{"id":13,"date":"2022-01-20T10:10:15","date_gmt":"2022-01-20T09:10:15","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.hjgsoft.nl\/?page_id=13"},"modified":"2024-03-26T10:55:48","modified_gmt":"2024-03-26T09:55:48","slug":"formule-van-euler","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/","title":{"rendered":"Formule van Euler"},"content":{"rendered":"<h1><strong><span style=\"font-size: 36pt;\"><em>e<\/em><sup>\u03c0<em>i<\/em><\/sup> + 1 = 0<\/span><\/strong><\/h1>\n<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de27b6bd4b9\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69de27b6bd4b9\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#introductie\">Introductie<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#rekenkunde\">rekenkunde<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#cirkel\">cirkel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#euler\">Euler<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#faculteit\">faculteit<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#imaginairgetal\">imaginair getal<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#poolcoordinaten\">Poolco\u00f6rdinaten<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#complexegetallen\">Complexe getallen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#differentieren\">Differenti\u00ebren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#slot\">Slot<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#goniometrie\">goniometrie<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#appendix_a\">Appendix A &#8211; Logaritmen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#appendix_b\">Appendix B &#8211; Limieten<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#appendix_c\">Appendix C &#8211; Differenti\u00ebren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#appendix_d\">Appendix D &#8211; Transcendente getallen<\/a> <\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p>Bovenstaande vergelijking is wellicht de mooiste uit de wiskunde. Het combineert twee (bewezen) transcendente (zie <a href=\"#appendix_d\">Appendix D<\/a>) getallen, <em>e<\/em> en <em>\u03c0<\/em>, het imaginaire getal <em>i<\/em> en het laagste en hoogste getal uit de rekenkunde samen.<\/p>\n<p>Het wordt ook wel de formule van Euler genoemd naar de beroemde Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707-1783).<\/p>\n<p>In dit artikel doe ik uit de doeken hoe deze formule \u201cgemaakt\u201d kan worden.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-24 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/be-rational-300x300.png\" alt=\"be rational\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/be-rational-300x300.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/be-rational-150x150.png 150w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/be-rational.png 550w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3><a id=\"introductie\"><\/a>Introductie<\/h3>\n<h4><a id=\"rekenkunde\"><\/a>rekenkunde<\/h4>\n<p>In de rekenkunde, een onderdeel van de wiskunde, is 1 het laagste getal omdat ieder (natuurlijk) getal gedeeld kan worden door 1 zonder dat het getal zelf verandert.<\/p>\n<p>In diezelfde rekenkunde is 0 het hoogste getal omdat geen enkel (natuurlijk) getal door 0 kan worden gedeeld.<\/p>\n<h4><a id=\"cirkel\"><\/a>cirkel<\/h4>\n<p>Het getal <em>\u03c0<\/em> (Griekse letter pi) is wel bekend en is de constante die ontstaat wanneer je de omtrek van een cirkel deelt door de diameter van de cirkel. Het blijkt dat <strong><em>\u03c0 <\/em><\/strong><strong>\u2248 3,14159265<\/strong>.<\/p>\n<h4><a id=\"euler\"><\/a>Euler<\/h4>\n<p>Het getal <em>e<\/em>, het getal van Euler (vandaar de <em>e<\/em>), is de constante met de volgende eigenschap:<\/p>\n<p>f(<em>x<\/em>) = <em>e<sup>x<\/sup><\/em> \u2194 f\u2019(<em>x<\/em>) = <em>e<sup>x<\/sup><\/em>, ofwel de afgeleide van f(<em>x<\/em>) is precies gelijk aan f(<em>x<\/em>) zelf!<\/p>\n<p>De offici\u00eble definitie van <em>e<\/em> luidt:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">e=\\lim_{n\\rightarrow \\infty}(1+\\frac{1}{n})^{n}=\\sum_{k=1}^{n}\\frac{1}{k!}<\/div>\n<p>Als we in de bovenstaande definitie uitgaan van de som (sigma) dan krijgen we de volgende termen: <strong>1 + 1\/1! + 1\/2! + 1\/3! + 1\/4! + 1\/5! + \u2026 = 1 + 1 + 1\/2 +1\/6 + 1\/24 + 1\/120 + \u2026 \u2248<\/strong><strong>\u00a02,718281828<\/strong>.<\/p>\n<h4><a id=\"faculteit\"><\/a>faculteit<\/h4>\n<p>Het uitroepteken achter een getal betekent in de wiskunde de faculteit van dat getal en is niets anders dan de vermenigvuldiging van 1 x 2 x 3 x\u2026 x het getal. Dus <strong>5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120<\/strong>.<\/p>\n<p>De betekenis van faculteit kan gevonden worden in de kansberekening. Het beantwoordt de vraag op hoeveel verschillende manieren je <em>n<\/em> voorwerpen kunt rangschikken.<\/p>\n<p>Dus als je 5 pennen hebt: Op hoeveel verschillende manieren kun je die dan op een rijtje leggen? Het antwoord is op <strong>5! = 120<\/strong> verschillende manieren.<\/p>\n<h4><a id=\"imaginairgetal\"><\/a>imaginair getal<\/h4>\n<p>Tot slot het getal <em>i<\/em>; het zogenaamde imaginaire getal (natuurkundigen gebruiken meestal de letter <em>j<\/em>). Het getal <em>i<\/em> is een getal met de volgende eigenschap: <strong><em>i<\/em><sup>2<\/sup> = -1<\/strong>.<\/p>\n<p>Het getal zorgt er bijvoorbeeld voor dat iedere (polynomiale) vergelijking in de wiskunde een oplossing heeft.<\/p>\n<p>Wanneer je bijvoorbeeld kijkt naar de vergelijking <em>x<\/em><sup>2 <\/sup>\u2013 4 = 0 dan krijg je <em>x<\/em><sup>2 <\/sup>= 4\u00a0 en dus <em>x <\/em>= 2 of <em>x <\/em>= -2.<\/p>\n<p>Kijk je nu bijvoorbeeld naar de vergelijking <em>x<\/em><sup>2 <\/sup>+ 4 = 0 dan krijg je <em>x<\/em><sup>2 <\/sup>= -4. En op de middelbare school heb je geleerd dat je geen wortel van een negatief getal kunt trekken. Maar met de introductie van <em>i<\/em> kan dat nu wel. De oplossing van de laatste vergelijking is nu <em>x <\/em>= 2<em>i<\/em> of <em>x\u00a0<\/em>=\u00a0\u20112<em>i<\/em>. Ga maar na: <em>x <\/em>= 2<em>i<\/em> dan <em>x<\/em><sup>2 <\/sup>= (2<em>i<\/em>)<sup>2 <\/sup>= 4<em>i<\/em><sup>2<\/sup> en omdat <em>i<\/em><sup>2 <\/sup>= -1 krijg je dus 4<em>i<\/em><sup>2 <\/sup>= 4 x -1 = -4. Hetzelfde geldt voor <em>x <\/em>= -2<em>i<\/em>.<\/p>\n<h3><a id=\"poolcoordinaten\"><\/a>Poolco\u00f6rdinaten<\/h3>\n<p>Op de middelbare school heb je kennis gemaakt met het (Cartesisch, vernoemd naar Ren\u00e9 Descartes) assenstelsel. Dit zijn twee haaks op elkaar staande rechte lijnen. De horizontale lijn noem je de <em>x<\/em>-as en de verticale lijn noem je de <em>y<\/em>-as. Ieder punt in dit vlak kan nu op unieke wijze gekenmerkt worden door de <em>x<\/em>-co\u00f6rdinaat en de <em>y<\/em>-co\u00f6rdinaat; (<em>x<\/em>, <em>y<\/em>).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-27 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image004-300x300.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image004-300x300.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image004-150x150.png 150w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image004.png 400w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>Figuur 1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Zo heeft het rode punt in Figuur 1 de co\u00f6rdinaten (3, 2) wat betekent dat je vanaf het kruispunt van de <em>x<\/em>-as en de <em>y<\/em>-as, de oorsprong genaamd, 3 stappen naar rechts gaat en 2 stappen naar boven.<\/p>\n<p>Nu kun je datzelfde punt ook op een andere, eenduidige, manier beschrijven.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-28 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image005-300x300.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image005-300x300.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image005-150x150.png 150w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image005.png 400w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>Figuur 2<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>In Figuur 2 wordt het rode punt beschreven door de grootte van de lijn vanaf de oorsprong tot het punt (<em>r<\/em>) en de (positieve) hoek die die lijn maakt met de <em>x<\/em>-as (<em>\u03b8<\/em>, Theta).<\/p>\n<p>Het punt ligt dus vast als (<em>r<\/em>, <em>\u03b8<\/em>).<\/p>\n<p>De lengte <em>r<\/em> wordt ook wel <strong>modulus<\/strong> of <strong>absolute waarde<\/strong> genoemd en <em>\u03b8<\/em> het <strong>argument<\/strong>.<\/p>\n<p>Maar hoe komen we nu van Cartesische co\u00f6rdinaten naar poolco\u00f6rdinaten?<\/p>\n<p>Welnu, dat is niet heel moeilijk.<\/p>\n<p>Om <em>r<\/em> te bepalen gebruik je de stelling van Pythagoras: <em>x<\/em><sup>2 <\/sup>+ <em>y<\/em><sup>2 <\/sup>= <em>r<\/em><sup>2<\/sup>.<\/p>\n<p>In Figuur 1 hadden we het punt (3, 2). Dus de lengte van de lijn vanaf de oorsprong (0, 0) tot aan het punt (3, 2) is: <em>r<\/em> = \u221a(3<sup>2 <\/sup>+ 2<sup>2<\/sup>) = \u221a(9 + 4) = \u221a13.<\/p>\n<p>Het argument is niets anders dan de inverse tangens van de driehoek ABC met A = (0, 0), B\u00a0= (3, 0) en C = (3,2) en dus <em>\u03b8 <\/em>= tan<sup>-1<\/sup>(2\/3) \u00bb 33,7\u00b0.<\/p>\n<p>Het punt in Figuur 2 is dus (\u221a13, 33,7\u00b0).<\/p>\n<p>Omgekeerd, dus van poolco\u00f6rdinaten naar Cartesische co\u00f6rdinaten gebruik je de volgende formules:<\/p>\n<p><em>x <\/em>= <em>r<\/em>cos(<em>\u03b8<\/em>) en <em>y <\/em>= <em>r<\/em>sin(<em>\u03b8<\/em>), want de cos(<em>\u03b8<\/em>) is de aanliggende zijde gedeeld door de schuine zijde, dus <em>x<\/em>\/<em>r<\/em> en de sin(<em>\u03b8<\/em>) is de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde, dus <em>y<\/em>\/<em>r<\/em>.<\/p>\n<p>Met poolco\u00f6rdinaat-vergelijkingen kun je hele mooie grafieken maken:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-29 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image006-300x247.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"247\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image006-300x247.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image006.png 513w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>Figuur 3<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>In Figuur 3 is de grafiek van de vergelijking f(<em>h<\/em>) = 4cos(2<em>h<\/em>) getekend waarbij 0 \u2264 <em>h<\/em> \u2264 2\u03c0.<\/p>\n<p>Maar de echte reden van dit onderdeel komt terug in het volgende onderdeel.<\/p>\n<h3><a id=\"complexegetallen\"><\/a>Complexe getallen<\/h3>\n<p>Zoals eerder genoemd zijn imaginaire getallen gebaseerd op het getal <em>i<\/em> met de eigenschap <em>i<\/em><sup>2\u00a0<\/sup>=\u00a0-1.<\/p>\n<p>Een complex getal is een getal van de volgende vorm: <strong><em>z <\/em>= <em>a <\/em>+ <em>bi<\/em><\/strong>, waarbij <em>a<\/em> en <em>b<\/em> re\u00eble getallen zijn. Het getal <em>a<\/em> is het re\u00eble deel van het complexe getal, <strong>Re(<em>z<\/em>)<\/strong>, en <em>bi<\/em> het imaginaire deel van het getal, <strong>Im(<em>z<\/em>)<\/strong>.<\/p>\n<p>Alle complexe getallen zitten in de verzameling <strong>\u2102<\/strong>. Dit is een uitbreiding van de verzameling <strong>\u211d<\/strong>, waarin alle re\u00eble getallen zitten, met alle complexe getallen.<\/p>\n<p>We kunnen een complex getal weergeven in een Cartesisch assenstelsel waarbij we de <em>x<\/em>-as vervangen door de re\u00eble as en de <em>y<\/em>-as door de imaginaire as.<\/p>\n<p>Dus een complex getal <em>z <\/em>= <em>a <\/em>+ <em>bi<\/em> heeft in het assenstelsel de co\u00f6rdinaten (<em>a<\/em>, <em>bi<\/em>).<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-38 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image007.png\" alt=\"\" width=\"265\" height=\"220\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>Figuur 4<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>In Figuur 4 zie je het punt <em>z <\/em>= 4 + 4<em>i<\/em> afgebeeld.<\/p>\n<p>En nu komt het mooie. We kunnen complexe getallen en poolco\u00f6rdinaten gaan combineren.<\/p>\n<p>Wanneer <em>z <\/em>= <em>a <\/em>+ <em>bi<\/em> dan kunnen we <em>a<\/em> uitdrukken als <em>a <\/em>= <em>r<\/em>cos(<em>\u03b8<\/em>) en <em>bi<\/em> als <em>bi <\/em>= <em>ri<\/em>sin(<em>\u03b8<\/em>) en aldus <em>z<\/em> als <em>z <\/em>= <em>r<\/em>cos(<em>\u03b8<\/em>) + <em>ri<\/em>sin(<em>\u03b8<\/em>) = <em>r<\/em>(cos(<em>\u03b8<\/em>) + <em>i<\/em>sin(<em>\u03b8<\/em>)).<\/p>\n<h3><a id=\"differentieren\"><\/a>Differenti\u00ebren<\/h3>\n<p>Differenti\u00ebren (zie <a href=\"#appendix_c\">Appendix C<\/a>) is in de wiskunde een techniek om de richtingsco\u00ebffici\u00ebnt van de raaklijnen aan een grafiek te bepalen.<\/p>\n<p>Voorbeeld:<\/p>\n<p>Stel we hebben de functie f(<em>x<\/em>) = <em>x<\/em><sup>2<\/sup>. Als we de afgeleide (zo wordt differenti\u00ebren ook genoemd) van f(<em>x<\/em>) bepalen dan krijgen we f\u2019(<em>x<\/em>) = 2<em>x<\/em>. Dit betekent dat als we de raaklijn willen bepalen in het punt 2 van de grafiek deze raaklijn een richtingsco\u00ebffici\u00ebnt van f\u2019(2) = 2 x 2 = 4 heeft.<\/p>\n<p>Als we de vergelijking van de raaklijn in punt 2 willen hebben dan krijgen we de vergelijking y\u00a0= 4<em>x <\/em>&#8211; 4.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-40 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image008-300x300.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image008-300x300.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image008-150x150.png 150w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image008.png 600w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>Figuur 5<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>In Figuur 5 is bovenstaand voorbeeld uitgewerkt.<\/p>\n<p>Nu vroeg Euler (eigenlijk eerst Napier; de \u201cuitvinder\u201d van de logaritme (zie <a href=\"#appendix_a\">Appendix A<\/a>)) zich af of er ook een functie bestaat waarvan de afgeleide functie gelijk is aan de functie zelf.<\/p>\n<p>Hij zocht naar een functie f(<em>x<\/em>) = <em>a<sup>x<\/sup><\/em> waarvan f\u2019(<em>x<\/em>) = <em>a<sup>x<\/sup><\/em> is.<\/p>\n<p>Om in z\u2019n algemeenheid de afgeleide van een functie f(<em>x<\/em>) te bepalen maak je gebruik van de volgende formule:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">f&#039;(x)=\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{f(x+h)\\text{ - }f(x)}{h}<\/div>\n<p>En deze (limiet-; zie <a href=\"#appendix_b\">Appendix B<\/a>) formule wordt gebruikt om de afgeleide van f(<em>x<\/em>) = <em>a<sup>x<\/sup><\/em> te bepalen voor bepaalde <em>a<\/em> zodanig dat de afgeleide precies <em>a<sup>x<\/sup><\/em> oplevert.<\/p>\n<p>En via een tabelletje laat ik zien hoe we aan <em>a<\/em> komen:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"153\"><strong><em>a<\/em> [f(x)=a<sup>x<\/sup>]<\/strong><\/td>\n<td width=\"165\"><strong>f\u2019(x)<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"153\">2,5<sup>x<\/sup><\/td>\n<td width=\"165\">2,5<sup>x<\/sup> x 0,916<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"153\">2,6<sup> x<\/sup><\/td>\n<td width=\"165\">2,6<sup> x<\/sup> x 0,955<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"153\">2,7<sup> x<\/sup><\/td>\n<td width=\"165\">2,7<sup> x<\/sup> x 0,993<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"153\">2,8<sup> x<\/sup><\/td>\n<td width=\"165\">2,8<sup> x<\/sup> x 1,029<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"153\">2,75<sup> x<\/sup><\/td>\n<td width=\"165\">2,75<sup> x<\/sup> x 1,011<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"153\">2,725<sup> x<\/sup><\/td>\n<td width=\"165\">2,725<sup> x<\/sup> x 1,002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"153\">2,715<sup> x<\/sup><\/td>\n<td width=\"165\">2,715<sup> x<\/sup> x 0,999<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>De kunst is dus om de factor achter <em>a<sup>x<\/sup><\/em> gelijk aan 1 te krijgen.<\/p>\n<p>Euler ontdekte dat <em>a<\/em> dan 2,718281828904590\u2026 moet zijn. En dat is dus het getal van Euler die we <em>e<\/em> noemen!<\/p>\n<p>Een logaritme met grondtal <em>e<\/em> wordt dan ook de <strong>natuurlijke logaritme<\/strong> genoemd en wordt als <strong>ln<\/strong> genoteerd.<\/p>\n<p>Overigens is de formule voor de afgeleide van f(<em>x<\/em>) = <em>a<sup>x<\/sup><\/em>, f\u2019(<em>x<\/em>) = <em>a<sup>x<\/sup><\/em>.ln(<em>a<\/em>). En in het geval dat <em>a\u00a0<\/em>=\u00a0<em>e<\/em> is ln(<em>a<\/em>) = ln(<em>e<\/em>) = 1.<\/p>\n<p><strong>Opmerking<\/strong>: Het getal <em>e<\/em> is eerder ontdekt door Jacob Bernoulli bij zijn berekeningen naar samengesteld interest: \u20ac1x(1+1\/\u221e)<sup>\u221e<\/sup>=\u20ac2,714281428459045\u2026=\u20ac<span style=\"font-size: 18pt;\"><em>e<\/em><\/span>.<\/p>\n<h3><a id=\"slot\"><\/a>Slot<\/h3>\n<p>Laten we nu eens al het voorgaande op een slimme manier gaan combineren.<\/p>\n<h4><a id=\"goniometrie\"><\/a>goniometrie<\/h4>\n<p>Een paar wetenswaardigheden over goniometrie zullen we hier herhalen.<\/p>\n<p>Als f(<em>x<\/em>) = cos(<em>x<\/em>) dan f\u2019(<em>x<\/em>) = -sin(<em>x<\/em>).<br \/>\nAls f(<em>x<\/em>) = sin(<em>x<\/em>) dan f\u2019(<em>x<\/em>) = cos(<em>x<\/em>).<br \/>\nEen hoek van 180\u00b0 = \u03c0.<br \/>\nSin(180\u00b0) = sin(\u03c0) = 0.<br \/>\nCos(180\u00b0) = cos(\u03c0) = -1.<\/p>\n<p>We weten dat we <em>z <\/em>= <em>a <\/em>+ <em>bi<\/em> kunnen schrijven als <em>z <\/em>= <em>r<\/em>(cos(<em>\u03b8<\/em>) + <em>i<\/em>sin(<em>\u03b8<\/em>)). Laten we voor het gemak eens <em>r <\/em>= 1 kiezen en dan de volgende functie gaan differenti\u00ebren:<\/p>\n<p>f(<em>x<\/em>) = cos(<em>x<\/em>) + <em>i<\/em>sin(<em>x<\/em>)<\/p>\n<p>f\u2019(<em>x<\/em>) = -sin(<em>x<\/em>) + <em>i<\/em>cos(<em>x<\/em>) = <em>i<\/em>(cos(<em>x<\/em>) + <em>i<\/em>sin(<em>x<\/em>)), en wat nu als laatste tussen haakjes staat is weer f(<em>x<\/em>).<\/p>\n<p>Dus <strong>f\u2019(<em>x<\/em>) = <em>i.<\/em>f(<em>x<\/em>)<\/strong>. En buiten het feit dat <em>i<\/em> hier gewoon een constante is hebben we hier een functie waarvan de afgeleide weer dezelfde functie oplevert.<\/p>\n<p>En we weten dat er nog zo\u2019n functie bestaat, namelijk f(<em>x<\/em>) = f\u2019(x) = <em>e<sup>x<\/sup><\/em>.<\/p>\n<p>Alleen missen we nog de factor <em>i<\/em> voor de f(x).<\/p>\n<p>Wat als f(x)=<em>e<\/em><sup>ix<\/sup>? Dan is <strong>f\u2019(x) =<\/strong> <em>ie<\/em><sup>ix<\/sup> = <strong><em>i<\/em>.f(x)<\/strong> (toepassen van de kettingregel).<\/p>\n<p>En daar is onze factor <em>i<\/em>.<\/p>\n<p>We mogen dus f(<em>x<\/em>) = cos(<em>x<\/em>) + <em>i<\/em>sin(<em>x<\/em>) ook schrijven als f(<em>x<\/em>) = <em>e<sup>ix<\/sup><\/em>.<\/p>\n<p>Dus f(<em>x<\/em>) = cos(<em>x<\/em>) + <em>i<\/em>sin(<em>x<\/em>) = <em>e<sup>ix<\/sup><\/em>.<\/p>\n<p>Stel dat we nu voor <em>x<\/em> het getal <em>\u03c0<\/em> invullen.<\/p>\n<p>Dan krijgen we dus f(<em>\u03c0<\/em>) = <em>e<sup>\u03c0i<\/sup><\/em> = cos(<em>\u03c0<\/em>) + <em>i<\/em>sin(<em>\u03c0<\/em>) = -1 + <em>i<\/em>.0 = -1.<\/p>\n<p>Dus <em>e<sup>\u03c0i<\/sup><\/em> = -1 en dus <strong><em>e<sup>\u03c0i<\/sup><\/em><\/strong><strong> + 1 = 0<\/strong>.<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 18pt;\"><em><strong>Hoe mooi toch is de wiskunde!!!<\/strong><\/em><\/span><\/p>\n<hr \/>\n<h3><a id=\"appendix_a\"><\/a>Appendix A \u2013 Logaritmen<\/h3>\n<p>Wanneer je wel eens hebt gerekend dan weet je dat iedere bewerking ook een tegenstelde bewerking heeft.<\/p>\n<p>De tegengestelde bewerking van optellen is aftrekken en de tegengestelde bewerking van vermenigvuldigen is delen.<\/p>\n<p>Maar hoe zit dat nu met machtsverheffen?<\/p>\n<p>Bij machtsverheffen heb je twee tegengestelde bewerkingen. De eerste, en meest bekende, is worteltrekken en levert je het grondtal van de machtsverheffing op.<\/p>\n<p>De tweede levert je de exponent op en dat is logaritme.<\/p>\n<p>Dus een logaritme is niets anders dan een exponent.<\/p>\n<p>Voorbeeld:<\/p>\n<p>We kijken naar de machtsverheffing 2<sup>10<\/sup> = 1024. Het getal 2 noemen we het grondtal, het getal 10 de exponent en het getal 1024 het antwoord of resultaat.<\/p>\n<p>Wanneer ik vanuit 2<sup>10<\/sup> = 1024 de 2, het grondtal, weer terug wil hebben dan trek ik de 10<sup>e<\/sup>\u2011machts wortel uit 1024, dus:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\sqrt[10]{1024}=2<\/div>\n<p>Maar als ik de exponent, in ons voorbeeld 2, als resultaat wil hebben dan moet ik een logaritme gebruiken. Ik neem dan, in woorden, de \u201c<em>2-log van 1024<\/em>\u201d.<\/p>\n<p>In symbolen is dat: <sup>2<\/sup>log 1024 = 10 of, wat moderner, log<sub>2<\/sub> 1024 = 10.<\/p>\n<p>Dus algemeen: <em><sup>grondtal<\/sup>log antwoord = exponent<\/em>.<\/p>\n<p>Om een logaritme uit het hoofd te berekenen, of desnoods op papier, is erg bewerkelijk. Daarom is een rekenmachine erg handig. Alleen zit er op een rekenmachine geen <sup>2<\/sup>log, maar enkel de knop <em>log<\/em> en soms ook de knop <em>ln<\/em>.<\/p>\n<p>De knop <em>log<\/em> rekent de <sup>10<\/sup>log uit en de knop <em>ln<\/em> de natuurlijke logaritme(dus met grondtal <em>e<\/em>).<\/p>\n<p>Nu is er gelukkig een makkelijke formule om van een <sup>n<\/sup>log een <sup>10<\/sup>log of ln te maken.<\/p>\n<p>Deze luidt:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">^{n}\\log a=\\frac{^{10}\\log a}{^{10}\\log n}=\\frac{\\ln a}{\\ln n}<\/div>\n<p>Dus om <sup>2<\/sup>log 1024 uit te rekenen toets je op je rekenmachine <em>ln<\/em>1024\/<em>ln<\/em>2 in.<\/p>\n<hr \/>\n<h3><a id=\"appendix_b\"><\/a>Appendix B &#8211; Limieten<\/h3>\n<p>In het stuk hierboven en in <a href=\"#appendix_c\">Appendix C<\/a> wordt gesproken over limieten (lim).<br \/>\nZonder een diepgaande verhandeling hierover te geven beperk ik mij tot een \u201cglobale\u201d schets van wat een limiet is.<br \/>\nEr zijn functies waarvan een bepaalde waarde niet bestaat maar waarvan we wel kunnen bepalen wat de functiewaarde moet zijn.<br \/>\nDit geldt bijvoorbeeld voor functies die een noemer hebben waarvan de waarde 0 kan worden en je kunt nu eenmaal niet delen door 0.<br \/>\nVoorbeeld:<br \/>\nBekijk de functie:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">f(x)=\\frac{x^{3}\\text{ - }3x^{2}}{x\\text{ - }3}<\/div>\n<p>De waarde <em>f(3)<\/em> bestaat niet omdat <em>x-3<\/em> dan <em>0<\/em> wordt.<br \/>\nKijken we echter naar de grafiek van <em>f(x)<\/em> dan zien we een \u201cgewone\u201d parabool:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-665 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/image013-300x300.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/image013-300x300.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/image013-150x150.png 150w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/image013.png 584w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>We kunnen nu via een limiet bepalen wat de waarde van <em>f(3)<\/em> moet zijn:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\lim_{x\\rightarrow 3}\\frac{x^{3}\\text{ - }3x^{2}}{x\\text{ - }3}=\\lim_{x\\rightarrow 3}\\frac{x^{2}(x\\text{ - }3)}{(x\\text{ - }3)}=\\lim_{x\\rightarrow 3}x^{2}=9<\/div>\n<p>De teller kan ontbonden worden in <em>x<sup>2<\/sup>(x-3)<\/em> en zo krijgen we in de teller en de noemer dezelfde factor, namelijk <em>(x-3)<\/em>. En gelijke factoren kunnen worden \u201cweggestreept\u201d. En zo blijft <em>x<sup>2<\/sup><\/em> over. En als <em>x=3<\/em> dan is <em>x<sup>2<\/sup>=9<\/em>.<br \/>\nWe kunnen dus concluderen dat <em>f(3)=9;<\/em>\u00a0netter gezegd: Als <em>x<\/em> naar <em>3 <\/em>nadert dan nadert <em>f(x)<\/em> naar <em>9<\/em>.<br \/>\nEr zijn boeken volgeschreven over limieten en het is rauwe kost, maar ik hoop dat deze uitleg voldoende is voor de volgende paragraaf.<\/p>\n<hr \/>\n<h3><a id=\"appendix_c\"><\/a>Appendix C \u2013 Differenti\u00ebren<\/h3>\n<p>Zoals eerder uitgelegd wil je met differenti\u00ebren de raaklijn in een punt van de grafiek bepalen.<\/p>\n<p>Daarvoor wordt de volgende formule gebruikt:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">f&#039;(x)=\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{f(x+h)\\text{ - }f(x)}{h}<\/div>\n<p>Maar hoe komen we aan deze formule?<\/p>\n<p>Kijk eens naar het volgende figuur:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-48 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image013-212x300.png\" alt=\"\" width=\"212\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image013-212x300.png 212w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/image013.png 309w\" sizes=\"auto, (max-width: 212px) 100vw, 212px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<table width=\"100%\">\n<tbody>\n<tr>\n<td>Figuur 6<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>In Figuur 6 is de groene lijn de grafiek van ene f(x). De blauwe lijn is de snijlijn die door de punten f(x) en f(x+\u0394x) gaat (\u0394 is de Griekse hoofdletter delta). De formule van een rechte lijn is y = ax + b waarbij a de richtingsco\u00ebffici\u00ebnt (tegenwoordig ook wel hellingshoek genoemd) is en b het snijpunt met de y-as.<\/p>\n<p>Je kunt deze formule bepalen als je twee punten weet, en in Figuur 6 is dat het geval, namelijk (x, f(x)) en (x+\u0394x , f(x+\u0394x)).<\/p>\n<p>Om de richtingsco\u00ebffici\u00ebnt te bepalen deel je het verschil van de y-waardes van de punten door het verschil van de x-waardes van de punten.<\/p>\n<p>We krijgen dan dus:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{f(x+\\Delta x)\\text{ - }f(x)}{(x+\\Delta x)\\text{ - }x}=\\frac{f(x+\\Delta x)\\text{ - }f(x)}{\\Delta x}<\/div>\n<p>Maar wat gebeurt er nu als we \u0394x heel dicht bij x nemen. Zo dicht zelfs dat we op het oog geen verschil meer kunnen zien. Dan wordt de snijlijn een raaklijn. En dan krijgen we de eerste formule, waarbij <em>h<\/em> de rol van \u0394x vervult.<\/p>\n<p>Laten we de formule eens gebruiken voor de functie f(x)=x<sup>2<\/sup>.<\/p>\n<p>We krijgen dan:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">f&#039;(x)=\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{f(x+h)\\text{ - }f(x)}{h}=\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{(x+h)^{2}\\text{ - }x^{2}}{h}=\\newline \\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{x^{2}+2xh+h^{2}\\text{ - }x^{2}}{h}=\\lim_{h\\rightarrow 0}\\frac{2xh+h^{2}}{h}=\\newline \\lim_{h\\rightarrow 0}2x+h=2x<\/div>\n<p>Dus als f(x) = x<sup>2<\/sup> dan is f\u2019(x) = 2x.<\/p>\n<hr \/>\n<h3><a id=\"appendix_d\"><\/a>Appendix D \u2013 Transcendente getallen<\/h3>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Op de middelbare school heb je, hopelijk, de volgende soorten getallen geleerd:<\/p>\n<p><em>Natuurlijke<\/em> getallen \u2013 alle positieve gehele getallen (eventueel met 0);<br \/>\n<em>Gehele<\/em> getallen \u2013 alle positieve en negatieve (en 0) gehele getallen;<br \/>\n<em>Rationale<\/em> getallen \u2013 alle getallen die te schrijven zijn als een (niet vereenvoudigbare) breuk a\/b met a en b geheel;<br \/>\n<em>Irrationale<\/em> getallen \u2013 alle getallen die niet rationaal zijn, dus niet te schrijven zijn als een breuk a\/b met a en b geheel.<\/p>\n<p>Voobeelden:<\/p>\n<p>Natuurlijke getallen: 2, 16, 1024<\/p>\n<p>Gehele getallen: -18, 0, 23<\/p>\n<p>Rationale getallen: -\u00bd , 0, \u00be<\/p>\n<p>Irrationale getallen: -\u221a15, \u221a2, <em>e<\/em>, \u03c0<\/p>\n<p>We zien in het laatste voorbeeld dat zowel de wortels als <em>e<\/em> en \u03c0 dus irrationale getallen zijn.<\/p>\n<p>Maar toch is er een groot verschil tussen de wortels en <em>e<\/em> en \u03c0.<\/p>\n<p>De wortels zijn oplossingen van polynomiale vergelijkingen. Dat zijn vergelijkingen van de vorm: f(x) = x<sup>n<\/sup> + a<sub>n-1<\/sub>x<sup>n-1<\/sup> + a<sub>n-2<\/sub>x<sup>n-2<\/sup> + \u2026 + a<sub>1<\/sub>x + a<sub>0<\/sub>.<\/p>\n<p>En zo is \u221a2 een oplossing van de polynoom f(x) = x<sup>2 <\/sup>&#8211; 2.<\/p>\n<p>Voor iedere wortel is een polynoom te vinden.<\/p>\n<p>Het blijkt echter dat voor <em>e<\/em> en \u03c0 er geen polynoom bestaat en deze getallen kennelijk tot een andere categorie behoren.<\/p>\n<p>En in plaats van de getallen onder te verdelen in <em>rationaal<\/em> en <em>irrationaal<\/em> kun je ook een ander onderscheid maken.<\/p>\n<p>Oplossingen van polynomen worden <strong><em>algebra\u00efsche<\/em><\/strong> getallen genoemd.<\/p>\n<p>Getallen die niet algebra\u00efsch zijn heten <strong><em>transcendente<\/em><\/strong> getallen.<\/p>\n<p>De wortels zijn dus voorbeelden van algebra\u00efsche getallen; dit geldt evenzeer voor de rationale, de gehele en de natuurlijke getallen.<\/p>\n<p>De getallen <em>e<\/em> en \u03c0 zijn dus transcendent.<\/p>\n<p>De meeste logaritmes zijn (waarschijnlijk) ook transcendent. Het is echter heel lastig om aan te tonen dat een getal transcendent is.<\/p>\n<p>En tot slot een merkwaardig feitje: Er zijn <strong>meer<\/strong> transcendente getallen dan algebra\u00efsche getallen (zoals uit de verzamelingenleer van Cantor is gebleken).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>e\u03c0i + 1 = 0 Inleiding Bovenstaande vergelijking is wellicht de mooiste uit de wiskunde. Het combineert twee (bewezen) transcendente (zie Appendix D) getallen, e en \u03c0, het imaginaire getal i en het laagste en hoogste getal uit de rekenkunde samen. Het wordt ook wel de formule van Euler genoemd naar de beroemde Zwitserse wiskundige [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2061,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-13","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Formule van Euler - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Formule van Euler - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"e\u03c0i + 1 = 0 Inleiding Bovenstaande vergelijking is wellicht de mooiste uit de wiskunde. Het combineert twee (bewezen) transcendente (zie Appendix D) getallen, e en \u03c0, het imaginaire getal i en het laagste en hoogste getal uit de rekenkunde samen. Het wordt ook wel de formule van Euler genoemd naar de beroemde Zwitserse wiskundige [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-03-26T09:55:48+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/be-rational-300x300.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"16 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/formule-van-euler\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/formule-van-euler\\\/\",\"name\":\"Formule van Euler - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/formule-van-euler\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/formule-van-euler\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/01\\\/be-rational-300x300.png\",\"datePublished\":\"2022-01-20T09:10:15+00:00\",\"dateModified\":\"2024-03-26T09:55:48+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/formule-van-euler\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/formule-van-euler\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/formule-van-euler\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/01\\\/be-rational.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/01\\\/be-rational.png\",\"width\":550,\"height\":550,\"caption\":\"be rational\"},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/formule-van-euler\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Artikel 00-0F\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":5,\"name\":\"Formule van Euler\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Formule van Euler - Wiskunst","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Formule van Euler - Wiskunst","og_description":"e\u03c0i + 1 = 0 Inleiding Bovenstaande vergelijking is wellicht de mooiste uit de wiskunde. Het combineert twee (bewezen) transcendente (zie Appendix D) getallen, e en \u03c0, het imaginaire getal i en het laagste en hoogste getal uit de rekenkunde samen. Het wordt ook wel de formule van Euler genoemd naar de beroemde Zwitserse wiskundige [&hellip;]","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2024-03-26T09:55:48+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/be-rational-300x300.png","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"16 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/","name":"Formule van Euler - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/be-rational-300x300.png","datePublished":"2022-01-20T09:10:15+00:00","dateModified":"2024-03-26T09:55:48+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/#primaryimage","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/be-rational.png","contentUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/be-rational.png","width":550,"height":550,"caption":"be rational"},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/formule-van-euler\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Artikel 00-0F","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/"},{"@type":"ListItem","position":5,"name":"Formule van Euler"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/13","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=13"}],"version-history":[{"count":44,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/13\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2046,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/13\/revisions\/2046"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2061"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=13"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}