sup>n<\/sup>].<\/p>\n<p>We weten ook dat F<sub>n<\/sub> =F<sub>n<\/sub>\u03a6 <span style=\"font-size: 17.5px;\">+ F<sub>n-1<\/sub>.<\/span><\/p>\n<p>En volgens de definitie is F<sub>n<\/sub> = F<sub>n-1<\/sub> + F<sub>n-2<\/sub>.<\/p>\n<p>Merk op dat F<sub>n<\/sub> = \u03a6.F<sub>n-1<\/sub>; zo zijn we immers aan \u03a6 gekomen.<\/p>\n<p>Om niet in de war te geraken met indexen gaan we uit van onderstaande tabel:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">i<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">7<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">8<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">L<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">7<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">11<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">18<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">29<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">47<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">F<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">13<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">21<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">L\/F<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">\u223c<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">2.33&#8230;<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">2.2<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">2.25<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">2.23&#8230;<\/td>\n<td style=\"width: 10%; text-align: center;\">2.23&#8230;<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>De onderste regel (L\/F) komt zo aan de orde.<\/p>\n<p>We gaan nu de bovenstaande formules combineren.<\/p>\n<p>L<sub>n<\/sub> = [\u03a6<sup>n<\/sup>] =F<sub>n<\/sub>\u03a6 + F<sub>n-1<\/sub> = F<sub>n+1<\/sub> + F<sub>n-1<\/sub>.<\/p>\n<p>Dus L<sub>n<\/sub> = F<sub>n-1<\/sub> + F<sub>n+1<\/sub>. En dit is toch een aardig verband tussen Fibonacci en Lucas.<\/p>\n<p>Kijken we tot slot nog even naar de verhouding tussen Lucas en Fibonacci.<\/p>\n<p>De onderste regel van bovenstaande tabel geeft L<sub>n<\/sub> \/ F<sub>n<\/sub> aan. De vraag is of deze verhouding naar een limiet gaat. En dat is zo.<\/p>\n<p>De limiet van L\/F is \u221a5. Hoe fraai.<\/p>\n<p>En zo kunnen we nog een formule maken:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">F_{n}=\\left [ \\frac{\\Phi ^{n}}{\\sqrt{5}} \\right ]=\\left [ \\frac{L_{n}}{\\sqrt{5}} \\right ]<\/div>\n<h3><a id=\"raadgetal\"><\/a>Raad getal<\/h3>\n<p>Met de rij van Fibonacci kun je ook getallen raden.<\/p>\n<p>Kijk maar eens op <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/php-files\/raadfib.php\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">deze pagina<\/a> (opent in een nieuwe tab).<\/p>\n<p>Benieuwd hoe dit gaat? Of heeft u het al in de gaten?<\/p>\n<p>Maak 7 kaarten als volgt:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1392 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/kaarten.png\" alt=\"\" width=\"727\" height=\"367\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/kaarten.png 727w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/kaarten-300x151.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 727px) 100vw, 727px\" \/><\/p>\n<p>Het eerste getal van iedere kaart is een Fibonacci getal.<br \/>\nBegin met een som = 0.<br \/>\nWanneer het gekozen getal op de kaart staat tel je het eerste getal bij de som op.<br \/>\nNa de 7<sup>e<\/sup> kaart is de som het gekozen getal.<\/p>\n<p>Dit heeft te maken met het feit dat je ieder natuurlijk getal op unieke wijze kunt schrijven als een som van niet opeenvolgende Fibonacci getallen: De stelling van Zeckendorf (zie o.a. <a href=\"https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Stelling_van_Zeckendorf\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Wikipedia<\/a>).<\/p>\n<p>Maar hoe komen we aan de getallen die op de kaarten staan?<\/p>\n<p>Het eerste getal is een Fibonacci getal; te beginnen met 1 en 2, 3, 5 enzovoort.<\/p>\n<p>Voor de andere getallen gaan we het volgende doen: Kijk naar de &#8220;binaire&#8221; representatie van een getal in &#8220;talstelsel Fibonacci&#8221;.<\/p>\n<p>Als er op positie <em>n<\/em> een 1 staat dan komt dan getal op kaartje <em>n<\/em>, staat er een 0 dan komt dat getal niet op kaartje <em>n<\/em>.<\/p>\n<p>Maar hoe komen we aan de &#8220;binaire&#8221; representatie?<\/p>\n<p>Welnu: De stelling van Zeckendorf zegt dat ieder (natuurlijk) getal op unieke wijze te ontbinden is in Fibonacci getallen waarbij geen twee opeenvolgende Fibonacci getallen na elkaar voorkomen; we spreken dan van de Zeckendorf representatie.<\/p>\n<p>Er bestaan voor de meeste getallen meerdere manieren om deze te schrijven als de som van Fibonacci getallen, maar er is maar \u00e9\u00e9n manier om dit op unieke wijze te doen waarbij geen twee opeenvolgende Fibonacci getallen voorkomen.<\/p>\n<p>Neem als voorbeeld het getal 64:<br \/>\n64 = 55 + 8 + 1 = 55 + 5 + 3 + 1 = 34 + 21 + 8 + 1 = 34 + 21 + 5 + 3 + 1 = 34 + 13 + 8 + 5 + 3 + 1.<br \/>\nAlleen de eerste som (55 + 8 + 1) voldoet. Bij de overige sommen zijn er 1 of meerdere opeenvolgende Fibonacci getallen betrokken.<\/p>\n<p>Om aan de unieke som te komen werken we van groot naar klein. Pak het grootste Fibonacci getal kleiner (of gelijk aan) het te ontbinden getal. Trek dit Fibonacci getal af van het te ontbinden getal en herhaal deze procedure totdat je de som hebt (d.i. de aftrekking komt op 0 uit).<\/p>\n<p>We nemen als voorbeeld het getal 20.<\/p>\n<p>De Fibonacci getallen waaruit we nu kunnen kiezen zijn:<br \/>\n1, 2, 3, 5, 8 en 13 (de volgende is 21 &gt; 20).<br \/>\nWe nemen dus 13 (de grootste) en trekken dit van 20 af.<br \/>\n20 &#8211; 13 = 7.<br \/>\nWe gaan met 7 verder. De Fibonacci getallen waaruit we nu kunnen kiezen zijn: 1, 2, 3 en 5.<br \/>\nWe nemen 5 en trekken dit van 7 af.<br \/>\n7 &#8211; 5 = 2.<br \/>\nWe gaan met 2 verder. De Fibonacci getallen waaruit we nu kunnen kiezen zijn: 1 en 2.<br \/>\nWe nemen 2 en trekken dit van 2 af.<br \/>\n2 &#8211; 2 = 0.<br \/>\nEn nu kunnen we 20 schrijven als de som van de volgende Fibonacci getallen:<br \/>\n20 = 2 + 5 + 13.<br \/>\nMerk op dat er geen twee opeenvolgende Fibonacci getallen in de som voorkomen!<\/p>\n<p>Nu moeten we de slag naar de &#8220;binaire&#8221; (dit noemen we maar BaseFib) representatie maken.<\/p>\n<p>Hiervoor is de volgorde van de Fibonacci getallen van belang:<\/p>\n<table style=\"width: 100%; border-collapse: collapse; border-style: solid;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 16.2931%; border-style: solid;\">Positie<\/td>\n<td style=\"width: 8.70687%; border-style: solid; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">7<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 16.2931%; border-style: solid;\">Fib-getal<\/td>\n<td style=\"width: 8.70687%; border-style: solid; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">13<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">21<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Als een Fibonacci getal in de som voorkomt dan komt een een 1 op de overeenkomstige positie te staan, anders een 0.<\/p>\n<p>Voor 20 ziet de tabel er dan als volgt uit:<\/p>\n<table style=\"width: 100%; border-collapse: collapse; border-style: solid;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 16.2931%; border-style: solid;\">Positie<\/td>\n<td style=\"width: 8.70687%; border-style: solid; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">7<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 16.2931%; border-style: solid;\">Fib-getal<\/td>\n<td style=\"width: 8.70687%; border-style: solid; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\"><strong>2<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\"><strong>5<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\"><strong>13<\/strong><\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">21<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 16.2931%; border-style: solid;\">20<\/td>\n<td style=\"width: 8.70687%; border-style: solid; text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 12.5%; border-style: solid; text-align: center;\">0<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Het getal 20 in &#8220;BaseFib&#8221; notatie is dan 0101010.<\/p>\n<p>Het getal 20 moet nu op de kaartjes beginnend met een 2, een 5 en een 13 voorkomen.<\/p>\n<p>En zo moet je alle getallen tot 34 omzetten in BaseFib om te bepalen op welke kaartjes dit getal moet komen.<\/p>\n<h3><a id=\"Variaties_op_een_thema\"><\/a>Variaties op een thema<\/h3>\n<h5>Random Fibonacci<\/h5>\n<p>We kunnen de Fibonacci getallen ook willekeurig genereren door een muntje op te gooien:<br \/>\nWe beginnen weer met 1 en 1.<br \/>\nDaarna gooien we een muntje op:<br \/>\nValt de munt op &#8220;kop&#8221; dan tellen we de twee voorgaande getallen bij elkaar op,<br \/>\nvalt de munt op &#8220;munt&#8221; dan trekken we de twee voorgaande getallen van elkaar af.<\/p>\n<p>Je krijgt dan iets dat er als volgt uit kan zien:<\/p>\n<table style=\"width: 85.3448%;\" width=\"237\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\" width=\"64\">n<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\" width=\"109\">r<sub>n<\/sub>=r<sub>n-1<\/sub>+\/-r<sub>n-2<\/sub><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\" width=\"64\">r<sub>n+1<\/sub>\/r<sub>n<\/sub><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">1,5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">1,666667<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">-2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">-0,4<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">-3,5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">-9<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">-1,28571<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">-2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">0,222222<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">-11<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">5,5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">11<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">-0,81818<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 16.0345%;\">12<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 35.1724%;\">-2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 33.9655%;\">-0,22222<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>In de laatste kolom staat weer de factor van twee voorgaande getallen. Daar is veel aan gerekend. Opmerkelijk is dat deze factor ook een limiet heeft, namelijk: 1,1319882487943&#8230;, het getal van Visnath. Het duurt echter heel lang voordat deze limiet wordt bereikt.<\/p>\n<h5>Tribonacci<\/h5>\n<p>Begin je bij de Fibonacci rij met twee vaste waarden, bij een Tribonacci rij begin je met drie vaste waarden. De regel daarna is dat de volgende term de som van voorgaande drie termen is.<\/p>\n<p>Beginnen we de rij met 1, 1, 1 dan is de 4e term 1+1+1=3.<br \/>\nWe krijgen dus: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, &#8230;<\/p>\n<p>En ook de fracties T<sub>n<\/sub>\/T<sub>n-1<\/sub> gaan weer naar een limiet die gegeven wordt door de oplossing van de vergelijking x<sup>3<\/sup>-x<sup>2<\/sup>-x-1=0.<\/p>\n<p>Deze limiet is (ongeveer) 1,839287.<\/p>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29e7d28db\"  tabindex=\"0\" title=\"Berekening\"    >Berekening<\/span><div id=\"target-id69de29e7d28db\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>Voor het oplossen van een derdegraads vergelijking bestaan meerdere methodes.<br \/>\nWij gaan hier gebruik maken van de zogenaamde abcd-formule (naar analogie van de abc-formule voor tweedegraads vergelijkingen).<\/p>\n<p>We gaan uit van de standaard vorm: ax<sup>3<\/sup>+bx<sup>2<\/sup>+cx+d=0.<\/p>\n<p>Een oplossing krijg je door de volgende (abcd-) formule:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">x=\\sqrt[3]{\\frac{\\text{ - }q+\\sqrt{q^{2}+\\frac{4}{27}p^{3}}}{2}}+\\sqrt[3]{\\frac{\\text{ - }q\\text{ - }\\sqrt{q^{2}+\\frac{4}{27}p^{3}}}{2}}\\text{ - }\\frac{b}{3a},\\; met\\; p=\\frac{c}{a}\\text{ - }\\frac{b^{2}}{3a^{2}}\\; en\\; q=\\frac{2b^{3}}{27a^{3}}\\text{ - }\\frac{bc}{3a^{2}}+\\frac{d}{a}<\/div>\n<p>De voorwaarde voor bovenstaande formule is dat a (de factor voor x<sup>3<\/sup>) gelijk aan 1 is. Wanneer dat niet het geval is deel je alle factoren eerst door a.<\/p>\n<p>We zoeken hier een oplossing voor de vergelijking x<sup>3<\/sup>-x<sup>2<\/sup>-x-1=0, dus<br \/>\na=1, b=-1, c=-1 en d=-1.<\/p>\n<p>En dan is het een invuloefening geworden waaruit blijkt dat x \u2248 1,839287.<\/p>\n<p>De andere twee oplossingen vind je nu door de vergelijking te delen door (x-1,839287). Je houdt dan een tweedegraads vergelijking over en die is op te lossen met de gewone abc-formule.<br \/>\nIn ons voorbeeld zijn er geen andere re\u00eble oplossingen meer.<\/p>\n<\/div>\n<h5>Fibonacci gedicht<\/h5>\n<p>Een Fibonacci gedicht is een gedicht dat uit een aantal regels bestaat. Het aantal woorden per regel is een (oplopend) Fibonacci getal, dus regel 1 en regel 2 bestaan uit 1 woord, regel 3 bestaat uit 2 woorden etc.<\/p>\n<p>Een mooi (Engels) voorbeeld:<\/p>\n<p><em>I<\/em><br \/>\n<em>wrote<\/em><br \/>\n<em>a poem<\/em><br \/>\n<em>on a page<\/em><br \/>\n<em>but then each line grew<\/em><br \/>\n<em>by the word sum of the previous two<\/em><br \/>\n<em>until I started to worry at all these words coming with such frequency<\/em><br \/>\n<em>because, as you can see, it can be easy to run out of space when a poem gets all Fibonacci sequency.<\/em><\/p>\n<h3><a id=\"Driehoek_van_Pascal\"><\/a>Driehoek van Pascal<\/h3>\n<p>Ook in de bekende <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/\">driehoek van Pascal<\/a> zitten de Fibonacci getallen.<\/p>\n<p>De driehoek van Pascal wordt als volgt opgebouwd:<\/p>\n<p>Begin bovenaan met een 1,<br \/>\nop de tweede regel links van de 1 weer een 1 en rechts van de 1 ook een 1,<br \/>\nde derde regel begint weer links van de tweede regel met een 1, daarna de som van de bovenstaande getallen en eindigend met een 1,<br \/>\nalle regels daaronder volgen de vorige regel.<\/p>\n<p>Je krijgt dan:<\/p>\n<table width=\"544\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\">1<\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<td width=\"32\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td>2<\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td>3<\/td>\n<td><\/td>\n<td>3<\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td>4<\/td>\n<td><\/td>\n<td>6<\/td>\n<td><\/td>\n<td>4<\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td>5<\/td>\n<td><\/td>\n<td>10<\/td>\n<td><\/td>\n<td>10<\/td>\n<td><\/td>\n<td>5<\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td>6<\/td>\n<td><\/td>\n<td>15<\/td>\n<td><\/td>\n<td>20<\/td>\n<td><\/td>\n<td>15<\/td>\n<td><\/td>\n<td>6<\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td>7<\/td>\n<td><\/td>\n<td>21<\/td>\n<td><\/td>\n<td>35<\/td>\n<td><\/td>\n<td>35<\/td>\n<td><\/td>\n<td>21<\/td>\n<td><\/td>\n<td>7<\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>1<\/td>\n<td><\/td>\n<td>8<\/td>\n<td><\/td>\n<td>28<\/td>\n<td><\/td>\n<td>56<\/td>\n<td><\/td>\n<td>70<\/td>\n<td><\/td>\n<td>56<\/td>\n<td><\/td>\n<td>28<\/td>\n<td><\/td>\n<td>8<\/td>\n<td><\/td>\n<td>1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>De bovenste regel heeft index 0.<\/p>\n<p>De getallen op de (horizontale) regels zijn de co\u00ebffici\u00ebnten van (x+y)<sup>n<\/sup>.<\/p>\n<p>Bijvoorbeeld: (x+y)<sup>2<\/sup>=x<sup>2<\/sup>+2xy+y<sup>2<\/sup>, en (x+y)<sup>3<\/sup>=x<sup>3<\/sup>+3x<sup>2<\/sup>y+3xy<sup>2<\/sup>+y<sup>3<\/sup>.<\/p>\n<p>En nu de driehoek met de Fibonacci getallen (gekleurd):<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1356 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/pascal.png\" alt=\"\" width=\"681\" height=\"441\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/pascal.png 681w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/pascal-300x194.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 681px) 100vw, 681px\" \/><\/p>\n<p>Werkend van boven naar onder en van links naar rechts; kleur het witte vierkantje, ga 1 naar onder en 3 naar rechts, geeft het vierkantje dezelfde kleur. Herhaal totdat de driehoek verlaten is. Tel de getallen van de gekleurde vierkantjes bij elkaar op.<\/p>\n<h3><a id=\"De_restjes\"><\/a>De restjes&#8230;<\/h3>\n<h5>Deelbaarheid<\/h5>\n<p>Als n een deler van m is dan is F<sub>n<\/sub> een deler van F<sub>m<\/sub>. En omgekeerd gaat ook op, dus:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">n|m\\Leftrightarrow F_{n}|F_{m}<\/div>\n<h5>Laatste cijfers<\/h5>\n<p>Het laatste cijfer van F<sub>n <\/sub>\u2261 F<sub>n<\/sub> mod 10 als n&lt;100.<br \/>\nDe laatste 2 cijfers van F<sub>n <\/sub>\u2261 F<sub>n<\/sub> mod 100 als n&lt;1000.<\/p>\n<h5>Pisano<\/h5>\n<p>De notatie voor Pisano getallen is \u03c0(n).<br \/>\nZo is \u03c0(2)=3, \u03c0(3)=8, \u03c0(4)=6 etc.<br \/>\n\u03c0(n) is even voor n&gt;2<br \/>\nAls de GGD van m en n gelijk is aan 1 dan is \u03c0(mn) gelijk aan de KGV van \u03c0(m) en \u03c0(n).<\/p>\n<h5>Mediant<\/h5>\n<p>Met de mediant wordt een &#8220;foutieve&#8221; optelling van breuken bedoeld, namelijk tellers optellen en noemers optellen. Het symbool is \u2295.<br \/>\nDus de mediant van twee breuken is:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{a}{b}\\oplus \\frac{c}{d}=\\frac{a+c}{b+d}<\/div>\n<p>Kijk nu eens naar de volgende serie breuken:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{0}{1}\\oplus\\frac{1}{2}=\\frac{1}{3};\\frac{1}{2}\\oplus\\frac{1}{3}=\\frac{2}{5};\\frac{1}{3}\\oplus\\frac{2}{5}=\\frac{3}{8};\\frac{2}{5}\\oplus\\frac{3}{8}=\\frac{5}{13}<\/div>\n<p>Dit levert de volgende rij breuken op:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{0}{1},\\frac{1}{2},\\frac{1}{3},\\frac{2}{5},\\frac{3}{8},\\frac{5}{13},...<\/div>\n<p>Zie je de Fibonacci getallen terug komen in zowel de tellers als de noemers?<\/p>\n<h5>Deelbaar door 3<\/h5>\n<p>Wanneer je een willekeurig Fibonacci getal optelt bij het Fibonacci getal dat 4 plaatsen verderop staat en deze som deelt door het Fibonacci getal dat 2 plaatsen verderop staat is dit quoti\u00ebnt altijd deelbaar door 3. Dus 3|(F<sub>n<\/sub>+F<sub>n+4<\/sub>)\/F<sub>n+2<\/sub>.<br \/>\nVoorbeeld: .., 3, 5, 8, 13, 21, &#8230; (3+21)\/8 = 3 en dus deelbaar door 3.<\/p>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29e7d2940\"  tabindex=\"0\" title=\"Bewijs\"    >Bewijs<\/span><div id=\"target-id69de29e7d2940\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>Noem willekeurig Fibonacci getal a.<br \/>\nHet Fibonacci getal daarna noemen we b.<br \/>\nDan krijgen we de volgende 5 Fibonacci getallen: a, b, a+b, a+2b, 2a+3b.<br \/>\nEn daaruit volgt, volgens bovenstaande regel:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">3\\mid \\frac{a+(2a+3b)}{a+b}=\\frac{3a+3b}{a+b}=\\frac{3(a+b)}{a+b}=3<\/div>\n<\/div>\n<h5>Fibonacci sommen<\/h5>\n<p>Zie <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/fibonacci-sommen\/\">het artikel<\/a> daarover.<\/p>\n<h5>Is een willekeurig geheel getal een Fibonacci getal?<\/h5>\n<p>Er is een regel waarmee je kunt bepalen of een willekeurig geheel getal een Fibonacci getal is, ofwel of de voorkomt in de (standaard) rij van Fibonacci; de regel staat bekend onder de naam: De regel van Ira Gessel.<\/p>\n<p>Neem een willekeurig getal q.<br \/>\nWanneer \u221a(5q<sup>2<\/sup>+4) of \u221a(5q<sup>2<\/sup>-4) een geheel getal oplevert, dan is q een Fibonacci getal.<\/p>\n<p>Voorbeelden:<\/p>\n<p>Neem q=144, dan is \u221a(5*144<sup>2<\/sup>+4) = 322 geheel en dus is 144 een Fibonacci getal.<br \/>\nNeem q=88 dan zijn \u221a(5*88<sup>2<\/sup>+4) \u2248 88,023 en \u221a(5*88<sup>2<\/sup>-4) \u2248 89,977 beide niet geheel en is 88 dus geen Fibonacci getal.<\/p>\n<h5>Grootste Gemene Deler (GGD)<\/h5>\n<p>De GGD(F<sub>n<\/sub>, F<sub>m<\/sub>) = F<sub>GGD(n, m)<\/sub>, met F<sub>1<\/sub> = F<sub>2<\/sub> = 1.<\/p>\n<p>De GGD(F<sub>n<\/sub>, F<sub>n+1<\/sub>) = 1 ofwel F<sub>n<\/sub> en F<sub>n+1<\/sub> zijn altijd co-priem.<\/p>\n<h5>\u00e9\u00e9n negenentachtigste (1\/89)<\/h5>\n<p>Kijk eens naar de volgende som:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.<strong>0<\/strong><br \/>\n<\/span><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.0<strong>1<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.00<strong>1<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 <strong>2<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 0<strong>3<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 00<strong>5<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 000 <strong>8<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 000 <strong>13<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 000 0<strong>21<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 000 00<strong>3 4<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 000 000 <strong>55<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 000 000 0<strong>8 9<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.000 000 000 0<strong>1 44<\/strong><\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0.<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0.<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0.<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">_____________________+<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">0.011 235 955 056&#8230; = 1\/89<\/span><\/p>\n<p>Bij iedere stap komt er \u00e9\u00e9n decimaal bij.\u00a0 De cijfers die erbij komen volgen de rij van Fibonacci . De som is precies 1\/89.<\/p>\n<h3><a id=\"Korte_biografieen\"><\/a>Korte biografie\u00ebn<\/h3>\n<h5>Leonardo van Pisa<\/h5>\n<p>Leonardo van Pisa is omstreeks 1170 in Pisa geboren en circa 1250 overleden. De bijnaam Fibonacci betekent de zoon van Bonaccio, de bijnaam van zijn vader dat &#8220;goedzak&#8221; betekent. Een andere, oude, naam voor Pisa is Pisano.<\/p>\n<p>Leonardo was een wiskundige die tijdens zijn studie vele reizen maakten waaronder naar het oosten. Daar kwam hij in aanraking met de Indische manier van rekenen en de Arabisch-Indische cijfernotatie.<br \/>\nIn zijn beroemde boek Liber Abaci (letterlijk: Boek van het telraam) zette hij deze Indische methode uiteen, wat voor Europa een geheel nieuwe manier van rekenen betekende.<\/p>\n<h5>Fran\u00e7ois \u00c9douard Anatole Lucas<\/h5>\n<p>Fran\u00e7ois Lucas is op 4 April 1842 geboren in Amiens en is op 3 Oktober 1891 gestorven. Hij was een wiskundige.<\/p>\n<p>Buiten het feit dat hij zich bezig hield met serieuze wiskunde, waaronder onderzoek naar Diofantische vergelijkingen, en primaliteiten was hij ook recreatief wiskundige. De bekende Torens van Hanoi komen uit zijn koker.<\/p>\n<h5>Jacques Philippe Marie Binet<\/h5>\n<p>Jacques Binet is geboren on Rennes op 2 Februari 1786 en in Parijs gestorven op 12 Mei 1856. Hij was een wiskundige en astronoom.<\/p>\n<p>Hij hield zich, onder andere, bezig met de matrixtheorie waar hij de regel voor matrixvermenigvuldigingen vaststelde.<\/p>\n<p>En natuurlijk is hij bekend van de formule van Binet, waarvan gezegd moet worden dat deze al een eeuw eerder was gepubliceerd door de Moivre.<\/p>\n<h5>Blaise Pascal<\/h5>\n<p>Blaise Pascal is geboren op 19 Juni 1623 in Clermont-Ferrand en gestorven op 19 Augustus 1662 in Parijs. Hij was (heeft u even?) een wiskundige, natuurkundige, filosoof, en ingenieur. Verder hield hij zich actief bezig met de Christelijk leer.<\/p>\n<p>Hij is bovenal bekend door zijn baanbrekende werk op het gebied van de kansrekening.<\/p>\n<p>Maar ook onderscheidde hij zich op het gebied van de integraalleer, projectieve meetkunde, hydrostatica, hydrodynamica en combinatoriek. In dat laatste vakgebied ontstond de driehoek van Pascal.<\/p>\n<p>Hij bouwde ook de eerste mechanische rekenmachine, de Pascaline, die kon optellen en aftrekken.<\/p>\n<p>En &#8220;last but not least&#8221; is er natuurlijk de Wet van Pascal: De druk die op een vloeistof wordt uitgeoefend plant zich in alle richtingen met dezelfde grootte voort.<\/p>\n<h3><a id=\"Programmas\"><\/a>Programma&#8217;s<\/h3>\n<p>De volgende programma&#8217;s heb ik gebruikt:<\/p>\n<ul>\n<li>MS Excel<\/li>\n<li>Geogebra<\/li>\n<li>Python<\/li>\n<li>PHP<\/li>\n<\/ul>\n<p>Code<\/p>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29e7d2982\"  tabindex=\"0\" title=\"Excel functies (VBA)\"    >Excel functies (VBA)<\/span><div id=\"target-id69de29e7d2982\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">Function BinetInt(ByVal n As Integer) As Double<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Dim w5 As Double<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Dim phi As Double<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Dim m1dphi As Double<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 w5 = 5 ^ 0.5<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 phi = 0.5 + 0.5 * w5<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 m1dphi = (-1 \/ phi)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 BinetInt = (phi ^ n &#8211; m1dphi ^ n) \/ w5<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">End Function<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">Function BinetLucasInt(ByVal n As Integer) As Double<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Dim w5 As Double<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Dim phi As Double<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Dim m1dphi As Double<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 w5 = 5 ^ 0.5<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 phi = 0.5 + 0.5 * w5<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 m1dphi = (-1 \/ phi)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 BinetLucasInt = phi ^ n + m1dphi ^ n<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">End Function<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">Function MyMod(ByVal a As Double, ByVal b As Double) As Double<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Dim mm As Variant<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 mm = a &#8211; (b * Int(a \/ b))<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 MyMod = CInt(mm)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">End Function<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">Function Pisano(ByVal m As Long) As Long<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Dim i As Long<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Dim v As Double, h As Double<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 If m &gt; 2 Then<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 i = 2<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 v = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 h = 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 Do<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 v = h<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 i = i + 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 h = MyMod(BinetInt(i), m)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 Loop Until (v = 0 And h = 1)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 Pisano = i &#8211; 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 ElseIf m = 2 Then<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 Pisano = 3<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 Else<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 Pisano = -1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 End If<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">End Function<\/span><\/p>\n<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29e7d29a8\"  tabindex=\"0\" title=\"Binet grafieken (Python)\"    >Binet grafieken (Python)<\/span><div id=\"target-id69de29e7d29a8\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#Binet grafieken<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">import math<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">import matplotlib.pyplot as plt<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">wortel5 = math.sqrt(5)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">phi = 0.5 + 0.5*wortel5<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">def Binet(x):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 return (phi**x &#8211; (-1\/phi)**x)\/wortel5<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">def BinetLucas(x):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 return phi**x + (-1\/phi)**x<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">rfi=[]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ifi=[]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">rlu=[]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ilu=[]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">fib=[]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">luc=[]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">yas=[]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">xs=-5<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">xe=5<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">for x in range(xs,xe+1):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 fib.append(Binet(x))<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 luc.append(BinetLucas(x))<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 yas.append(0)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">f=100<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">for x in range(xs*f,int((xe+0.5)*f)):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 zb=Binet(x\/f)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 zl=BinetLucas(x\/f)<\/span><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 <\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 rfi.append(zb.real)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 ifi.append(zb.imag)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 rlu.append(zl.real)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 ilu.append(zl.imag)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">fig, ax = plt.subplots()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#ax.set_title(&#8216;Binet (blauwe lijn) en Fib (rode stippen)&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#ax.set_title(&#8216;Binet (cyane lijn) en Luc (magenta driehoekjes)&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.set_title(&#8216;Fib (blauwe lijn, rode stippen); Luc (cyaan lijn, magenta driehoekjes)&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#ax.set_xlim(-4,4)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#ax.set_ylim(-4,4)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.set_xlim(-5,5)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.set_ylim(-4,6)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#ticks=[n for n in range(-5,9)]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ticksx=[n for n in range(-5,5)]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ticksy=[n for n in range(-4,6)]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.set_xticks(ticksx)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.set_yticks(ticksy)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.set_box_aspect(0.9)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.plot(rfi,ifi,&#8217;b&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.plot(fib,yas,&#8217;ro&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.plot(rlu,ilu,&#8217;c&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.plot(luc,yas,&#8217;m&#8217;,marker=&#8217;^&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">ax.grid(True)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#plt.plot(r,i)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#plt.plot(fib,yas,&#8217;ro&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#plt.grid(True)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">plt.show()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">print(&#8220;klaar.&#8221;)<\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29e7d29e0\"  tabindex=\"0\" title=\"Pisano figuren (Q&amp;D; kan\/moet verbeterd worden) (Python)\"    >Pisano figuren (Q&amp;D; kan\/moet verbeterd worden) (Python)<\/span><div id=\"target-id69de29e7d29e0\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#Pisano figuren<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#bron: https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=o1eLKODSCqw&amp;t=325s&amp;ab_channel=JacobYatsko<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">import turtle as sp<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">import math<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">import random<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">from PIL import Image, ImageEnhance<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">from PIL import EpsImagePlugin<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">s=sp.Screen()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">t=sp.Turtle()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">t.hideturtle()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">t.pensize(2)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">t.pendown()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">t.speed(0)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">wortel5 = math.sqrt(5)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">phi = 0.5 + 0.5*wortel5<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">def Binet(n):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 return int((phi**n &#8211; (-1\/phi)**n)\/wortel5)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">fnmods=[]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">def MakeRange(m):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 global fnmods<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 fnmods=[0,1]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 i=1<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 h=1<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 while True:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 v=h<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 i=i+1<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 h=int(Binet(i) % m) \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 fnmods.append(h)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if v==0 and h==1:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 fnmods.pop()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 fnmods.pop()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 break<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">def DrawVertices(number):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 #trek lijnen tussen hoekpunten (vertices)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 a=number<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 h=360\/a<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 punten=[]<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 numzero=0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 for i in range(a+1):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.color(&#8216;red&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.circle(150,h)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.color(&#8216;blue&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.dot(10)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 punten.append(t.pos())<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.color(&#8216;magenta&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.pensize(1)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.penup() \u00a0 \u00a0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.goto(punten[0])<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.pendown()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 MakeRange(number)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 for i in range(len(fnmods)):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if fnmods[i] == 0:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 numzero = numzero + 1<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.goto(punten[fnmods[i]])<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.color(&#8216;black&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.penup()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.goto(-75,-30)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.write(&#8220;Number of points: &#8220;+str(number),font=(&#8216;Arial&#8217;,12,&#8217;normal&#8217;))<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.goto(-75,-60)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.write(&#8220;Number of vertices: &#8220;+str(len(fnmods)),align=&#8217;left&#8217;, font=(&#8216;Arial&#8217;,12,&#8217;normal&#8217;))<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.goto(-75,-90)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.write(&#8220;Number of zero&#8217;s: &#8220;+str(numzero),align=&#8217;left&#8217;, font=(&#8216;Arial&#8217;,12,&#8217;normal&#8217;))<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 #4 nullen: symetrisch; 1 nul: asymetrisch; 2 nullen: beide<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.goto(-75,-120)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.write(&#8220;fibn mod &#8220;+str(number)+&#8221;: &#8220;+str(fnmods),align=&#8217;center&#8217;, font=(&#8216;Arial&#8217;,8,&#8217;normal&#8217;))<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 #ts=sp.getscreen()<\/span><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 <\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">def DrawLines(number, step=25, repeat=1, angle=90):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 #regels:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 #als 0 -&gt; doe niets<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 #als even -&gt; naar rechts, vooruit<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 #als oneven -&gt; naar links, vooruit<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 lx=0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 ly=0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 while angle == 0:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 angle = random.uniform(-180,180)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.color(&#8216;black&#8217;)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.pendown<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 if number &gt; 1:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 MakeRange(number)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 for j in range(repeat):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 for i in range(len(fnmods)):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if fnmods[i] != 0:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if fnmods[i] % 2 == 0:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.right(angle)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.forward(step) \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 else:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.left(angle)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.forward(step)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 tx,ty=t.position()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if tx&lt;lx:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 lx=tx<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if ty&lt;ly:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 ly=ty<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 else: #speel met Fibonacci rij<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 for j in range(repeat):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 for i in range(13):<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 f = Binet(i)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if f != 0:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if f % 2 == 0:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.right(angle)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.forward(step)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 else:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.left(angle)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 t.forward(step)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 #s.delay(250)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 tx,ty=t.position()<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if tx&lt;lx:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 lx=tx<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 if ty&lt;ly:<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 ly=ty<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.penup() \u00a0 \u00a0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 s=&#8221;Params: mod=&#8221;+str(number)+&#8217;; repeat=&#8217;+str(repeat)+&#8217;; angle=&#8217;+str(angle)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 #print(lx,ly,len(s))<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.goto(lx,ly-25)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 t.write(s,align=&#8217;left&#8217;, font=(&#8216;Arial&#8217;,12,&#8217;normal&#8217;))<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0<\/span><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">DrawVertices(19)<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(1,repeat=1,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(2,repeat=2,angle=90,step=50) #align=center<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(3,repeat=4,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(4,repeat=4,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(5,repeat=1,angle=90,step=50) #align=center<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(6,repeat=2,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(7,repeat=3,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(8,repeat=2,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(9,repeat=2,angle=90,step=25) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(9,repeat=3,angle=100,step=25) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(10,repeat=1,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(11,repeat=4,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(12,repeat=2,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(13,repeat=2,angle=90,step=25) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(14,repeat=2,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(15,repeat=3,angle=90,step=25) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(16,repeat=2,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(17,repeat=2,angle=90,step=25) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(18,repeat=2,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(19,repeat=4,angle=90,step=25) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(20,repeat=2,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(21,repeat=3,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(22,repeat=4,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(23,repeat=2,angle=90,step=25) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">#DrawLines(24,repeat=2,angle=90,step=50) #align=left<\/span><\/div>\n<div><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">sp.done()<\/span><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29e7d2a31\"  tabindex=\"0\" title=\"Getal raden (PHP)\"    >Getal raden (PHP)<\/span><div id=\"target-id69de29e7d2a31\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">&lt;?php<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 session_start();<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $_SESSION[&#8216;beurt&#8217;] = 0;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $_SESSIOM[&#8216;som&#8217;] = 0;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $_SESSION[&#8216;antwoord&#8217;] = &#8216;nee&#8217;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">?&gt;<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">&lt;html&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 &lt;head&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 &lt;link rel=&#8221;stylesheet&#8221; href=&#8221;wiskunst.css&#8221;&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 &lt;title&gt;Ik raad uw getal&lt;\/title&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 &lt;\/head&gt;<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">&lt;?php<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 include &#8216;functions.php&#8217;;<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">?&gt;<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">&lt;?php<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $kaart1 = array(1, 4, 6, 9, 14, 17, 19, 22, 25, 27, 30);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $kaart2 = array(2, 7, 10, 15, 20, 23, 28, 31);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $kaart3 = array(3, 4, 11, 16, 17, 24, 25, 32);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $kaart4 = array(5, 6, 7, 12, 18, 19, 20, 26, 27, 28, 33);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $kaart5 = array(8, 9, 10, 11, 12, 29, 30, 31, 32, 33);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $kaart6 = array(13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $kaart7 = array(21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 $fib = array(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21);<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 function ToonKaart($nr) <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 global $kaart1, $kaart2, $kaart3, $kaart4, $kaart5, $kaart6, $kaart7;<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($nr == 1) <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $a = count($kaart1);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $kaart = $kaart1;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 };<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($nr == 2) <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $a = count($kaart2);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $kaart = $kaart2;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 }; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($nr == 3) <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $a = count($kaart3);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $kaart = $kaart3;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 }; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($nr == 4) <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $a = count($kaart4);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $kaart = $kaart4;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 }; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($nr == 5) <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $a = count($kaart5);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $kaart = $kaart5;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 }; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($nr == 6) <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $a = count($kaart6);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $kaart = $kaart6;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 }; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($nr == 7) <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $a = count($kaart7);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $kaart = $kaart7;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 }; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;table border=&#8217;0&#8242; cols=&#8217;4&#8242; rows=&#8217;4&#8242; width=&#8217;65%&#8217;&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;tr height=&#8217;15px;&#8217;&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 for ($i=0; $i&lt;$a; $i++) <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 { <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;td width=&#8217;5%&#8217; align=&#8217;right&#8217;&gt;&#8221; . $kaart[$i] . &#8220;&lt;\/td&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 if (($i + 1) % 4 == 0) {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;\/tr&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;tr height=&#8217;15px;&#8217;&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 } <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 }; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;\/table&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 };<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 function Speel()<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 { <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 global $fib;<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if (isset($_GET[&#8216;beurt&#8217;]))<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 { <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $beurt = htmlspecialchars($_GET[&#8216;beurt&#8217;]);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 };<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if (isset($_GET[&#8216;som&#8217;]))<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 { <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $som = htmlspecialchars($_GET[&#8216;som&#8217;]);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 };<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if (isset($_GET[&#8216;antwoord&#8217;]))<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 { <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $antwoord = htmlspecialchars($_GET[&#8216;antwoord&#8217;]);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 };<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($beurt&lt;1)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 myprint(&#8220;Ik raad uw getal&#8221;);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 myprint(&#8220;&#8221;);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 myprint(&#8220;Kies een getal tussen 1 en 33, beide mogen meedoen.&#8221;);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 myprint(&#8220;Naar aanleiding van uw antwoorden zal ik dat getal raden.&#8221;);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 myprint(&#8220;&#8221;);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;a href=&#8217;raadfib.php?beurt=1&amp;som=0&amp;antwoord=nee&#8217;&gt;Start spel&lt;\/a&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 };<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($beurt&gt;=1 &amp;&amp; $beurt&lt;=7)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 $g = ToonKaart($beurt);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 if ($antwoord == &#8216;ja&#8217;)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 $som += $fib[$beurt-1];<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 }; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 myprint(&#8220;&#8221;);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 if ($beurt &lt; 8)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;table border=&#8217;0&#8242; cols=&#8217;2&#8242; rows=&#8217;1&#8242; width=&#8217;65%&#8217;&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;tr height=&#8217;15px;&#8217;&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;td width=&#8217;5%&#8217; align=&#8217;right&#8217;&gt;&lt;a href=&#8217;raadfib.php?beurt=&#8221; . ($beurt+1) . &#8220;&amp;som=&#8221; . $som . &#8220;&amp;antwoord=ja&#8217;&gt;Ja, mijn getal staat er bij&lt;\/a&gt;&lt;\/td&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;td width=&#8217;5%&#8217; align=&#8217;right&#8217;&gt;&lt;a href=&#8217;raadfib.php?beurt=&#8221; . ($beurt+1) . &#8220;&amp;som=&#8221; . $som . &#8220;&amp;antwoord=nee&#8217;&gt;Nee, mijn getal staat er niet bij&lt;\/a&gt;&lt;\/td&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;\/tr&gt;&lt;\/table&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 };<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 };<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 if ($beurt &gt;= 8)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 if ($antwoord == &#8216;ja&#8217;)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 {<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 $som += $fib[7];<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 }<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 myprint(&#8220;U had &#8221; . $som . &#8221; gekozen.&#8221;);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 myprint(&#8220;&#8221;);<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 echo &#8220;&lt;a href=&#8217;raadfib.php?beurt=1&amp;som=0&amp;antwoord=nee&#8217;&gt;Nog eens spelen. (Anders kunt u dit venster sluiten)&lt;\/a&gt;&#8221;;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 };<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 };<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">?&gt;<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 &lt;body&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 &lt;div class=&#8221;header&#8221;&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 &lt;?php myheader(&#8220;&lt;div class=&#8217;headerfont&#8217;&gt;Ik raad uw getal&lt;\/div&gt;&#8221;); ?&gt; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 &lt;\/div&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 &lt;p&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 &lt;?php <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a0 Speel();<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 ?&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 \u00a0 &lt;\/p&gt; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">\u00a0 &lt;\/body&gt;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">&lt;\/html&gt;<\/span><\/p>\n<\/div>\n<h5><a id=\"Bronnen\"><\/a>Bronnen<\/h5>\n<p>Bijen: <a href=\"https:\/\/yoo.rs\/wetenschap-wiskunde-in-de-natuur-fibonacci-reeks-1630249277.html\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/yoo.rs\/wetenschap-wiskunde-in-de-natuur-fibonacci-reeks-1630249277.html<\/a><br \/>\nLucas: <a href=\"https:\/\/stringfixer.com\/nl\/Lucas_number\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/stringfixer.com\/nl\/Lucas_number<\/a><br \/>\nLeonardo van Pisa: <a href=\"https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Fibonacci\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Fibonacci<\/a><br \/>\nFibonacci: <a href=\"https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Rij_van_Fibonacci\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Rij_van_Fibonacci<\/a><br \/>\nLiber Abaci: <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Liber_Abaci\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Liber_Abaci<\/a><br \/>\nBinet: <a href=\"https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Jacques_Philippe_Marie_Binet\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Jacques_Philippe_Marie_Binet<\/a><br \/>\nPascal: <a href=\"https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Blaise_Pascal\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/nl.wikipedia.org\/wiki\/Blaise_Pascal<\/a><\/p>\n<p><strong>Youtube<\/strong><\/p>\n<p>Pisano: <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Nu-lW-Ifyec&amp;t=4s&amp;ab_channel=Numberphile\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=Nu-lW-Ifyec&amp;t=4s&amp;ab_channel=Numberphile<\/a><br \/>\nPisano figuren: <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=o1eLKODSCqw&amp;ab_channel=JacobYatsko\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=o1eLKODSCqw&amp;ab_channel=JacobYatsko<\/a><br \/>\nRandom Fibonacci: <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ELA8gNNMHoU&amp;ab_channel=Numberphile\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ELA8gNNMHoU&amp;ab_channel=Numberphile<\/a><br \/>\nGrafieken: <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ghxQA3vvhsk&amp;t=361s&amp;ab_channel=Stand-upMaths\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=ghxQA3vvhsk&amp;t=361s&amp;ab_channel=Stand-upMaths<\/a><br \/>\nTribonacci: <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=fMJflV_GUpU&amp;ab_channel=Numberphile\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=fMJflV_GUpU&amp;ab_channel=Numberphile<\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Inleiding Deze aflevering gaat over \u00e9\u00e9n van de bekendste rijen getallen, die van Fibonacci en waar we dit allemaal kunnen tegenkomen. Een simpele rij getallen die op de meest opmerkelijke plekken opduikt. Zo vinden we deze getallen in de natuur, in de kunst, in het menselijk lichaam. Maar ook meer abstract. Zo vind ik het [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2061,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-1273","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Over bloemetjes en bijtjes - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Over bloemetjes en bijtjes - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Inleiding Deze aflevering gaat over \u00e9\u00e9n van de bekendste rijen getallen, die van Fibonacci en waar we dit allemaal kunnen tegenkomen. Een simpele rij getallen die op de meest opmerkelijke plekken opduikt. Zo vinden we deze getallen in de natuur, in de kunst, in het menselijk lichaam. Maar ook meer abstract. Zo vind ik het [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-03-31T07:55:03+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"1200\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"218\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"47 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/over-bloemetjes-en-bijtjes\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/over-bloemetjes-en-bijtjes\\\/\",\"name\":\"Over bloemetjes en bijtjes - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/over-bloemetjes-en-bijtjes\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/over-bloemetjes-en-bijtjes\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/07\\\/bloemetjes-1024x186.png\",\"datePublished\":\"2022-07-25T07:34:54+00:00\",\"dateModified\":\"2026-03-31T07:55:03+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/over-bloemetjes-en-bijtjes\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/over-bloemetjes-en-bijtjes\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/over-bloemetjes-en-bijtjes\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/07\\\/bloemetjes.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/07\\\/bloemetjes.png\",\"width\":1200,\"height\":218},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/over-bloemetjes-en-bijtjes\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Artikel 00-0F\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":5,\"name\":\"Over bloemetjes en bijtjes\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Over bloemetjes en bijtjes - Wiskunst","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Over bloemetjes en bijtjes - Wiskunst","og_description":"Inleiding Deze aflevering gaat over \u00e9\u00e9n van de bekendste rijen getallen, die van Fibonacci en waar we dit allemaal kunnen tegenkomen. Een simpele rij getallen die op de meest opmerkelijke plekken opduikt. Zo vinden we deze getallen in de natuur, in de kunst, in het menselijk lichaam. Maar ook meer abstract. Zo vind ik het [&hellip;]","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2026-03-31T07:55:03+00:00","og_image":[{"width":1200,"height":218,"url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes.png","type":"image\/png"}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"47 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/","name":"Over bloemetjes en bijtjes - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes-1024x186.png","datePublished":"2022-07-25T07:34:54+00:00","dateModified":"2026-03-31T07:55:03+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/#primaryimage","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes.png","contentUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/07\/bloemetjes.png","width":1200,"height":218},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Artikel 00-0F","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/"},{"@type":"ListItem","position":5,"name":"Over bloemetjes en bijtjes"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1273","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1273"}],"version-history":[{"count":110,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1273\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2598,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1273\/revisions\/2598"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2061"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1273"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}