{"id":1415,"date":"2022-08-08T12:35:30","date_gmt":"2022-08-08T11:35:30","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.nl\/?page_id=1415"},"modified":"2024-03-26T10:55:26","modified_gmt":"2024-03-26T09:55:26","slug":"driehoek-van-pascal","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/","title":{"rendered":"Driehoek van Pascal"},"content":{"rendered":"<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de28169cbe4\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69de28169cbe4\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#maken\">De driehoek maken<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#som\">Som van de rijen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#machten\">Machten van 11<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#diagonalen\">Diagonalen<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#natuurlijke\">Natuurlijke getallen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#driehoeks\">Driehoeks getallen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#tetraedisch\">Tetra\u00ebdrische getallen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#fibonacci\">Fibonacci getallen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#hockeystick\">Hockeystick<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#merkwaardige\">Merkwaardige producten<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#binomiaal\">Binomiaal co\u00ebffici\u00ebnten<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#sierpinski\">Sierpinski<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#priemen\">Priemen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#pi\">\u03c0<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#e\">e<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#samengestelde\">Samengetelde rente<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#overige\">Overige feitjes<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#statistieken\">Statistieken<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#even\">Even\/oneven<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#drienulnuldrie\">3003<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#zelf\">Zelf proberen<\/a> <\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p>De driehoek van Pascal is een wiskundige curiositeit maar tevens ook een (zeer) handige tool bij het bepalen van kansen.<\/p>\n<p>Net zoals de stelling van Pythagoras niet door Pythagoras is ontdekt is de Driehoek van Pascal niet door Pascal ontdekt.<br \/>\nGeschriften uit de 10<sup>e<\/sup> eeuw uit India en Perzi\u00eb (Iran) en uit de 13<sup>e<\/sup> eeuw uit China maken al melding van de driehoek.<br \/>\nIn de 16<sup>e<\/sup> eeuw wordt door de Duitser Peter Apian de driehoek genoemd.<br \/>\nEn in de 17<sup>e<\/sup> eeuw maakt Pascal gebruik van de driehoek on zijn verhandelingen over kansberekening.<br \/>\nIn de 18<sup>e<\/sup> eeuw werd de driehoek, door onder andere de Moivre\u00a0 vernoemd naar Pascal.<br \/>\nOverigens vindt je in Zuid Europa ook de naam: Driehoek van Tartaglia (o.a. in Itali\u00eb), omdat hij de driehoek ook gebruikte.<\/p>\n<p>In dit artikel gaan we kijken naar hoe de driehoek wordt gemaakt en welke zaken we in de driehoek allemaal kunnen terugvinden.<br \/>\nBewijzen laat ik achterwege. Op het internet zijn er genoeg te vinden&#8230;<\/p>\n<h3><a id=\"maken\"><\/a>De driehoek maken<\/h3>\n<p>Om de driehoek te maken beginnen we bovenaan, in de top dus, met het noteren van een 1:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">1<\/span><\/p>\n<p>Daaronder zetten we links van de 1 weer een 1 en rechts daarvan ook weer een 1:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a01<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">1 1<\/span><\/p>\n<p>De derde regel zetten we weer een regel lager en beginnen weer met een 1, daarna steeds de som van de twee bovenliggende getallen (eentje links daarboven een eentje rechts daarboven, om weer met een 1 te eindigen:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a01 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">1 2 1<\/span><\/p>\n<p>En zo verder:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0 \u00a0 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0 \u00a01 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0 1 2 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a01 3 3 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">1 4 6 4 1<\/span><br \/>\n&#8230;<\/p>\n<p><strong>Afspraken:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><strong>De eerste rij is rij 0, de tweede rij 1, en zo voort.<\/strong><\/li>\n<li><strong>Het eerste getal in een rij is getal 0, het tweede 1, en zo voort.<\/strong><\/li>\n<li><strong>Met P<sub>r,k<\/sub> wordt bedoeld: Het k<sup>e<\/sup> getal uit de r<sup>e<\/sup> rij. Dus P<sub>4,2<\/sub> = 6.<\/strong><br \/>\n<strong>En in z&#8217;n algemeenheid: P<sub>n,0<\/sub>=P<sub>n,n<\/sub>=1 en P<sub>n,m<\/sub>=P<sub>n-1,m-1<\/sub>+P<sub>n-1,m<\/sub>, voor 1 \u2264 n,m \u2264 n-1.<\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<p>Merk op dat de driehoek symmetrisch is. Er loopt als het ware een verticale lijn door het midden dat beide kanten spiegelt.<\/p>\n<p>In willekeurige volgorde volgen een aantal eigenschappen van de driehoek van Pascal<\/p>\n<p>Veel plezier.<\/p>\n<h3><a id=\"som\"><\/a>Som van de rijen<\/h3>\n<p>Wanneer je van iedere rij de som van de getallen bepaalt dan zie je, hopelijk, bekende uitkomsten:<\/p>\n<p>1, 2, 4, 8, 16, 32&#8230;<\/p>\n<p>Inderdaad, allemaal machten van 2. Meer bepaald: 2 tot de macht rij-nummer:<\/p>\n<table width=\"673\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\">rij<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\" width=\"64\">som<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">4<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">8<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">4<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">16<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">32<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">15<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">20<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">15<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">64<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">21<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">35<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">35<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">21<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">128<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">28<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">56<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">70<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">56<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">28<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">256<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center;\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">36<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">84<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">126<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">126<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">84<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">36<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">9<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center;\">512<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Dus de som van de getallen op rij n = 2<sup>n<\/sup>.<\/p>\n<p>In formulevorm:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\sum_{k=0}^{n}P_{n,k}=2^{n}<\/div>\n<h3><a id=\"machten\"><\/a>Machten van 11<\/h3>\n<p>Als je van iedere rij de getallen achter elkaar zet en dit ziet als een nieuw getal, dan is dat een macht van 11.<\/p>\n<p>Kijk maar<\/p>\n<p>Rij 0: 1 = 11<sup>0<\/sup><br \/>\nRij 1: 11 = 11<sup>1<\/sup><br \/>\nRij 2: 121 = 11<sup>2<\/sup><br \/>\nRij 3: 1331 = 11<sup>3<\/sup><br \/>\nRij 4: 14641 = 11<sup>4<\/sup><\/p>\n<p>Bij rij 5 gaat dit ook op, mits je de getallen beperkt tot 1 cijfer en daar waar nodig, dus bij 2 cijfers, het eerste cijfer &#8220;overhaalt&#8221; naar links.<\/p>\n<p>Dus rij 5: 15(10)(10)51 wordt dan 161051. Van de eerste (linker) 10 wordt de 1 naar links overgehaald waardoor de 5 dus een 6 wordt. De 0 blijft achter. Echter de tweede 10 moet ook weer naar links worden overgehaald, dus de 0 wordt een 1, waarna er een 0 overblijft gevolgd door de laatste 51.<br \/>\nEn ook dit getal, 161051 is een macht van 11, namelijk 11<sup>5<\/sup>.<\/p>\n<p>Etcetera.<\/p>\n<h3><a id=\"diagonalen\"><\/a>Diagonalen<\/h3>\n<p>De buitenste diagonalen bestaan louter uit 1-en.<\/p>\n<h5><a id=\"natuurlijke\"><\/a>Natuurlijke getallen<\/h5>\n<p>Op de een-na-buitenste diagonalen staan de natuurlijke getallen:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1424 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/natuurlijke_getallen.png\" alt=\"\" width=\"681\" height=\"361\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/natuurlijke_getallen.png 681w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/natuurlijke_getallen-300x159.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 681px) 100vw, 681px\" \/><\/p>\n<p>We mogen dus concluderen dat alle natuurlijke getallen voorkomen in de driehoek!<\/p>\n<h5><a id=\"driehoeks\"><\/a>Driehoeks getallen<\/h5>\n<p>Gaan we weer een diagonaal naar binnen, dan krijgen we de zogenaamde driehoeksgetallen: 1, 3, 6, 10, 15, 21, &#8230;:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1425 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/driehoeks_getallen.png\" alt=\"\" width=\"681\" height=\"362\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/driehoeks_getallen.png 681w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/driehoeks_getallen-300x159.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 681px) 100vw, 681px\" \/><\/p>\n<p>Een driehoeksgetal geeft aan hoeveel stippen je nodig hebt om een driehoek met basis n (stippen) te maken.<br \/>\nBijvoorbeeld een driehoek met basis 4:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0 \u00a0o<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0 o o<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0o o o<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">o o o o<\/span><\/p>\n<p>heeft dus 10 stippen.<\/p>\n<h5><a id=\"tetraedisch\"><\/a>Tetra\u00ebdrische getallen<\/h5>\n<p>Nog een diagonaal naar binnen levert de zogenaamde tetra\u00ebdrische getallen op: 1, 4, 10, 20, 35, 56, &#8230;:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1426 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/piramide_getallen.png\" alt=\"\" width=\"681\" height=\"362\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/piramide_getallen.png 681w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/piramide_getallen-300x159.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 681px) 100vw, 681px\" \/><\/p>\n<p>Een tera\u00ebdrisch getal geeft aan hoeveel &#8220;knikkers&#8221; je nodig hebt om een piramide met zijde n (knikkers) te bouwen.<\/p>\n<h5><a id=\"fibonacci\"><\/a>Fibonacci getallen<\/h5>\n<p>Ook de Fibonacci getallen zitten in de driehoek (zie ook het artikel <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/over-bloemetjes-en-bijtjes\/\" rel=\"noopener\">Over bloemetjes en bijtjes<\/a>): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, &#8230;:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1427 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/fibonacci_getallen.png\" alt=\"\" width=\"682\" height=\"441\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/fibonacci_getallen.png 682w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/fibonacci_getallen-300x194.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 682px) 100vw, 682px\" \/><\/p>\n<h5><a id=\"hockeystick\"><\/a>Hockeystick<\/h5>\n<p>Wanneer je een aantal getallen op een diagonaal (beginnend bij de rand, dus bij 1) van links boven naar rechts onder bij elkaar optelt dan is de som het getal dat er 1 positie naar links onder staat:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1429 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/hokeystick.png\" alt=\"\" width=\"681\" height=\"361\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/hokeystick.png 681w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/hokeystick-300x159.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 681px) 100vw, 681px\" \/><\/p>\n<p>Dus in bovenstaande afbeelding: 1+2+3 = 6 en 1+5+15+35 = 56. Je krijgt dus een soort hockeystick als figuur.<\/p>\n<p>De andere kant op, dus van rechtsboven naar links onder en dan eentje naar rechts onder werkt natuurlijk ook omdat de driehoek symmetrisch is.<\/p>\n<h3><a id=\"merkwaardige\"><\/a>Merkwaardige producten<\/h3>\n<p>Op de middelbare school, bij het vak wiskunde, heeft u ongetwijfeld te maken gehad met zogenaamde merkwaardige producten.<\/p>\n<p>E\u00e9n daarvan luidde: (a+b)<sup>2<\/sup> en zonder dat uit te werken moest u dan weten dat de uitkomst hiervan a<sup>2<\/sup>+2ab+b<sup>2<\/sup> is.<\/p>\n<p>Maar laten we eens een stapje verder gaan. Om te beginnen met uitwerkingen:<\/p>\n<p>(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b)(a+b)<sup>2<\/sup> = (a+b)(a<sup>2<\/sup>+2ab+b<sup>2<\/sup>) = a<sup>3<\/sup>+2a<sup>2<\/sup>b+ab<sup>2<\/sup>+ba<sup>2<\/sup>+2ab<sup>2<\/sup>+b<sup>3<\/sup> = a<sup>3<\/sup>+3a<sup>2<\/sup>b+3ab<sup>2<\/sup>+b<sup>3<\/sup>.<br \/>\n(a+b)<sup>4<\/sup> = (a+b)(a+b)<sup>3<\/sup> = (a+b)(a<sup>3<\/sup>+3a<sup>2<\/sup>b+3ab<sup>2<\/sup>+b<sup>3<\/sup>) = &#8230; = a<sup>4<\/sup>+4a<sup>3<\/sup>b+6a<sup>2<\/sup>b<sup>2<\/sup>+4ab<sup>3<\/sup>+b<sup>4<\/sup>.<\/p>\n<p>En als u nog geen patroon ziet ontstaan dan nodig ik u van harte uit om zelf (a+b)<sup>5<\/sup> met de hand uit te rekenen.<\/p>\n<p>Kijken we naar de factoren van (a+b)<sup>3<\/sup> dan zien we 1, 3, 3 en 1. En die van (a+b)<sup>4<\/sup> zijn 1, 4, 6, 4, 1. En dit zijn precies de getallen uit de driehoek van respectievelijk rij 3 en rij 4.<\/p>\n<p>Tevens zien we dat de exponenten van a aflopen van n naar nul en die van b oplopen van 0 tot n.<\/p>\n<p>Als we bovenstaande, letterlijk, toepassen op (a+b)<sup>5<\/sup> dan krijgen we:<\/p>\n<p>(a+b)<sup>5<\/sup> = 1a<sup>5<\/sup>b<sup>0<\/sup> + 5a<sup>4<\/sup>b<sup>1<\/sup> + 10a<sup>3<\/sup>b<sup>2<\/sup> + 10a<sup>2<\/sup>b<sup>3<\/sup> + 5a<sup>1<\/sup>b<sup>4<\/sup> + 1a<sup>0<\/sup>b<sup>5<\/sup>, en omdat we de factor 1 en de macht 1 altijd weglaten en iets tot de macht 0 altijd 1 is (behalve 0<sup>0<\/sup>) krijgen we dus:<\/p>\n<p>(a+b)<sup>5<\/sup> = a<sup>5<\/sup> +5a<sup>4<\/sup>b + 10a<sup>3<\/sup>b<sup>2<\/sup> + 10a<sup>2<\/sup>b<sup>3<\/sup> +5ab<sup>4<\/sup> + b<sup>5<\/sup>.<\/p>\n<p>De algemene formule voor bovenstaande volgt in de volgende paragraaf.<\/p>\n<h3><a id=\"binomiaal\"><\/a>Binomiaal co\u00ebffici\u00ebnten<\/h3>\n<p>We beginnen met een voorbeeld: Op hoeveel manieren kunnen een directeur en een onderdirecteur worden gekozen uit 5 gekwalificeerde mensen?<\/p>\n<p>Stel dat de mensen respectievelijk Anton, Bea, Christine, Dirk en Eveline heten dan zijn de volgende combinaties mogelijk:<\/p>\n<p>Anton &#8211; Bea,<br \/>\nAnton &#8211; Christine,<br \/>\nAnton &#8211; Dirk,<br \/>\nAnton &#8211; Eveline,<br \/>\nBea &#8211; Christine,<br \/>\nBea &#8211; Dirk,<br \/>\nBea &#8211; Eveline,<br \/>\nChristine &#8211; Dirk,<br \/>\nChristine &#8211; Eveline,<br \/>\nDirk en Eveline.<\/p>\n<p>Merk op dat het niet uitmaakt of we het hebben over Anton &#8211; Dirk of Dirk &#8211; Anton.<\/p>\n<p>Er zijn dus 10 combinaties mogelijk en dat is precies P<sub>5,2<\/sub>.<\/p>\n<p>En dat is ook juist: Het aantal combinaties van x elementen uit totaal y mogelijkheden is P<sub>x,y<\/sub>.<\/p>\n<p>Het aantal combinaties wordt Binomiaal co\u00ebffici\u00ebnt genoemd en heeft een formele notatie en een formule:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\binom{n}{k}=\\frac{n!}{k!(n\\text{ - }k)!}<\/div>\n<p>en spreek je uit als &#8220;n boven k&#8221;.<\/p>\n<p>Opgemerkt moet worden dat n \u2265 k is.<\/p>\n<p>n! spreek je uit als &#8220;n faculteit&#8221; en is niets anders dan het product van 1 t\/m n.<\/p>\n<p>Dus 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.<\/p>\n<p>Het leuke is dus dat:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\binom{n}{k}=P_{n,k}<\/div>.<\/p>\n<p>Dus kan de driehoek nu ook als volgt worden geschreven:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\begin{matrix}&amp; &amp; &amp; \\binom{0}{0} &amp; &amp; &amp; \\\\&amp; &amp; \\binom{1}{0} &amp; &amp; \\binom{1}{1} &amp; &amp; \\\\&amp; \\binom{2}{0} &amp; &amp; \\binom{2}{1} &amp; &amp; \\binom{2}{2} &amp; \\\\\\binom{3}{0} &amp; &amp; \\binom{3}{1} &amp; &amp;\\binom{3}{2} &amp; &amp; \\binom{3}{3}\\end{matrix}<\/div>\n<p>Nog even terugkomend op de vorige paragraaf. De co\u00ebffici\u00ebnten van de ontwikkeling van (a+b)<sup>n<\/sup> vinden we dus terug in de n<sup>e<\/sup> rij van de driehoek. Maar de getallen die daar staan kunnen dus ook worden gevormd door de binomiaal co\u00ebffici\u00ebnten. En daarmee verkrijgen we dan de volgende formule:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">(a+b)^{n}=\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}<\/div>\n<h3><a id=\"sierpinski\"><\/a>Sierpinski<\/h3>\n<p>Sierpinski is, buiten een naam van Poolse wiskundige (19<sup>e<\/sup>\/20<sup>e<\/sup> eeuw), de naam van een fractalachtige figuur bestaande uit zichzelf herhalende driehoeken.<\/p>\n<p>En jawel, deze fractal zit in de driehoek.<\/p>\n<p>Wanneer je alle even getallen verwijderd en alle oneven getallen vervangt door een symbool (bijvoorbeeld een o) dan krijg je onderstaande figuur:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-1437 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/sierpinski.png\" alt=\"\" width=\"949\" height=\"606\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/sierpinski.png 949w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/sierpinski-300x192.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/sierpinski-768x490.png 768w\" sizes=\"auto, (max-width: 949px) 100vw, 949px\" \/><\/p>\n<p>Hierboven dus een representatie van de eerste 32 rijen met alleen de oneven getallen.<\/p>\n<h3><a id=\"priemen\"><\/a>Priemen<\/h3>\n<p>Wanneer het eerste element van een rij van de driehoek een priemgetal is, dan zijn alle andere getallen van die rij een veelvoud van dat priemgetal:<\/p>\n<table style=\"width: 167.143%;\" width=\"667\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\" width=\"29\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\" width=\"29\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\" width=\"29\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">2<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"color: #ff0000; font-size: 12pt;\">3<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">3<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">4<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">6<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">4<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><span style=\"color: #ff0000; font-size: 12pt;\">5<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">10<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">10<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">5<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">6<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">15<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">20<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">15<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">6<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"color: #ff0000; font-size: 12pt;\">7<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">21<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">35<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">35<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">21<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">7<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">8<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">28<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">56<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">70<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">56<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">28<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">8<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">9<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">36<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">84<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">126<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">126<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">84<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">36<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">9<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">10<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">120<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">210<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">252<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">210<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">120<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">45<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">10<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><span style=\"color: #ff0000; font-size: 12pt;\">11<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">55<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">165<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.77915%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">330<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.64396%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">462<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.26316%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.36636%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">462<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 6.08876%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">330<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.33436%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.05676%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">165<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.23117%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.12797%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">55<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.92157%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 3.61197%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">11<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 2.78638%;\"><span style=\"font-size: 12pt;\">1<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Het eerste getal van rij 3 is een 3, het volgende getal, ook 3, is dus deelbaar door 3, namelijk 3 = 1&#215;3.<\/p>\n<p>Het eerste getal van rij 5 is een 5. Alle volgende getallen zijn deelbaar door 5: 10=2&#215;5, 10=2&#215;5, 5=1&#215;5.<\/p>\n<p>Het eerste getal van rij 7 is een 7. En dus 21=3&#215;7, 35=5&#215;7, 35=5&#215;7, 21=3&#215;7, 7=1&#215;7.<\/p>\n<p>En voor rij 11: 55=5&#215;11, 165=15&#215;11, 330=30&#215;11, 462=42&#215;11 etc.<\/p>\n<p>In formule vorm:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">k|P_{n,m}, indien\\; n\\; is\\;priem\\; met\\; k \\in\\mathbb{N}\\;en\\;m&lt;n<\/div>\n<p>Om te kijken of een getal priem is kun je nu ook gebruik maken van bovenstaande kennis.<\/p>\n<p>Neem een getal P<sub>n,1<\/sub>. Als alle andere getallen op die regel deelbaar zijn door P<sub>n,1<\/sub> dan is P<sub>n,1<\/sub> priem, anders niet. Dus wanneer je ook maar \u00e9\u00e9n getal op die regel vindt die <strong>niet<\/strong> deelbaar is door P<sub>n,1<\/sub>, dan is P<sub>n,1<\/sub> <strong>niet<\/strong> priem!<\/p>\n<h3><a id=\"pi\"><\/a>\u03c0<\/h3>\n<p>Het getal \u03c0 is ook terug te vinden in de driehoek.<\/p>\n<p>We gebruiken daarvoor de diagonaal van de driehoeksgetallen (zie hierboven), dat zijn: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, &#8230;<\/p>\n<p>Als we deze getallen omzetten in hun reciproke (dus 1 gedeeld door dat getal) en tellen ze paarsgewijs op en daarna paarsgewijs af dan krijg je een limiet die naar \u03c0-2 gaat. Dus:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{1}{1}+\\frac{1}{3}\\text{ - }\\frac{1}{6}\\text{ - }\\frac{1}{10}+\\frac{1}{21}+\\frac{1}{28}\\text{ - }\\frac{1}{36}\\text{ - }\\frac{1}{45}+ ... = \\pi\\text{ - }2<\/div>\n<p>Deze prachtige ontdekking is gedaan door Jonas Castillo Toloza in 2007.<\/p>\n<p>Met behulp van Excel ben ik tot rij 124 gegaan (7626) en dan is de uitkomst (van de limiet tot daartoe) 3,141594&#8230;<\/p>\n<p>Er bestaan ook nog andere manieren om vanuit de driehoek \u03c0 te verkrijgen of te benaderen, maar dit is tot nog toe wel de mooiste!<\/p>\n<h3><a id=\"e\"><\/a>e<\/h3>\n<p>Ook het getal van Euler, e, zit in de driehoek verscholen. In dit geval wel goed verscholen!<\/p>\n<p>Wanneer E<sub>n<\/sub> het product is van de getallen van rij n van de driehoek dan:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{E_{n\\text{ - }1}.E_{n+1}}{E_{n}^{2}}=\\left (1+\\frac{1}{n} \\right)^{n}<\/div>\n<p>En er geldt dat:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\lim_{n\\rightarrow \\infty} \\left ( 1+\\frac{1}{n} \\right )^{n}=e<\/div>\n<h3><a id=\"samengestelde\"><\/a>Samengestelde rente<\/h3>\n<p>Wat is het eindsaldo bij een eerste inleg van \u20ac 1000,= tegen 10% per jaar (waar zijn de tijden gebleven???) met een looptijd van 2 jaar?<\/p>\n<p>Dat is een vrij eenvoudige opgaven maar dit is even puur ter illustratie.<\/p>\n<p>In een tabelletje is dit zo uitgerekend:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%;\">jaar<\/td>\n<td style=\"width: 50%;\">bedrag<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%;\">0<\/td>\n<td style=\"width: 50%;\">1000<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%;\">1<\/td>\n<td style=\"width: 50%;\">1000+100=1100<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%;\">2<\/td>\n<td style=\"width: 50%;\">1000+110=1210<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Maar dit kunnen we ook als volgt met de driehoek berekenen.<\/p>\n<p>De looptijd is 2 jaar dus pakken we de getallen van rij 2 van de driehoek:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">1 2 1<\/span><\/p>\n<p>Onder het eerste getal zetten we de inleg. Onder de volgende getallen de opeenvolgende rentes van het vorige getal:<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 14pt; font-family: 'courier new', courier, monospace;\">1\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 2\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a01<\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 14pt; font-family: 'courier new', courier, monospace;\">1000 100(=10%x1000) 10(=10%x100)<\/span><\/p>\n<p>Op de volgende regel vermenigvuldigen we de getallen die daarboven staan:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0 \u00a0 \u00a01\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 2\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0 \u00a0 1000\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0100\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a010<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">1000(=1&#215;1000) 200(=2&#215;100) 10(=1&#215;10)<\/span><\/p>\n<p>Tot slot tellen we de getallen van de onderste regel bij elkaar op:<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 14pt; font-family: 'courier new', courier, monospace;\">1\u00a0 \u00a0 \u00a02\u00a0 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 14pt; font-family: 'courier new', courier, monospace;\">1000 100 10<\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 14pt; font-family: 'courier new', courier, monospace;\">1000+200+10 = 1210<\/span><\/p>\n<p>En voil\u00e0, daar is ons eindbedrag!<\/p>\n<p>Nog een voorbeeld: Wat is het eindbedrag na 3 jaar bij een inleg van \u20ac 8000 tegen 5% rente per jaar?<\/p>\n<p>We nemen de getallen van rij 3 van de driehoek en rekenen daarmee als volgt:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">\u00a0 1\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 3\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 3\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a01<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">8000\u00a0 \u00a0400(5%x8000)\u00a0 20(5%x400)\u00a0 1(5%x20)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 14pt;\">8000 +\u00a0 \u00a01200\u00a0 \u00a0 \u00a0 +\u00a0 \u00a0 60\u00a0 \u00a0 \u00a0+\u00a0 \u00a0 1\u00a0 \u00a0 = <strong>9261<\/strong><\/span><\/p>\n<p>Dus het eindbedrag is \u20ac 9261<\/p>\n<h3><a id=\"overige\"><\/a>Overige feitjes<\/h3>\n<p>Kijken we nog even naar de eerste 4 rijen van de driehoek:<\/p>\n<table style=\"width: 0%;\" width=\"126\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 53.2758%;\" colspan=\"2\" width=\"28\">rij<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 9.65521%;\" width=\"14\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 12.069%;\" width=\"14\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\" width=\"14\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\" width=\"14\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\" width=\"14\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\" width=\"14\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\" width=\"14\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 40.3448%;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 12.931%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 9.65521%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 12.069%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 40.3448%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 12.931%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 9.65521%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 12.069%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 40.3448%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 12.931%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 9.65521%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 12.069%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"text-align: center; width: 40.3448%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 12.931%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 9.65521%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 12.069%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 5.17241%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; width: 4.65517%;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Zoals we eerder hebben opgemerkt is de driehoek symmetrisch, dus P<sub>n,m<\/sub> = P<sub>m,n-m<\/sub>.<\/p>\n<p>Maar dan geldt dus ook:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\binom{n}{k}=\\binom{n}{n\\text{ - }k}<\/div>\n<p>De som van twee opeenvolgende driehoeksgetallen is gelijk aan het kwadraat van het rijnummer van het kleinste van de twee.<\/p>\n<p>Dus P<sub>n,2<\/sub>+P<sub>n+1,2<\/sub>=n<sup>2<\/sup>.<\/p>\n<p>Maar dan geldt ook:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\binom{n}{2}+\\binom{n+1}{2}=n^{2}<\/div>\n<p>Nog een leuk feitje: De som van de kwadraten van de getallen op rij n is gelijk aan het getal in het &#8220;midden&#8221; van rij 2n:<\/p>\n<table style=\"width: 109%; height: 400px;\" width=\"418\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\" width=\"22\">n<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\" width=\"22\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\" width=\"22\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">0<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">2<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">3<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><span style=\"color: #ff0000;\">4<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><span style=\"color: #ff0000;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><span style=\"color: #ff0000;\">4<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><span style=\"color: #ff0000;\">6<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><span style=\"color: #ff0000;\">4<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><span style=\"color: #ff0000;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">10<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\">5<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">15<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">20<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">15<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\">6<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\">21<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">35<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">35<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\">21<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\">7<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\"><span style=\"color: #d400ff;\">8<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 2.99213%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\">1<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\">28<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">56<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><span style=\"color: #d400ff;\">70<\/span><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.45669%;\">56<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 5.98425%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 6.29921%;\">28<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.56693%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.72441%;\">8<\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\"><\/td>\n<td style=\"text-align: center; height: 40px; width: 4.25197%;\">1<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Hierboven geldt: 1<sup>2<\/sup>+4<sup>2<\/sup>+6<sup>2<\/sup>+4<sup>2<\/sup>+1<sup>2<\/sup>=70.<\/p>\n<p>In formule vorm:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\sum_{k=0}^{n}P_{n,k}^{2}=P_{2n,n}<\/div>\n<p>ofwel:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\sum_{k=0}^{n}\\binom{n}{k}^{2}=\\binom{2n}{n}<\/div>\n<h3><a id=\"statistieken\"><\/a>Statistieken<\/h3>\n<h5><a id=\"even\"><\/a>Even\/oneven<\/h5>\n<p>Wanneer je een beetje willekeurig naar de driehoek kijkt dan valt het wellicht op dat er meer even getallen dan oneven getallen zijn.<\/p>\n<p>Met een simpel Python programmaatje ben ik dat eens nagegaan en heb me daarna afgevraagd of de verhouding tussen even en oneven getallen wellicht naar een limiet gaan.<\/p>\n<p>De conclusies (tot zover en slechts proefondervindelijk verkregen) zijn dat er inderdaad (veel!) meer even getallen dan oneven getallen voorkomen en dat de verhouding tussen beiden niet naar een limiet gaan:<\/p>\n<table style=\"width: 100%;\" width=\"324\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\" width=\"73\">aantal rijen<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\" width=\"75\">aantal even<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\" width=\"90\">aantal oneven<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\" width=\"86\">oneven\/even<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">100<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">3799<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">1250<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,329033956<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">250<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">25582<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">5792<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,226409194<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">500<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">107871<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">17378<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,161099832<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">750<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">251796<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">29828<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,118460976<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">1000<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">448363<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">52136<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,116280781<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">1250<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">713544<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">68330<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,095761439<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">1500<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">1036263<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">89486<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,086354526<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">1750<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">1417354<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">114770<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,080974831<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">2000<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">1844589<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">156410<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,084793957<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">3000<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">4233039<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">268460<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,063420157<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">4000<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">7532767<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">469232<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,062292117<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td style=\"width: 20%; text-align: center;\">5000<\/td>\n<td style=\"width: 23.1034%; text-align: center;\">11887521<\/td>\n<td style=\"width: 26.3793%; text-align: center;\">614978<\/td>\n<td style=\"width: 30.1724%; text-align: center;\">0,051733074<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Deze resultaten en conclusies gelden alleen voor eindige driehoeken, dus driehoeken met een eindig aantal regels.<\/p>\n<p>Voor een oneindige driehoek (wat de driehoek van Pascal eigenlijk ook is) geldt dit natuurlijk niet, dan zijn er evenveel even als oneven getallen. Net zoveel als de natuurlijke getallen (zie ook het artikel over <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/oneindig\/\" rel=\"noopener\">Oneindig<\/a>).<\/p>\n<h5><a id=\"drienulnuldrie\"><\/a>3003<\/h5>\n<p>Wanneer je gaat kijken naar de frequentie van getallen in de driehoek, dus hoe vaak een getal voorkomt in de driehoek, dan bestaat het vermoeden dat 3003 de hoogste frequentie heeft, namelijk 8.<\/p>\n<p>Wederom met een simpel Python programma ben ik dit eens gaan onderzoeken, wederom proefondervindelijk.<\/p>\n<p>Het programma genereert 3004 rijen en bepaalt van ieder getal hoe vaak het voorkomt in die rijen; voor zover dat getal niet een vooraf bepaald maximum (250 miljoen) overschrijdt. Dit laatste is wel een belangrijke voorwaarde, want het grootste getal dat in die 3004 rijen voorkomt bestaat uit maar liefst 903(!) cijfers.<\/p>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de28169cd03\"  tabindex=\"0\" title=\"monstrueus getal\"    >monstrueus getal<\/span><div id=\"target-id69de28169cd03\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p><span style=\"font-size: 10pt;\">143261974742825012529446926926548620661312654537132560320169979562365220187395844626213110169343685299650199875444071207392680132395177197815113409624662878255522728672874938324862088179712426356789244447018069250678924719811385762422784504049852576988205635141739508753459298970283808261514861429033355502909981208946101894931444994335134219729420021759926977181758445750934230561649030976709030679154571938285589217399164017822577932214232902139712625959817126591623858846188665130841746478202901971774267333133640853244550438177803782176867102861761982322066279299010181628608490400619818611255938735211537632872401028635674129310156970848110240493807691915241458482223746141295452420084632642377088715673689694885365910732898545179163729879790114315197628129684999981930621180361914428022014835228729837556586311786826305087849671118761032902185886367564857653834803737224398246102109149179583811968<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-size: 14pt;\"><\/div><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-size: 14pt;\">Het programma toon ook een frequentie tabel (tot 250 miljoen) en daaruit blijkt dat de meeste getallen 2 maal voorkomen.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-size: 14pt;\"><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de28169cd6e\"  tabindex=\"0\" title=\"frequenties (tot 250 miljoen)\"    >frequenties (tot 250 miljoen)<\/span><div id=\"target-id69de28169cd6e\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-size: 8pt;\">2 1; 3 2; 4 2; 5 2; 6 3; 7 2; 8 2; 9 2; 10 4; 11 2; 12 2; 13 2; 14 2; 15 4; 16 2; 17 2; 18 2; 19 2; 20 3; 21 4; 22 2; 23 2; 24 2; 25 2; 26 2; 27 2; 28 4; 29 2; 30 2; 31 2; 32 2; 33 2; 34 2; 35 4; 36 4; 37 2; 38 2; 39 2; 40 2; 41 2; 42 2; 43 2; 44 2; 45 4; 46 2; 47 2; 48 2; 49 2; 50 2; 51 2; 52 2; 53 2; 54 2; 55 4; 56 4; 57 2; 58 2; 59 2; 60 2; 61 2; 62 2; 63 2; 64 2; 65 2; 66 4; 67 2; 68 2; 69 2; 70 3; 71 2; 72 2; 73 2; 74 2; 75 2; 76 2; 77 2; 78 4; 79 2; 80 2; 81 2; 82 2; 83 2; 84 4; 85 2; 86 2; 87 2; 88 2; 89 2; 90 2; 91 4; 92 2; 93 2; 94 2; 95 2; 96 2; 97 2; 98 2; 99 2; 100 2; 101 2; 102 2; 103 2; 104 2; 105 4; 106 2; 107 2; 108 2; 109 2; 110 2; 111 2; 112 2; 113 2; 114 2; 115 2; 116 2; 117 2; 118 2; 119 2; 120 6; 121 2; 122 2; 123 2; 124 2; 125 2; 126 4; 127 2; 128 2; 129 2; 130 2; 131 2; 132 2; 133 2; 134 2; 135 2; 136 4; 137 2; 138 2; 139 2; 140 2; 141 2; 142 2; 143 2; 144 2; 145 2; 146 2; 147 2; 148 2; 149 2; 150 2; 151 2; 152 2; 153 4; 154 2; 155 2; 156 2; 157 2; 158 2; 159 2; 160 2; 161 2; 162 2; 163 2; 164 2; 165 4; 166 2; 167 2; 168 2; 169 2; 170 2; 171 4; 172 2; 173 2; 174 2; 175 2; 176 2; 177 2; 178 2; 179 2; 180 2; 181 2; 182 2; 183 2; 184 2; 185 2; 186 2; 187 2; 188 2; 189 2; 190 4; 191 2; 192 2; 193 2; 194 2; 195 2; 196 2; 197 2; 198 2; 199 2; 200 2; 201 2; 202 2; 203 2; 204 2; 205 2; 206 2; 207 2; 208 2; 209 2; 210 6; 211 2; 212 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 213 2; 214 2; 215 2; 216 2; 217 2; 218 2; 219 2; 220 4; 221 2; 222 2; 223 2; 224 2; 225 2; 226 2; 227 2; 228 2; 229 2; 230 2; 231 4; 232 2; 233 2; 234 2; 235 2; 236 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">237 2; 238 2; 239 2; 240 2; 241 2; 242 2; 243 2; 244 2; 245 2; 246 2; 247 2; 248 2; 249 2; 250 2; 251 2; 252 3; 253 4; 254 2; 255 2; 256 2; 257 2; 258 2; 259 2; 260 2; 261 2; 262 2; 263 2; 264 2; 265 2; 266 2; 267 2; 268 2; 269 2; 270 2; 271 2; 272 2; 273 2; 274 2; 275 2; 276 4; 277 2; 278 2; 279 2; 280 2; 281 2; 282 2; 283 2; 284 2; 285 2; 286 4; 287 2; 288 2; 289 2; 290 2; 291 2; 292 2; 293 2; 294 2; 295 2; 296 2; 297 2; 298 2; 299 2; 300 4; 301 2; 302 2; 303 2; 304 2; 305 2; 306 2; 307 2; 308 2; 309 2; 310 2; 311 2; 312 2; 313 2; 314 2; 315 2; 316 2; 317 2; 318 2; 319 2; 320 2; 321 2; 322 2; 323 2; 324 2; 325 4; 326 2; 327 2; 328 2; 329 2; 330 4; 331 2; 332 2; 333 2; 334 2; 335 2; 336 2; 337 2; 338 2; 339 2; 340 2; 341 2; 342 2; 343 2; 344 2; 345 2; 346 2; 347 2; 348 2; 349 2; 350 2; 351 4; 352 2; 353 2; 354 2; 355 2; 356 2; 357 2; 358 2; 359 2; 360 2; 361 2; 362 2; 363 2; 364 4; 365 2; 366 2; 367 2; 368 2; 369 2; 370 2; 371 2; 372 2; 373 2; 374 2; 375 2; 376 2; 377 2; 378 4; 379 2; 380 2; 381 2; 382 2; 383 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 384 2; 385 2; 386 2; 387 2; 388 2; 389 2; 390 2; 391 2; 392 2; 393 2; 394 2; 395 2; 396 2; 397 2; 398 2; 399 2; 400 2; 401 2; 402 2; 403 2; 404 2; 405 2; 406 4; 407 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">408 2; 409 2; 410 2; 411 2; 412 2; 413 2; 414 2; 415 2; 416 2; 417 2; 418 2; 419 2; 420 2; 421 2; 422 2; 423 2; 424 2; 425 2; 426 2; 427 2; 428 2; 429 2; 430 2; 431 2; 432 2; 433 2; 434 2; 435 4; 436 2; 437 2; 438 2; 439 2; 440 2; 441 2; 442 2; 443 2; 444 2; 445 2; 446 2; 447 2; 448 2; 449 2; 450 2; 451 2; 452 2; 453 2; 454 2; 455 4; 456 2; 457 2; 458 2; 459 2; 460 2; 461 2; 462 4; 463 2; 464 2; 465 4; 466 2; 467 2; 468 2; 469 2; 470 2; 471 2; 472 2; 473 2; 474 2; 475 2; 476 2; 477 2; 478 2; 479 2; 480 2; 481 2; 482 2; 483 2; 484 2; 485 2; 486 2; 487 2; 488 2; 489 2; 490 2; 491 2; 492 2; 493 2; 494 2; 495 4; 496 4; 497 2; 498 2; 499 2; 500 2; 501 2; 502 2; 503 2; 504 2; 505 2; 506 2; 507 2; 508 2; 509 2; 510 2; 511 2; 512 2; 513 2; 514 2; 515 2; 516 2; 517 2; 518 2; 519 2; 520 2; 521 2; 522 2; 523 2; 524 2; 525 2; 526 2; 527 2; 528 4; 529 2; 530 2; 531 2; 532 2; 533 2; 534 2; 535 2; 536 2; 537 2; 538 2; 539 2; 540 2; 541 2; 542 2; 543 2; 544 2; 545 2; 546 2; 547 2; 548 2; 549 2; 550 2; 551 2; 552 2; 553 2; 554 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 555 2; 556 2; 557 2; 558 2; 559 2; 560 4; 561 4; 562 2; 563 2; 564 2; 565 2; 566 2; 567 2; 568 2; 569 2; 570 2; 571 2; 572 2; 573 2; 574 2; 575 2; 576 2; 577 2; 578 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">579 2; 580 2; 581 2; 582 2; 583 2; 584 2; 585 2; 586 2; 587 2; 588 2; 589 2; 590 2; 591 2; 592 2; 593 2; 594 2; 595 4; 596 2; 597 2; 598 2; 599 2; 600 2; 601 2; 602 2; 603 2; 604 2; 605 2; 606 2; 607 2; 608 2; 609 2; 610 2; 611 2; 612 2; 613 2; 614 2; 615 2; 616 2; 617 2; 618 2; 619 2; 620 2; 621 2; 622 2; 623 2; 624 2; 625 2; 626 2; 627 2; 628 2; 629 2; 630 4; 631 2; 632 2; 633 2; 634 2; 635 2; 636 2; 637 2; 638 2; 639 2; 640 2; 641 2; 642 2; 643 2; 644 2; 645 2; 646 2; 647 2; 648 2; 649 2; 650 2; 651 2; 652 2; 653 2; 654 2; 655 2; 656 2; 657 2; 658 2; 659 2; 660 2; 661 2; 662 2; 663 2; 664 2; 665 2; 666 4; 667 2; 668 2; 669 2; 670 2; 671 2; 672 2; 673 2; 674 2; 675 2; 676 2; 677 2; 678 2; 679 2; 680 4; 681 2; 682 2; 683 2; 684 2; 685 2; 686 2; 687 2; 688 2; 689 2; 690 2; 691 2; 692 2; 693 2; 694 2; 695 2; 696 2; 697 2; 698 2; 699 2; 700 2; 701 2; 702 2; 703 4; 704 2; 705 2; 706 2; 707 2; 708 2; 709 2; 710 2; 711 2; 712 2; 713 2; 714 2; 715 4; 716 2; 717 2; 718 2; 719 2; 720 2; 721 2; 722 2; 723 2; 724 2; 725 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 726 2; 727 2; 728 2; 729 2; 730 2; 731 2; 732 2; 733 2; 734 2; 735 2; 736 2; 737 2; 738 2; 739 2; 740 2; 741 4; 742 2; 743 2; 744 2; 745 2; 746 2; 747 2; 748 2; 749 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">750 2; 751 2; 752 2; 753 2; 754 2; 755 2; 756 2; 757 2; 758 2; 759 2; 760 2; 761 2; 762 2; 763 2; 764 2; 765 2; 766 2; 767 2; 768 2; 769 2; 770 2; 771 2; 772 2; 773 2; 774 2; 775 2; 776 2; 777 2; 778 2; 779 2; 780 4; 781 2; 782 2; 783 2; 784 2; 785 2; 786 2; 787 2; 788 2; 789 2; 790 2; 791 2; 792 4; 793 2; 794 2; 795 2; 796 2; 797 2; 798 2; 799 2; 800 2; 801 2; 802 2; 803 2; 804 2; 805 2; 806 2; 807 2; 808 2; 809 2; 810 2; 811 2; 812 2; 813 2; 814 2; 815 2; 816 4; 817 2; 818 2; 819 2; 820 4; 821 2; 822 2; 823 2; 824 2; 825 2; 826 2; 827 2; 828 2; 829 2; 830 2; 831 2; 832 2; 833 2; 834 2; 835 2; 836 2; 837 2; 838 2; 839 2; 840 2; 841 2; 842 2; 843 2; 844 2; 845 2; 846 2; 847 2; 848 2; 849 2; 850 2; 851 2; 852 2; 853 2; 854 2; 855 2; 856 2; 857 2; 858 2; 859 2; 860 2; 861 4; 862 2; 863 2; 864 2; 865 2; 866 2; 867 2; 868 2; 869 2; 870 2; 871 2; 872 2; 873 2; 874 2; 875 2; 876 2; 877 2; 878 2; 879 2; 880 2; 881 2; 882 2; 883 2; 884 2; 885 2; 886 2; 887 2; 888 2; 889 2; 890 2; 891 2; 892 2; 893 2; 894 2; 895 2; 896 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 897 2; 898 2; 899 2; 900 2; 901 2; 902 2; 903 4; 904 2; 905 2; 906 2; 907 2; 908 2; 909 2; 910 2; 911 2; 912 2; 913 2; 914 2; 915 2; 916 2; 917 2; 918 2; 919 2; 920 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">921 2; 922 2; 923 2; 924 3; 925 2; 926 2; 927 2; 928 2; 929 2; 930 2; 931 2; 932 2; 933 2; 934 2; 935 2; 936 2; 937 2; 938 2; 939 2; 940 2; 941 2; 942 2; 943 2; 944 2; 945 2; 946 4; 947 2; 948 2; 949 2; 950 2; 951 2; 952 2; 953 2; 954 2; 955 2; 956 2; 957 2; 958 2; 959 2; 960 2; 961 2; 962 2; 963 2; 964 2; 965 2; 966 2; 967 2; 968 2; 969 4; 970 2; 971 2; 972 2; 973 2; 974 2; 975 2; 976 2; 977 2; 978 2; 979 2; 980 2; 981 2; 982 2; 983 2; 984 2; 985 2; 986 2; 987 2; 988 2; 989 2; 990 4; 991 2; 992 2; 993 2; 994 2; 995 2; 996 2; 997 2; 998 2; 999 2; 1000 2; 1001 4; 1002 2; 1003 2; 1004 2; 1005 2; 1006 2; 1007 2; 1008 2; 1009 2; 1010 2; 1011 2; 1012 2; 1013 2; 1014 2; 1015 2; 1016 2; 1017 2; 1018 2; 1019 2; 1020 2; 1021 2; 1022 2; 1023 2; 1024 2; 1025 2; 1026 2; 1027 2; 1028 2; 1029 2; 1030 2; 1031 2; 1032 2; 1033 2; 1034 2; 1035 4; 1036 2; 1037 2; 1038 2; 1039 2; 1040 2; 1041 2; 1042 2; 1043 2; 1044 2; 1045 2; 1046 2; 1047 2; 1048 2; 1049 2; 1050 2; 1051 2; 1052 2; 1053 2; 1054 2; 1055 2; 1056 2; 1057 2; 1058 2; 1059 2; 1060 2; 1061 2; 1062 2; 1063 2; 1064 2; 1065 2; 1066 2; 1067 2; 1068 2; 1069 2; 1070 2; 1071 2; 1072 2; 1073 2; 1074 2; 1075 2; 1076 2; 1077 2; 1078 2; 1079 2; 1080 2; 1081 4; 1082 2; 1083 2; 1084 2; 1085 2; 1086 2; 1087 2; 1088 2; 1089 2; 1090 2; 1091 2; 1092 2; 1093 2; 1094 2; 1095 2; 1096 2; 1097 2; 1098 2; 1099 2; 1100 2; 1101 2; 1102 2; 1103 2; 1104 2; 1105 2; 1106 2; 1107 2; 1108 2; 1109 2; 1110 2; 1111 2; 1112 2; 1113 2; 1114 2; 1115 2; 1116 2; 1117 2; 1118 2; 1119 2; 1120 2; 1121 2; 1122 2; 1123 2; 1124 2; 1125 2; 1126 2; 1127 2; 1128 4; 1129 2; 1130 2; 1131 2; 1132 2; 1133 2; 1134 2; 1135 2; 1136 2; 1137 2; 1138 2; 1139 2; 1140 4; 1141 2; 1142 2; 1143 2; 1144 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 1145 2; 1146 2; 1147 2; 1148 2; 1149 2; 1150 2; 1151 2; 1152 2; 1153 2; 1154 2; 1155 2; 1156 2; 1157 2; 1158 2; 1159 2; 1160 2; 1161 2; 1162 2; 1163 2; 1164 2; 1165 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">1166 2; 1167 2; 1168 2; 1169 2; 1170 2; 1171 2; 1172 2; 1173 2; 1174 2; 1175 2; 1176 4; 1177 2; 1178 2; 1179 2; 1180 2; 1181 2; 1182 2; 1183 2; 1184 2; 1185 2; 1186 2; 1187 2; 1188 2; 1189 2; 1190 2; 1191 2; 1192 2; 1193 2; 1194 2; 1195 2; 1196 2; 1197 2; 1198 2; 1199 2; 1200 2; 1201 2; 1202 2; 1203 2; 1204 2; 1205 2; 1206 2; 1207 2; 1208 2; 1209 2; 1210 2; 1211 2; 1212 2; 1213 2; 1214 2; 1215 2; 1216 2; 1217 2; 1218 2; 1219 2; 1220 2; 1221 2; 1222 2; 1223 2; 1224 2; 1225 4; 1226 2; 1227 2; 1228 2; 1229 2; 1230 2; 1231 2; 1232 2; 1233 2; 1234 2; 1235 2; 1236 2; 1237 2; 1238 2; 1239 2; 1240 2; 1241 2; 1242 2; 1243 2; 1244 2; 1245 2; 1246 2; 1247 2; 1248 2; 1249 2; 1250 2; 1251 2; 1252 2; 1253 2; 1254 2; 1255 2; 1256 2; 1257 2; 1258 2; 1259 2; 1260 2; 1261 2; 1262 2; 1263 2; 1264 2; 1265 2; 1266 2; 1267 2; 1268 2; 1269 2; 1270 2; 1271 2; 1272 2; 1273 2; 1274 2; 1275 4; 1276 2; 1277 2; 1278 2; 1279 2; 1280 2; 1281 2; 1282 2; 1283 2; 1284 2; 1285 2; 1286 2; 1287 4; 1288 2; 1289 2; 1290 2; 1291 2; 1292 2; 1293 2; 1294 2; 1295 2; 1296 2; 1297 2; 1298 2; 1299 2; 1300 2; 1301 2; 1302 2; 1303 2; 1304 2; 1305 2; 1306 2; 1307 2; 1308 2; 1309 2; 1310 2; 1311 2; 1312 2; 1313 2; 1314 2; 1315 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 1316 2; 1317 2; 1318 2; 1319 2; 1320 2; 1321 2; 1322 2; 1323 2; 1324 2; 1325 2; 1326 4; 1327 2; 1328 2; 1329 2; 1330 4; 1331 2; 1332 2; 1333 2; 1334 2; 1335 2; 1336 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">1337 2; 1338 2; 1339 2; 1340 2; 1341 2; 1342 2; 1343 2; 1344 2; 1345 2; 1346 2; 1347 2; 1348 2; 1349 2; 1350 2; 1351 2; 1352 2; 1353 2; 1354 2; 1355 2; 1356 2; 1357 2; 1358 2; 1359 2; 1360 2; 1361 2; 1362 2; 1363 2; 1364 2; 1365 4; 1366 2; 1367 2; 1368 2; 1369 2; 1370 2; 1371 2; 1372 2; 1373 2; 1374 2; 1375 2; 1376 2; 1377 2; 1378 4; 1379 2; 1380 2; 1381 2; 1382 2; 1383 2; 1384 2; 1385 2; 1386 2; 1387 2; 1388 2; 1389 2; 1390 2; 1391 2; 1392 2; 1393 2; 1394 2; 1395 2; 1396 2; 1397 2; 1398 2; 1399 2; 1400 2; 1401 2; 1402 2; 1403 2; 1404 2; 1405 2; 1406 2; 1407 2; 1408 2; 1409 2; 1410 2; 1411 2; 1412 2; 1413 2; 1414 2; 1415 2; 1416 2; 1417 2; 1418 2; 1419 2; 1420 2; 1421 2; 1422 2; 1423 2; 1424 2; 1425 2; 1426 2; 1427 2; 1428 2; 1429 2; 1430 2; 1431 4; 1432 2; 1433 2; 1434 2; 1435 2; 1436 2; 1437 2; 1438 2; 1439 2; 1440 2; 1441 2; 1442 2; 1443 2; 1444 2; 1445 2; 1446 2; 1447 2; 1448 2; 1449 2; 1450 2; 1451 2; 1452 2; 1453 2; 1454 2; 1455 2; 1456 2; 1457 2; 1458 2; 1459 2; 1460 2; 1461 2; 1462 2; 1463 2; 1464 2; 1465 2; 1466 2; 1467 2; 1468 2; 1469 2; 1470 2; 1471 2; 1472 2; 1473 2; 1474 2; 1475 2; 1476 2; 1477 2; 1478 2; 1479 2; 1480 2; 1481 2; 1482 2; 1483 2; 1484 2; 1485 4; 1486 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 1487 2; 1488 2; 1489 2; 1490 2; 1491 2; 1492 2; 1493 2; 1494 2; 1495 2; 1496 2; 1497 2; 1498 2; 1499 2; 1500 2; 1501 2; 1502 2; 1503 2; 1504 2; 1505 2; 1506 2; 1507 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">1508 2; 1509 2; 1510 2; 1511 2; 1512 2; 1513 2; 1514 2; 1515 2; 1516 2; 1517 2; 1518 2; 1519 2; 1520 2; 1521 2; 1522 2; 1523 2; 1524 2; 1525 2; 1526 2; 1527 2; 1528 2; 1529 2; 1530 2; 1531 2; 1532 2; 1533 2; 1534 2; 1535 2; 1536 2; 1537 2; 1538 2; 1539 2; 1540 6; 1541 2; 1542 2; 1543 2; 1544 2; 1545 2; 1546 2; 1547 2; 1548 2; 1549 2; 1550 2; 1551 2; 1552 2; 1553 2; 1554 2; 1555 2; 1556 2; 1557 2; 1558 2; 1559 2; 1560 2; 1561 2; 1562 2; 1563 2; 1564 2; 1565 2; 1566 2; 1567 2; 1568 2; 1569 2; 1570 2; 1571 2; 1572 2; 1573 2; 1574 2; 1575 2; 1576 2; 1577 2; 1578 2; 1579 2; 1580 2; 1581 2; 1582 2; 1583 2; 1584 2; 1585 2; 1586 2; 1587 2; 1588 2; 1589 2; 1590 2; 1591 2; 1592 2; 1593 2; 1594 2; 1595 2; 1596 4; 1597 2; 1598 2; 1599 2; 1600 2; 1601 2; 1602 2; 1603 2; 1604 2; 1605 2; 1606 2; 1607 2; 1608 2; 1609 2; 1610 2; 1611 2; 1612 2; 1613 2; 1614 2; 1615 2; 1616 2; 1617 2; 1618 2; 1619 2; 1620 2; 1621 2; 1622 2; 1623 2; 1624 2; 1625 2; 1626 2; 1627 2; 1628 2; 1629 2; 1630 2; 1631 2; 1632 2; 1633 2; 1634 2; 1635 2; 1636 2; 1637 2; 1638 2; 1639 2; 1640 2; 1641 2; 1642 2; 1643 2; 1644 2; 1645 2; 1646 2; 1647 2; 1648 2; 1649 2; 1650 2; 1651 2; 1652 2; 1653 4; 1654 2; 1655 2; 1656 2; 1657 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 1658 2; 1659 2; 1660 2; 1661 2; 1662 2; 1663 2; 1664 2; 1665 2; 1666 2; 1667 2; 1668 2; 1669 2; 1670 2; 1671 2; 1672 2; 1673 2; 1674 2; 1675 2; 1676 2; 1677 2; 1678 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">1679 2; 1680 2; 1681 2; 1682 2; 1683 2; 1684 2; 1685 2; 1686 2; 1687 2; 1688 2; 1689 2; 1690 2; 1691 2; 1692 2; 1693 2; 1694 2; 1695 2; 1696 2; 1697 2; 1698 2; 1699 2; 1700 2; 1701 2; 1702 2; 1703 2; 1704 2; 1705 2; 1706 2; 1707 2; 1708 2; 1709 2; 1710 2; 1711 4; 1712 2; 1713 2; 1714 2; 1715 2; 1716 4; 1717 2; 1718 2; 1719 2; 1720 2; 1721 2; 1722 2; 1723 2; 1724 2; 1725 2; 1726 2; 1727 2; 1728 2; 1729 2; 1730 2; 1731 2; 1732 2; 1733 2; 1734 2; 1735 2; 1736 2; 1737 2; 1738 2; 1739 2; 1740 2; 1741 2; 1742 2; 1743 2; 1744 2; 1745 2; 1746 2; 1747 2; 1748 2; 1749 2; 1750 2; 1751 2; 1752 2; 1753 2; 1754 2; 1755 2; 1756 2; 1757 2; 1758 2; 1759 2; 1760 2; 1761 2; 1762 2; 1763 2; 1764 2; 1765 2; 1766 2; 1767 2; 1768 2; 1769 2; 1770 4; 1771 4; 1772 2; 1773 2; 1774 2; 1775 2; 1776 2; 1777 2; 1778 2; 1779 2; 1780 2; 1781 2; 1782 2; 1783 2; 1784 2; 1785 2; 1786 2; 1787 2; 1788 2; 1789 2; 1790 2; 1791 2; 1792 2; 1793 2; 1794 2; 1795 2; 1796 2; 1797 2; 1798 2; 1799 2; 1800 2; 1801 2; 1802 2; 1803 2; 1804 2; 1805 2; 1806 2; 1807 2; 1808 2; 1809 2; 1810 2; 1811 2; 1812 2; 1813 2; 1814 2; 1815 2; 1816 2; 1817 2; 1818 2; 1819 2; 1820 4; 1821 2; 1822 2; 1823 2; 1824 2; 1825 2; 1826 2; 1827 2; 1828 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 1829 2; 1830 4; 1831 2; 1832 2; 1833 2; 1834 2; 1835 2; 1836 2; 1837 2; 1838 2; 1839 2; 1840 2; 1841 2; 1842 2; 1843 2; 1844 2; 1845 2; 1846 2; 1847 2; 1848 2; 1849 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">1850 2; 1851 2; 1852 2; 1853 2; 1854 2; 1855 2; 1856 2; 1857 2; 1858 2; 1859 2; 1860 2; 1861 2; 1862 2; 1863 2; 1864 2; 1865 2; 1866 2; 1867 2; 1868 2; 1869 2; 1870 2; 1871 2; 1872 2; 1873 2; 1874 2; 1875 2; 1876 2; 1877 2; 1878 2; 1879 2; 1880 2; 1881 2; 1882 2; 1883 2; 1884 2; 1885 2; 1886 2; 1887 2; 1888 2; 1889 2; 1890 2; 1891 4; 1892 2; 1893 2; 1894 2; 1895 2; 1896 2; 1897 2; 1898 2; 1899 2; 1900 2; 1901 2; 1902 2; 1903 2; 1904 2; 1905 2; 1906 2; 1907 2; 1908 2; 1909 2; 1910 2; 1911 2; 1912 2; 1913 2; 1914 2; 1915 2; 1916 2; 1917 2; 1918 2; 1919 2; 1920 2; 1921 2; 1922 2; 1923 2; 1924 2; 1925 2; 1926 2; 1927 2; 1928 2; 1929 2; 1930 2; 1931 2; 1932 2; 1933 2; 1934 2; 1935 2; 1936 2; 1937 2; 1938 2; 1939 2; 1940 2; 1941 2; 1942 2; 1943 2; 1944 2; 1945 2; 1946 2; 1947 2; 1948 2; 1949 2; 1950 2; 1951 2; 1952 2; 1953 4; 1954 2; 1955 2; 1956 2; 1957 2; 1958 2; 1959 2; 1960 2; 1961 2; 1962 2; 1963 2; 1964 2; 1965 2; 1966 2; 1967 2; 1968 2; 1969 2; 1970 2; 1971 2; 1972 2; 1973 2; 1974 2; 1975 2; 1976 2; 1977 2; 1978 2; 1979 2; 1980 2; 1981 2; 1982 2; 1983 2; 1984 2; 1985 2; 1986 2; 1987 2; 1988 2; 1989 2; 1990 2; 1991 2; 1992 2; 1993 2; 1994 2; 1995 2; 1996 2; 1997 2; 1998 2; 1999 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 2000 2; 2001 2; 2002 4; 2003 2; 2004 2; 2005 2; 2006 2; 2007 2; 2008 2; 2009 2; 2010 2; 2011 2; 2012 2; 2013 2; 2014 2; 2015 2; 2016 4; 2017 2; 2018 2; 2019 2; 2020 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2021 2; 2022 2; 2023 2; 2024 4; 2025 2; 2026 2; 2027 2; 2028 2; 2029 2; 2030 2; 2031 2; 2032 2; 2033 2; 2034 2; 2035 2; 2036 2; 2037 2; 2038 2; 2039 2; 2040 2; 2041 2; 2042 2; 2043 2; 2044 2; 2045 2; 2046 2; 2047 2; 2048 2; 2049 2; 2050 2; 2051 2; 2052 2; 2053 2; 2054 2; 2055 2; 2056 2; 2057 2; 2058 2; 2059 2; 2060 2; 2061 2; 2062 2; 2063 2; 2064 2; 2065 2; 2066 2; 2067 2; 2068 2; 2069 2; 2070 2; 2071 2; 2072 2; 2073 2; 2074 2; 2075 2; 2076 2; 2077 2; 2078 2; 2079 2; 2080 4; 2081 2; 2082 2; 2083 2; 2084 2; 2085 2; 2086 2; 2087 2; 2088 2; 2089 2; 2090 2; 2091 2; 2092 2; 2093 2; 2094 2; 2095 2; 2096 2; 2097 2; 2098 2; 2099 2; 2100 2; 2101 2; 2102 2; 2103 2; 2104 2; 2105 2; 2106 2; 2107 2; 2108 2; 2109 2; 2110 2; 2111 2; 2112 2; 2113 2; 2114 2; 2115 2; 2116 2; 2117 2; 2118 2; 2119 2; 2120 2; 2121 2; 2122 2; 2123 2; 2124 2; 2125 2; 2126 2; 2127 2; 2128 2; 2129 2; 2130 2; 2131 2; 2132 2; 2133 2; 2134 2; 2135 2; 2136 2; 2137 2; 2138 2; 2139 2; 2140 2; 2141 2; 2142 2; 2143 2; 2144 2; 2145 4; 2146 2; 2147 2; 2148 2; 2149 2; 2150 2; 2151 2; 2152 2; 2153 2; 2154 2; 2155 2; 2156 2; 2157 2; 2158 2; 2159 2; 2160 2; 2161 2; 2162 2; 2163 2; 2164 2; 2165 2; 2166 2; 2167 2; 2168 2; 2169 2; 2170 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 2171 2; 2172 2; 2173 2; 2174 2; 2175 2; 2176 2; 2177 2; 2178 2; 2179 2; 2180 2; 2181 2; 2182 2; 2183 2; 2184 2; 2185 2; 2186 2; 2187 2; 2188 2; 2189 2; 2190 2; 2191 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2192 2; 2193 2; 2194 2; 2195 2; 2196 2; 2197 2; 2198 2; 2199 2; 2200 2; 2201 2; 2202 2; 2203 2; 2204 2; 2205 2; 2206 2; 2207 2; 2208 2; 2209 2; 2210 2; 2211 4; 2212 2; 2213 2; 2214 2; 2215 2; 2216 2; 2217 2; 2218 2; 2219 2; 2220 2; 2221 2; 2222 2; 2223 2; 2224 2; 2225 2; 2226 2; 2227 2; 2228 2; 2229 2; 2230 2; 2231 2; 2232 2; 2233 2; 2234 2; 2235 2; 2236 2; 2237 2; 2238 2; 2239 2; 2240 2; 2241 2; 2242 2; 2243 2; 2244 2; 2245 2; 2246 2; 2247 2; 2248 2; 2249 2; 2250 2; 2251 2; 2252 2; 2253 2; 2254 2; 2255 2; 2256 2; 2257 2; 2258 2; 2259 2; 2260 2; 2261 2; 2262 2; 2263 2; 2264 2; 2265 2; 2266 2; 2267 2; 2268 2; 2269 2; 2270 2; 2271 2; 2272 2; 2273 2; 2274 2; 2275 2; 2276 2; 2277 2; 2278 4; 2279 2; 2280 2; 2281 2; 2282 2; 2283 2; 2284 2; 2285 2; 2286 2; 2287 2; 2288 2; 2289 2; 2290 2; 2291 2; 2292 2; 2293 2; 2294 2; 2295 2; 2296 2; 2297 2; 2298 2; 2299 2; 2300 4; 2301 2; 2302 2; 2303 2; 2304 2; 2305 2; 2306 2; 2307 2; 2308 2; 2309 2; 2310 2; 2311 2; 2312 2; 2313 2; 2314 2; 2315 2; 2316 2; 2317 2; 2318 2; 2319 2; 2320 2; 2321 2; 2322 2; 2323 2; 2324 2; 2325 2; 2326 2; 2327 2; 2328 2; 2329 2; 2330 2; 2331 2; 2332 2; 2333 2; 2334 2; 2335 2; 2336 2; 2337 2; 2338 2; 2339 2; 2340 2; 2341 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 2342 2; 2343 2; 2344 2; 2345 2; 2346 4; 2347 2; 2348 2; 2349 2; 2350 2; 2351 2; 2352 2; 2353 2; 2354 2; 2355 2; 2356 2; 2357 2; 2358 2; 2359 2; 2360 2; 2361 2; 2362 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2363 2; 2364 2; 2365 2; 2366 2; 2367 2; 2368 2; 2369 2; 2370 2; 2371 2; 2372 2; 2373 2; 2374 2; 2375 2; 2376 2; 2377 2; 2378 2; 2379 2; 2380 4; 2381 2; 2382 2; 2383 2; 2384 2; 2385 2; 2386 2; 2387 2; 2388 2; 2389 2; 2390 2; 2391 2; 2392 2; 2393 2; 2394 2; 2395 2; 2396 2; 2397 2; 2398 2; 2399 2; 2400 2; 2401 2; 2402 2; 2403 2; 2404 2; 2405 2; 2406 2; 2407 2; 2408 2; 2409 2; 2410 2; 2411 2; 2412 2; 2413 2; 2414 2; 2415 4; 2416 2; 2417 2; 2418 2; 2419 2; 2420 2; 2421 2; 2422 2; 2423 2; 2424 2; 2425 2; 2426 2; 2427 2; 2428 2; 2429 2; 2430 2; 2431 2; 2432 2; 2433 2; 2434 2; 2435 2; 2436 2; 2437 2; 2438 2; 2439 2; 2440 2; 2441 2; 2442 2; 2443 2; 2444 2; 2445 2; 2446 2; 2447 2; 2448 2; 2449 2; 2450 2; 2451 2; 2452 2; 2453 2; 2454 2; 2455 2; 2456 2; 2457 2; 2458 2; 2459 2; 2460 2; 2461 2; 2462 2; 2463 2; 2464 2; 2465 2; 2466 2; 2467 2; 2468 2; 2469 2; 2470 2; 2471 2; 2472 2; 2473 2; 2474 2; 2475 2; 2476 2; 2477 2; 2478 2; 2479 2; 2480 2; 2481 2; 2482 2; 2483 2; 2484 2; 2485 4; 2486 2; 2487 2; 2488 2; 2489 2; 2490 2; 2491 2; 2492 2; 2493 2; 2494 2; 2495 2; 2496 2; 2497 2; 2498 2; 2499 2; 2500 2; 2501 2; 2502 2; 2503 2; 2504 2; 2505 2; 2506 2; 2507 2; 2508 2; 2509 2; 2510 2; 2511 2; 2512 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 2513 2; 2514 2; 2515 2; 2516 2; 2517 2; 2518 2; 2519 2; 2520 2; 2521 2; 2522 2; 2523 2; 2524 2; 2525 2; 2526 2; 2527 2; 2528 2; 2529 2; 2530 2; 2531 2; 2532 2; 2533 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2534 2; 2535 2; 2536 2; 2537 2; 2538 2; 2539 2; 2540 2; 2541 2; 2542 2; 2543 2; 2544 2; 2545 2; 2546 2; 2547 2; 2548 2; 2549 2; 2550 2; 2551 2; 2552 2; 2553 2; 2554 2; 2555 2; 2556 4; 2557 2; 2558 2; 2559 2; 2560 2; 2561 2; 2562 2; 2563 2; 2564 2; 2565 2; 2566 2; 2567 2; 2568 2; 2569 2; 2570 2; 2571 2; 2572 2; 2573 2; 2574 2; 2575 2; 2576 2; 2577 2; 2578 2; 2579 2; 2580 2; 2581 2; 2582 2; 2583 2; 2584 2; 2585 2; 2586 2; 2587 2; 2588 2; 2589 2; 2590 2; 2591 2; 2592 2; 2593 2; 2594 2; 2595 2; 2596 2; 2597 2; 2598 2; 2599 2; 2600 4; 2601 2; 2602 2; 2603 2; 2604 2; 2605 2; 2606 2; 2607 2; 2608 2; 2609 2; 2610 2; 2611 2; 2612 2; 2613 2; 2614 2; 2615 2; 2616 2; 2617 2; 2618 2; 2619 2; 2620 2; 2621 2; 2622 2; 2623 2; 2624 2; 2625 2; 2626 2; 2627 2; 2628 4; 2629 2; 2630 2; 2631 2; 2632 2; 2633 2; 2634 2; 2635 2; 2636 2; 2637 2; 2638 2; 2639 2; 2640 2; 2641 2; 2642 2; 2643 2; 2644 2; 2645 2; 2646 2; 2647 2; 2648 2; 2649 2; 2650 2; 2651 2; 2652 2; 2653 2; 2654 2; 2655 2; 2656 2; 2657 2; 2658 2; 2659 2; 2660 2; 2661 2; 2662 2; 2663 2; 2664 2; 2665 2; 2666 2; 2667 2; 2668 2; 2669 2; 2670 2; 2671 2; 2672 2; 2673 2; 2674 2; 2675 2; 2676 2; 2677 2; 2678 2; 2679 2; 2680 2; 2681 2; 2682 2; 2683 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 2684 2; 2685 2; 2686 2; 2687 2; 2688 2; 2689 2; 2690 2; 2691 2; 2692 2; 2693 2; 2694 2; 2695 2; 2696 2; 2697 2; 2698 2; 2699 2; 2700 2; 2701 4; 2702 2; 2703 2; 2704 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2705 2; 2706 2; 2707 2; 2708 2; 2709 2; 2710 2; 2711 2; 2712 2; 2713 2; 2714 2; 2715 2; 2716 2; 2717 2; 2718 2; 2719 2; 2720 2; 2721 2; 2722 2; 2723 2; 2724 2; 2725 2; 2726 2; 2727 2; 2728 2; 2729 2; 2730 2; 2731 2; 2732 2; 2733 2; 2734 2; 2735 2; 2736 2; 2737 2; 2738 2; 2739 2; 2740 2; 2741 2; 2742 2; 2743 2; 2744 2; 2745 2; 2746 2; 2747 2; 2748 2; 2749 2; 2750 2; 2751 2; 2752 2; 2753 2; 2754 2; 2755 2; 2756 2; 2757 2; 2758 2; 2759 2; 2760 2; 2761 2; 2762 2; 2763 2; 2764 2; 2765 2; 2766 2; 2767 2; 2768 2; 2769 2; 2770 2; 2771 2; 2772 2; 2773 2; 2774 2; 2775 4; 2776 2; 2777 2; 2778 2; 2779 2; 2780 2; 2781 2; 2782 2; 2783 2; 2784 2; 2785 2; 2786 2; 2787 2; 2788 2; 2789 2; 2790 2; 2791 2; 2792 2; 2793 2; 2794 2; 2795 2; 2796 2; 2797 2; 2798 2; 2799 2; 2800 2; 2801 2; 2802 2; 2803 2; 2804 2; 2805 2; 2806 2; 2807 2; 2808 2; 2809 2; 2810 2; 2811 2; 2812 2; 2813 2; 2814 2; 2815 2; 2816 2; 2817 2; 2818 2; 2819 2; 2820 2; 2821 2; 2822 2; 2823 2; 2824 2; 2825 2; 2826 2; 2827 2; 2828 2; 2829 2; 2830 2; 2831 2; 2832 2; 2833 2; 2834 2; 2835 2; 2836 2; 2837 2; 2838 2; 2839 2; 2840 2; 2841 2; 2842 2; 2843 2; 2844 2; 2845 2; 2846 2; 2847 2; 2848 2; 2849 2; 2850 4; 2851 2; 2852 2; 2853 2; 2854 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 2855 2; 2856 2; 2857 2; 2858 2; 2859 2; 2860 2; 2861 2; 2862 2; 2863 2; 2864 2; 2865 2; 2866 2; 2867 2; 2868 2; 2869 2; 2870 2; 2871 2; 2872 2; 2873 2; 2874 2; 2875 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2876 2; 2877 2; 2878 2; 2879 2; 2880 2; 2881 2; 2882 2; 2883 2; 2884 2; 2885 2; 2886 2; 2887 2; 2888 2; 2889 2; 2890 2; 2891 2; 2892 2; 2893 2; 2894 2; 2895 2; 2896 2; 2897 2; 2898 2; 2899 2; 2900 2; 2901 2; 2902 2; 2903 2; 2904 2; 2905 2; 2906 2; 2907 2; 2908 2; 2909 2; 2910 2; 2911 2; 2912 2; 2913 2; 2914 2; 2915 2; 2916 2; 2917 2; 2918 2; 2919 2; 2920 2; 2921 2; 2922 2; 2923 2; 2924 2; 2925 4; 2926 4; 2927 2; 2928 2; 2929 2; 2930 2; 2931 2; 2932 2; 2933 2; 2934 2; 2935 2; 2936 2; 2937 2; 2938 2; 2939 2; 2940 2; 2941 2; 2942 2; 2943 2; 2944 2; 2945 2; 2946 2; 2947 2; 2948 2; 2949 2; 2950 2; 2951 2; 2952 2; 2953 2; 2954 2; 2955 2; 2956 2; 2957 2; 2958 2; 2959 2; 2960 2; 2961 2; 2962 2; 2963 2; 2964 2; 2965 2; 2966 2; 2967 2; 2968 2; 2969 2; 2970 2; 2971 2; 2972 2; 2973 2; 2974 2; 2975 2; 2976 2; 2977 2; 2978 2; 2979 2; 2980 2; 2981 2; 2982 2; 2983 2; 2984 2; 2985 2; 2986 2; 2987 2; 2988 2; 2989 2; 2990 2; 2991 2; 2992 2; 2993 2; 2994 2; 2995 2; 2996 2; 2997 2; 2998 2; 2999 2; 3000 2; 3001 2; 3002 2; 3003 8; 3060 2; 3081 2; 3160 2; 3240 2; 3276 2; 3321 2; 3403 2; 3432 1; 3486 2; 3570 2; 3654 2; 3655 2; 3741 2; 3828 2; 3876 2; 3916 2; 4005 2; 4060 2; 4095 2; 4186 2; 4278 2; 4368 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 4371 2; 4465 2; 4495 2; 4560 2; 4656 2; 4753 2; 4845 2; 4851 2; 4950 2; 4960 2; 5005 2; 5050 2; 5151 2; 5253 2; 5356 2; 5456 2; 5460 2; 5565 2; 5671 2; 5778 2; 5886 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">5984 2; 5985 2; 5995 2; 6105 2; 6188 2; 6216 2; 6328 2; 6435 2; 6441 2; 6545 2; 6555 2; 6670 2; 6786 2; 6903 2; 7021 2; 7140 4; 7260 2; 7315 2; 7381 2; 7503 2; 7626 2; 7750 2; 7770 2; 7875 2; 8001 2; 8008 2; 8128 2; 8256 2; 8385 2; 8436 2; 8515 2; 8568 2; 8646 2; 8778 2; 8855 2; 8911 2; 9045 2; 9139 2; 9180 2; 9316 2; 9453 2; 9591 2; 9730 2; 9870 2; 9880 2; 10011 2; 10153 2; 10296 2; 10440 2; 10585 2; 10626 2; 10660 2; 10731 2; 10878 2; 11026 2; 11175 2; 11325 2; 11440 2; 11476 2; 11480 2; 11628 4; 11781 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">11935 2; 12090 2; 12246 2; 12341 2; 12376 2; 12403 2; 12561 2; 12650 2; 12720 2; 12870 1; 12880 2; 13041 2; 13203 2; 13244 2; 13366 2; 13530 2; 13695 2; 13861 2; 14028 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">14190 2; 14196 2; 14365 2; 14535 2; 14706 2; 14878 2; 14950 2; 15051 2; 15180 2; 15225 2; 15400 2; 15504 2; 15576 2; 15753 2; 15931 2; 16110 2; 16215 2; 16290 2; 16471 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">16653 2; 16836 2; 17020 2; 17205 2; 17296 2; 17391 2; 17550 2; 17578 2; 17766 2; 17955 2; 18145 2; 18336 2; 18424 2; 18528 2; 18564 2; 18721 2; 18915 2; 19110 2; 19306 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">19448 2; 19503 2; 19600 2; 19701 2; 19900 2; 20100 2; 20301 2; 20349 2; 20475 2; 20503 2; 20706 2; 20825 2; 20910 2; 21115 2; 21321 2; 21528 2; 21736 2; 21945 2; 22100 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">22155 2; 22366 2; 22578 2; 22791 2; 23005 2; 23220 2; 23426 2; 23436 2; 23653 2; 23751 2; 23871 2; 24090 2; 24310 4; 24531 2; 24753 2; 24804 2; 24976 2; 25200 2; 25425 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">25651 2; 25878 2; 26106 2; 26235 2; 26334 2; 26335 2; 26565 2; 26796 2; 27028 2; 27132 2; 27261 2; 27405 2; 27495 2; 27720 2; 27730 2; 27966 2; 28203 2; 28441 2; 28680 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">28920 2; 29161 2; 29260 2; 29403 2; 29646 2; 29890 2; 30135 2; 30381 2; 30628 2; 30856 2; 30876 2; 31125 2; 31375 2; 31465 2; 31626 2; 31824 2; 31878 2; 32131 2; 32385 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">32509 2; 32640 2; 32896 2; 33153 2; 33411 2; 33649 2; 33670 2; 33930 2; 34191 2; 34220 2; 34453 2; 34716 2; 34980 2; 35245 2; 35511 2; 35778 2; 35960 2; 35990 2; 36046 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">36315 2; 36585 2; 36856 2; 37128 2; 37401 2; 37675 2; 37820 2; 37950 2; 38226 2; 38503 2; 38760 2; 38781 2; 39060 2; 39340 2; 39621 2; 39711 2; 39903 2; 40186 2; 40470 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">40755 2; 40920 2; 41041 2; 41328 2; 41616 2; 41664 2; 41905 2; 42195 2; 42486 2; 42504 2; 42778 2; 43071 2; 43365 2; 43660 2; 43680 2; 43758 2; 43956 2; 44253 2; 44551 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">44850 2; 45150 2; 45451 2; 45753 2; 45760 2; 46056 2; 46360 2; 46376 2; 46665 2; 46971 2; 47278 2; 47586 2; 47895 2; 47905 2; 48205 2; 48516 2; 48620 1; 48828 2; 49141 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">49455 2; 49770 2; 50086 2; 50116 2; 50388 2; 50403 2; 50721 2; 51040 2; 51360 2; 51681 2; 52003 2; 52326 2; 52360 2; 52394 2; 52650 2; 52975 2; 53130 2; 53301 2; 53628 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">53956 2; 54264 2; 54285 2; 54615 2; 54740 2; 54946 2; 55278 2; 55611 2; 55945 2; 56280 2; 56616 2; 56953 2; 57155 2; 57291 2; 57630 2; 57970 2; 58311 2; 58653 2; 58905 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">58996 2; 59340 2; 59640 2; 59685 2; 60031 2; 60378 2; 60726 2; 61075 2; 61425 2; 61776 2; 62128 2; 62196 2; 62481 2; 62835 2; 63190 2; 63546 2; 63903 2; 64261 2; 64620 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">64824 2; 64980 2; 65341 2; 65703 2; 65780 2; 66045 2; 66066 2; 66430 2; 66795 2; 67161 2; 67525 2; 67528 2; 67896 2; 68265 2; 68635 2; 69006 2; 69378 2; 69751 2; 70125 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">70300 2; 70500 2; 70876 2; 71253 2; 71631 2; 72010 2; 72390 2; 72771 2; 73150 2; 73153 2; 73536 2; 73815 2; 73920 2; 74305 2; 74613 2; 74691 2; 75078 2; 75466 2; 75582 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">75855 2; 76076 2; 76245 2; 76636 2; 77028 2; 77421 2; 77520 2; 77815 2; 78210 2; 78606 2; 79003 2; 79079 2; 79401 2; 79800 2; 80200 2; 80601 2; 80730 2; 81003 2; 81406 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">81810 2; 82160 2; 82215 2; 82251 2; 82621 2; 83028 2; 83436 2; 83845 2; 84255 2; 84666 2; 85078 2; 85320 2; 85491 2; 85905 2; 86320 2; 86736 2; 87153 2; 87571 2; 87990 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">88410 2; 88560 2; 88831 2; 89253 2; 89676 2; 90100 2; 90525 2; 90951 2; 91378 2; 91390 2; 91806 2; 91881 2; 92235 2; 92378 2; 92665 2; 93096 2; 93528 2; 93961 2; 94395 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">94830 2; 95266 2; 95284 2; 95703 2; 96141 2; 96580 2; 97020 2; 97461 2; 97903 2; 98280 2; 98346 2; 98770 2; 98790 2; 99235 2; 99681 2; 100128 2; 100576 2; 100947 2; 101025 2; 101270 2; 101475 2; 101926 2; 102340 2; 102378 2; 102831 2; 103285 2; 103740 2; 104196 2; 104653 2; 105111 2; 105570 2; 105995 2; 106030 2; 106491 2; 106953 2; 107416 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 107880 2; 108345 2; 108811 2; 109278 2; 109736 2; 109746 2; 110215 2; 110685 2; 111156 2; 111628 2; 111930 2; 112101 2; 112575 2; 113050 2; 113526 2; 113564 2; 114003 2; 114481 2; 114960 2; 115440 2; 115921 2; 116280 2; 116403 2; 116886 2; 117370 2; 117480 2; 117855 2; 118341 2; 118755 2; 118828 2; 119316 2; 119805 2; 120295 2; 120786 2; 121278 2; 121485 2; 121771 2; 122265 2; 122760 2; 123256 2; 123410 2; 123753 2; 124251 2; 124750 2; 125250 2; 125580 2; 125751 2; 125970 2; 126253 2; 126756 2; 127260 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">127765 2; 128271 2; 128778 2; 129286 2; 129766 2; 129795 2; 130305 2; 130816 2; 131328 2; 131841 2; 132355 2; 132870 2; 133386 2; 133903 2; 134044 2; 134421 2; 134596 2; 134940 2; 135460 2; 135751 2; 135981 2; 136503 2; 137026 2; 137550 2; 138075 2; 138415 2; 138601 2; 139128 2; 139656 2; 140185 2; 140715 2; 141246 2; 141778 2; 142311 2; 142506 2; 142845 2; 142880 2; 143380 2; 143916 2; 144453 2; 144991 2; 145530 2; 146070 2; 146611 2; 147153 2; 147440 2; 147696 2; 148240 2; 148785 2; 148995 2; 149331 2; 149878 2; 150426 2; 150975 2; 151525 2; 152076 2; 152096 2; 152628 2; 153181 2; 153735 2; 154290 2; 154846 2; 155403 2; 155961 2; 156520 2; 156849 2; 157080 2; 157641 2; 158203 2; 158766 2; 159330 2; 159895 2; 160461 2; 161028 2; 161596 2; 161700 2; 162165 2; 162735 2; 163185 2; 163306 2; 163878 2; 164451 2; 165025 2; 165600 2; 166176 2; 166650 2; 166753 2; 167331 2; 167910 2; 167960 2; 168490 2; 169071 2; 169653 2; 169911 2; 170236 2; 170544 2; 170820 2; 171405 2; 171700 2; 171991 2; 172578 2; 173166 2; 173755 2; 174345 2; 174936 2; 175528 2; 176121 2; 176715 2; 176851 2; 177100 2; 177310 2; 177906 2; 178365 2; 178503 2; 179101 2; 179700 2; 180300 2; 180901 2; 181503 2; 182104 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 182106 2; 182710 2; 183315 2; 183921 2; 184528 2; 184756 1; 185136 2; 185745 2; 186355 2; 186966 2; 187460 2; 187578 2; 188191 2; 188805 2; 189420 2; 190036 2; 190653 2; 191271 2; 191890 2; 192510 2; 192920 2; 193131 2; 193753 2; 194376 2; 194580 2; 195000 2; 195625 2; 196251 2; 196878 2; 197506 2; 198135 2; 198485 2; 198765 2; 199396 2; 200028 2; 200661 2; 201295 2; 201376 2; 201930 2; 202566 2; 203203 2; 203490 2; 203841 2; 204156 2; 204480 2; 205120 2; 205761 2; 206403 2; 207046 2; 207690 2; 208335 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">208981 2; 209628 2; 209934 2; 210276 2; 210925 2; 211575 2; 211876 2; 212226 2; 212878 2; 213531 2; 214185 2; 214840 2; 215496 2; 215820 2; 216153 2; 216811 2; 217470 2; 218130 2; 218791 2; 219453 2; 220116 2; 220780 2; 221445 2; 221815 2; 222111 2; 222778 2; 223446 2; 224115 2; 224785 2; 225456 2; 226128 2; 226801 2; 227475 2; 227920 2; 228150 2; 228826 2; 229503 2; 230181 2; 230230 2; 230300 2; 230860 2; 231540 2; 232221 2; 232903 2; 233586 2; 234136 2; 234270 2; 234955 2; 235641 2; 236328 2; 237016 2; 237336 2; 237705 2; 238395 2; 239086 2; 239778 2; 240464 2; 240471 2; 241165 2; 241860 2; 242556 2; 243253 2; 243951 2; 244650 2; 245157 2; 245350 2; 246051 2; 246753 2; 246905 2; 247456 2; 248160 2; 248865 2; 249571 2; 249900 2; 250278 2; 250986 2; 251695 2; 252405 2; 253116 2; 253460 2; 253828 2; 254541 2; 255255 2; 255970 2; 256686 2; 257403 2; 258121 2; 258840 2; 259560 2; 260130 2; 260281 2; 261003 2; 261726 2; 262450 2; 263175 2; 263901 2; 264628 2; 265356 2; 266085 2; 266815 2; 266916 2; 267546 2; 268278 2; 269011 2; 269745 2; 270480 2; 270725 2; 271216 2; 271953 2; 272691 2; 273430 2; 273819 2; 274170 2; 274911 2; 275653 2; 276396 2; 277140 2; 277885 2; 278256 2; 278631 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 279378 2; 280126 2; 280840 2; 280875 2; 281625 2; 282376 2; 283128 2; 283881 2; 284635 2; 285390 2; 286146 2; 286903 2; 287661 2; 287980 2; 288420 2; 289180 2; 289941 2; 290703 2; 291466 2; 292230 2; 292825 2; 292995 2; 293761 2; 293930 2; 294528 2; 295240 2; 295296 2; 296010 2; 296065 2; 296835 2; 297606 2; 298378 2; 299151 2; 299925 2; 300700 2; 301476 2; 302253 2; 302621 2; 303031 2; 303810 2; 304590 2; 305371 2; 306153 2; 306936 2; 307720 2; 308505 2; 309291 2; 310078 2; 310124 2; 310866 2; 311655 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">312445 2; 313236 2; 314028 2; 314821 2; 315615 2; 316251 2; 316410 2; 317206 2; 317750 2; 318003 2; 318801 2; 319600 2; 319770 2; 320400 2; 321201 2; 322003 2; 322806 2; 323610 2; 324415 2; 324632 2; 325221 2; 325500 2; 326028 2; 326836 2; 327645 2; 328455 2; 329266 2; 330078 2; 330891 2; 331705 2; 332520 2; 333336 2; 333375 2; 334153 2; 334971 2; 335790 2; 336610 2; 337431 2; 338253 2; 339076 2; 339900 2; 340725 2; 341055 2; 341376 2; 341551 2; 342378 2; 343206 2; 344035 2; 344865 2; 345696 2; 346104 2; 346528 2; 347361 2; 348195 2; 349030 2; 349504 2; 349866 2; 350703 2; 351541 2; 352380 2; 352716 2; 353220 2; 354061 2; 354903 2; 355746 2; 356590 2; 357435 2; 357760 2; 358281 2; 359128 2; 359976 2; 360825 2; 361675 2; 362526 2; 363378 2; 364231 2; 365085 2; 365940 2; 366145 2; 366796 2; 367290 2; 367653 2; 368511 2; 369370 2; 370230 2; 371091 2; 371953 2; 372816 2; 373680 2; 374545 2; 374660 2; 375411 2; 376278 2; 376740 2; 376992 2; 377146 2; 378015 2; 378885 2; 379756 2; 380628 2; 381501 2; 382375 2; 383250 2; 383306 2; 384126 2; 385003 2; 385881 2; 386760 2; 387640 2; 388521 2; 389403 2; 390286 2; 391170 2; 392055 2; 392084 2; 392941 2; 393828 2; 394716 2; 395010 2; 395605 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 396495 2; 397386 2; 398278 2; 399171 2; 400065 2; 400960 2; 400995 2; 401856 2; 402753 2; 403651 2; 404550 2; 405450 2; 406351 2; 407253 2; 408156 2; 409060 2; 409965 2; 410040 2; 410871 2; 411778 2; 412686 2; 413595 2; 414505 2; 415416 2; 416328 2; 417241 2; 418155 2; 419070 2; 419220 2; 419986 2; 420903 2; 421821 2; 422740 2; 423660 2; 424270 2; 424581 2; 425503 2; 426426 2; 427350 2; 428275 2; 428536 2; 429201 2; 430128 2; 431056 2; 431985 2; 432915 2; 433846 2; 434778 2; 435711 2; 435897 2; 436645 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">437580 2; 437989 2; 438516 2; 439453 2; 440391 2; 441330 2; 442270 2; 443211 2; 444153 2; 445096 2; 446040 2; 446985 2; 447580 2; 447931 2; 448878 2; 449826 2; 450775 2; 451725 2; 452676 2; 453628 2; 454581 2; 455126 2; 455535 2; 456490 2; 457310 2; 457446 2; 458403 2; 459361 2; 460320 2; 461280 2; 462241 2; 463203 2; 464166 2; 465130 2; 466095 2; 467061 2; 467180 2; 468028 2; 468996 2; 469965 2; 470935 2; 471906 2; 472878 2; 473851 2; 474825 2; 475020 2; 475800 2; 476776 2; 477191 2; 477753 2; 478731 2; 479710 2; 480690 2; 480700 2; 481671 2; 482653 2; 483636 2; 484620 2; 485605 2; 486591 2; 487344 2; 487578 2; 487635 2; 488566 2; 489555 2; 490314 2; 490545 2; 491536 2; 492528 2; 493521 2; 494515 2; 495510 2; 496506 2; 497420 2; 497503 2; 497640 2; 498501 2; 499500 2; 500500 2; 501501 2; 501942 2; 502503 2; 503506 2; 504510 2; 505515 2; 506521 2; 507528 2; 508080 2; 508536 2; 509545 2; 510555 2; 511566 2; 512578 2; 513591 2; 514605 2; 515620 2; 516636 2; 517653 2; 518665 2; 518671 2; 519690 2; 520710 2; 521731 2; 521855 2; 522753 2; 523776 2; 524800 2; 525825 2; 526851 2; 527878 2; 528906 2; 529396 2; 529935 2; 530965 2; 531996 2; 533028 2; 534061 2; 535095 2; 536130 2; 537166 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 538203 2; 539241 2; 540274 2; 540280 2; 541320 2; 542361 2; 543403 2; 544446 2; 545490 2; 546535 2; 547581 2; 548628 2; 549676 2; 550725 2; 551300 2; 551775 2; 552826 2; 553878 2; 554931 2; 555985 2; 557040 2; 557845 2; 558096 2; 559153 2; 560211 2; 561270 2; 562330 2; 562475 2; 563391 2; 564453 2; 565516 2; 566580 2; 567645 2; 568711 2; 569778 2; 570846 2; 571915 2; 572985 2; 573800 2; 574056 2; 575128 2; 575757 2; 576201 2; 577275 2; 578350 2; 579426 2; 580503 2; 581581 2; 582660 2; 583740 2; 584821 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">585276 2; 585903 2; 586986 2; 588070 2; 589155 2; 590241 2; 591328 2; 592416 2; 593505 2; 593775 2; 594595 2; 595665 2; 595686 2; 596778 2; 596904 2; 597871 2; 598965 2; 600060 2; 601156 2; 602253 2; 603351 2; 604450 2; 605550 2; 606651 2; 607753 2; 608685 2; 608856 2; 609960 2; 611065 2; 612171 2; 613278 2; 614386 2; 615495 2; 616605 2; 617716 2; 618828 2; 619941 2; 620620 2; 621055 2; 622170 2; 623286 2; 624403 2; 625521 2; 626640 2; 627760 2; 628881 2; 630003 2; 631126 2; 632250 2; 632710 2; 633375 2; 634501 2; 635376 2; 635628 2; 636756 2; 637885 2; 639015 2; 640146 2; 641278 2; 642411 2; 643545 2; 644680 2; 644956 2; 645816 2; 646646 2; 646953 2; 648091 2; 649230 2; 650370 2; 651511 2; 652653 2; 653796 2; 654940 2; 656085 2; 657231 2; 657359 2; 657800 2; 658008 2; 658378 2; 659526 2; 660675 2; 661825 2; 662976 2; 664128 2; 665281 2; 666435 2; 667590 2; 668746 2; 669903 2; 669920 2; 671061 2; 672220 2; 673380 2; 674541 2; 675703 2; 676866 2; 677040 2; 678030 2; 679195 2; 680361 2; 681528 2; 682640 2; 682696 2; 683865 2; 685035 2; 686206 2; 687378 2; 688551 2; 689725 2; 690900 2; 692076 2; 693253 2; 694431 2; 695520 2; 695610 2; 696790 2; 697971 2; 699153 2; 700336 2; 701520 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 702705 2; 703891 2; 705078 2; 705432 1; 706266 2; 707455 2; 708561 2; 708645 2; 709836 2; 711028 2; 712221 2; 713415 2; 714610 2; 715806 2; 717003 2; 718201 2; 719400 2; 720600 2; 720720 2; 721764 2; 721801 2; 723003 2; 724206 2; 725410 2; 726615 2; 727821 2; 729028 2; 730236 2; 731445 2; 732655 2; 733866 2; 735078 2; 735130 2; 735471 2; 736281 2; 736291 2; 737505 2; 738720 2; 739936 2; 741153 2; 742371 2; 743590 2; 744810 2; 746031 2; 747253 2; 748476 2; 748660 2; 749398 2; 749700 2; 750925 2; 752151 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">753378 2; 754606 2; 755835 2; 757065 2; 758296 2; 759528 2; 760761 2; 761995 2; 762355 2; 763230 2; 764466 2; 765703 2; 766480 2; 766941 2; 768180 2; 769420 2; 770661 2; 771903 2; 773146 2; 774390 2; 775635 2; 776216 2; 776881 2; 778128 2; 779376 2; 780625 2; 781875 2; 783126 2; 784378 2; 785631 2; 786885 2; 788140 2; 789396 2; 790244 2; 790653 2; 791911 2; 793170 2; 794430 2; 795691 2; 796953 2; 798216 2; 799480 2; 800745 2; 802011 2; 803278 2; 804440 2; 804546 2; 805815 2; 807085 2; 808356 2; 809628 2; 810901 2; 812175 2; 813450 2; 814385 2; 814726 2; 816003 2; 817190 2; 817281 2; 818560 2; 818805 2; 819840 2; 821121 2; 822403 2; 823686 2; 824970 2; 826255 2; 827541 2; 828828 2; 830116 2; 831405 2; 832695 2; 833340 2; 833986 2; 835278 2; 836571 2; 837865 2; 839160 2; 840456 2; 841753 2; 843051 2; 844350 2; 845650 2; 846951 2; 848046 2; 848253 2; 849556 2; 850668 2; 850860 2; 852165 2; 853471 2; 854778 2; 856086 2; 857395 2; 858705 2; 860016 2; 861328 2; 862641 2; 862924 2; 863955 2; 864501 2; 865270 2; 866586 2; 867903 2; 869221 2; 870540 2; 871860 2; 873181 2; 874503 2; 875826 2; 877150 2; 877975 2; 878475 2; 879801 2; 881128 2; 882456 2; 883785 2; 885115 2; 886446 2; 887778 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 888030 2; 889111 2; 890445 2; 891780 2; 893116 2; 893200 2; 894453 2; 895791 2; 897130 2; 898470 2; 899811 2; 901153 2; 902496 2; 903840 2; 905185 2; 906192 2; 906531 2; 907878 2; 908600 2; 909226 2; 910575 2; 911925 2; 913276 2; 914628 2; 915981 2; 916895 2; 917335 2; 918690 2; 920046 2; 921403 2; 922761 2; 924120 2; 924176 2; 925480 2; 926841 2; 928203 2; 929566 2; 930930 2; 932295 2; 933661 2; 935028 2; 936396 2; 937765 2; 939135 2; 939929 2; 940506 2; 941878 2; 943251 2; 944625 2; 946000 2; 947376 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">948753 2; 950131 2; 951510 2; 952890 2; 954271 2; 955653 2; 955860 2; 957036 2; 958420 2; 959805 2; 961191 2; 962578 2; 962598 2; 963966 2; 965355 2; 966745 2; 968136 2; 969528 2; 970921 2; 971635 2; 971970 2; 972315 2; 973710 2; 975106 2; 976503 2; 977901 2; 979300 2; 980700 2; 982101 2; 983503 2; 984906 2; 986310 2; 987715 2; 988260 2; 989121 2; 990528 2; 991936 2; 993345 2; 994755 2; 996166 2; 997578 2; 998991 2; 1000405 2; 1001820 2; 1003236 2; 1004653 2; 1004731 2; 1006071 2; 1007490 2; 1008910 2; 1010331 2; 1011753 2; 1013176 2; 1014600 2; 1016025 2; 1017451 2; 1018878 2; 1020306 2; 1021384 2; 1021735 2; 1023165 2; 1024596 2; 1026028 2; 1027461 2; 1028790 2; 1028895 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">1030330 2; 1031766 2; 1033203 2; 1034641 2; 1036080 2; 1037520 2; 1038220 2; 1038961 2; 1040403 2; 1041846 2; 1043290 2; 1044735 2; 1046181 2; 1047628 2; 1049076 2; 1050525 2; 1051975 2; 1053426 2; 1054878 2; 1055240 2; 1056331 2; 1057785 2; 1059240 2; 1060696 2; 1062153 2; 1063611 2; 1065070 2; 1066530 2; 1067991 2; 1069453 2; 1070916 2; 1072380 2; 1072445 2; 1073845 2; 1075311 2; 1076778 2; 1078246 2; 1079715 2; 1081185 2; 1081575 2; 1082656 2; 1084128 2; 1085601 2; 1086008 2; 1087075 2; 1088430 2; 1088550 2; 1089836 2; 1090026 2; 1091503 2; 1092981 2; 1094460 2; 1095940 2; 1097421 2; 1098903 2; 1100386 2; 1101870 2; 1103355 2; 1104841 2; 1106328 2; 1107414 2; 1107568 2; 1107816 2; 1109305 2; 1110795 2; 1112286 2; 1113778 2; 1115271 2; 1116765 2; 1118260 2; 1119756 2; 1121253 2; 1122751 2; 1124250 2; 1125180 2; 1125750 2; 1127251 2; 1128753 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 1130256 2; 1131760 2; 1133265 2; 1134771 2; 1136278 2; 1137786 2; 1139295 2; 1140805 2; 1142316 2; 1143135 2; 1143828 2; 1144066 2; 1145341 2; 1146855 2; 1148370 2; 1149886 2; 1150626 2; 1151403 2; 1152921 2; 1154440 2; 1155960 2; 1157481 2; 1159003 2; 1160526 2; 1161280 2; 1162050 2; 1163575 2; 1165101 2; 1166628 2; 1168156 2; 1169685 2; 1171215 2; 1172746 2; 1174278 2; 1175811 2; 1177345 2; 1178880 2; 1179616 2; 1180416 2; 1181953 2; 1183491 2; 1184040 2; 1185030 2; 1186570 2; 1188111 2; 1189653 2; 1191196 2; 1192740 2; 1194285 2; 1195831 2; 1197378 2; 1198144 2; 1198926 2; 1200475 2; 1202025 2; 1203576 2; 1205128 2; 1206681 2; 1208235 2; 1209790 2; 1211346 2; 1212903 2; 1214461 2; 1215450 2; 1216020 2; 1216865 2; 1217580 2; 1219141 2; 1220703 2; 1221759 2; 1222266 2; 1223830 2; 1225395 2; 1226961 2; 1228528 2; 1230096 2; 1231665 2; 1233235 2; 1234806 2; 1235780 2; 1236378 2; 1237951 2; 1239525 2; 1241100 2; 1242676 2; 1244253 2; 1245831 2; 1247410 2; 1248990 2; 1250571 2; 1252153 2; 1253736 2; 1254890 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">1255320 2; 1256905 2; 1258491 2; 1260078 2; 1261666 2; 1263255 2; 1264845 2; 1266436 2; 1268028 2; 1269621 2; 1271215 2; 1272810 2; 1274196 2; 1274406 2; 1276003 2; 1277601 2; 1279200 2; 1280800 2; 1282401 2; 1282975 2; 1284003 2; 1285606 2; 1287210 2; 1288815 2; 1290421 2; 1292028 2; 1293636 2; 1293699 2; 1295245 2; 1296855 2; 1298466 2; 1300078 2; 1301691 2; 1303305 2; 1304920 2; 1306536 2; 1307504 2; 1308153 2; 1309771 2; 1311390 2; 1313010 2; 1313400 2; 1314631 2; 1316253 2; 1317876 2; 1319500 2; 1321125 2; 1322751 2; 1324378 2; 1326006 2; 1327635 2; 1329265 2; 1330896 2; 1332528 2; 1333300 2; 1334161 2; 1335795 2; 1337430 2; 1339066 2; 1340703 2; 1342341 2; 1343980 2; 1344904 2; 1345620 2; 1347261 2; 1348903 2; 1350546 2; 1352078 2; 1352190 2; 1353275 2; 1353400 2; 1353835 2; 1355481 2; 1357128 2; 1358776 2; 1360425 2; 1362075 2; 1363726 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 1365378 2; 1367031 2; 1368685 2; 1370340 2; 1370754 2; 1371996 2; 1373653 2; 1373701 2; 1375311 2; 1376970 2; 1378630 2; 1380291 2; 1381953 2; 1383616 2; 1385280 2; 1386945 2; 1388611 2; 1390278 2; 1391946 2; 1393615 2; 1394204 2; 1395285 2; 1396956 2; 1398628 2; 1400301 2; 1401975 2; 1403650 2; 1405326 2; 1407003 2; 1408681 2; 1410360 2; 1412040 2; 1413721 2; 1414910 2; 1415403 2; 1417086 2; 1418770 2; 1420455 2; 1422141 2; 1423828 2; 1425516 2; 1426425 2; 1427205 2; 1428895 2; 1430586 2; 1432278 2; 1433971 2; 1435665 2; 1435820 2; 1437360 2; 1439056 2; 1440753 2; 1442451 2; 1444150 2; 1445850 2; 1447551 2; 1449253 2; 1450956 2; 1452660 2; 1454365 2; 1456071 2; 1456935 2; 1457778 2; 1459486 2; 1461195 2; 1462905 2; 1464616 2; 1466328 2; 1468041 2; 1469755 2; 1471470 2; 1473186 2; 1474903 2; 1476621 2; 1478256 2; 1478340 2; 1480060 2; 1481781 2; 1483503 2; 1485226 2; 1486950 2; 1488675 2; 1490401 2; 1492128 2; 1493856 2; 1495585 2; 1497315 2; 1499046 2; 1499784 2; 1500778 2; 1502501 2; 1502511 2; 1504245 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">1505980 2; 1507716 2; 1509453 2; 1511191 2; 1512930 2; 1514670 2; 1516411 2; 1518153 2; 1519896 2; 1521520 2; 1521640 2; 1523385 2; 1525131 2; 1526878 2; 1528626 2; 1530375 2; 1532125 2; 1533876 2; 1533939 2; 1535628 2; 1537381 2; 1539135 2; 1540890 2; 1542646 2; 1543465 2; 1544403 2; 1546161 2; 1547920 2; 1549680 2; 1551441 2; 1553203 2; 1554966 2; 1556730 2; 1558495 2; 1560261 2; 1560780 2; 1562028 2; 1562275 2; 1563796 2; 1565565 2; 1565620 2; 1567335 2; 1569106 2; 1570878 2; 1572651 2; 1574425 2; 1576200 2; 1577976 2; 1579753 2; 1581531 2; 1581580 2; 1583310 2; 1585090 2; 1586871 2; 1587986 2; 1588653 2; 1590436 2; 1592220 2; 1594005 2; 1595791 2; 1597578 2; 1599366 2; 1601155 2; 1602945 2; 1604736 2; 1606528 2; 1608321 2; 1610115 2; 1610564 2; 1611910 2; 1613706 2; 1615503 2; 1617301 2; 1619100 2; 1620900 2; 1622701 2; 1623160 2; 1624503 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 1626306 2; 1628110 2; 1629915 2; 1631721 2; 1633355 2; 1633528 2; 1635336 2; 1637145 2; 1638955 2; 1640766 2; 1642578 2; 1644391 2; 1646205 2; 1648020 2; 1649836 2; 1651653 2; 1653471 2; 1655290 2; 1656360 2; 1657110 2; 1658931 2; 1660753 2; 1662576 2; 1663740 2; 1664400 2; 1666225 2; 1668051 2; 1669878 2; 1671706 2; 1673535 2; 1675365 2; 1677196 2; 1679028 2; 1679580 2; 1680861 2; 1682695 2; 1684530 2; 1686366 2; 1688203 2; 1690041 2; 1691880 2; 1693720 2; 1695561 2; 1697403 2; 1699246 2; 1701090 2; 1702935 2; 1703016 2; 1704781 2; 1706628 2; 1708476 2; 1710325 2; 1712175 2; 1712304 2; 1714026 2; 1715878 2; 1717731 2; 1719585 2; 1721440 2; 1723296 2; 1725153 2; 1726669 2; 1727011 2; 1728870 2; 1730730 2; 1732591 2; 1734453 2; 1736316 2; 1738180 2; 1740045 2; 1741911 2; 1743778 2; 1745646 2; 1747515 2; 1749060 2; 1749385 2; 1750540 2; 1751256 2; 1753128 2; 1755001 2; 1756875 2; 1758750 2; 1760626 2; 1762503 2; 1764381 2; 1766260 2; 1768140 2; 1770021 2; 1771903 2; 1773786 2; 1774630 2; 1775670 2; 1777555 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">1779441 2; 1781328 2; 1783216 2; 1785105 2; 1786995 2; 1788886 2; 1790778 2; 1792671 2; 1794565 2; 1796460 2; 1798356 2; 1798940 2; 1800253 2; 1802151 2; 1804050 2; 1805950 2; 1807851 2; 1809753 2; 1811656 2; 1813560 2; 1815465 2; 1817371 2; 1819278 2; 1821186 2; 1823095 2; 1823471 2; 1825005 2; 1826916 2; 1828828 2; 1830741 2; 1832655 2; 1834570 2; 1836486 2; 1837620 2; 1838403 2; 1840321 2; 1842240 2; 1844160 2; 1846081 2; 1848003 2; 1848224 2; 1849926 2; 1851850 2; 1853775 2; 1855701 2; 1857628 2; 1859556 2; 1861485 2; 1863415 2; 1865346 2; 1867278 2; 1869211 2; 1871145 2; 1873080 2; 1873200 2; 1875016 2; 1876953 2; 1878891 2; 1880830 2; 1882770 2; 1884711 2; 1886653 2; 1888596 2; 1890540 2; 1892485 2; 1894431 2; 1896378 2; 1898326 2; 1898400 2; 1900275 2; 1902225 2; 1904176 2; 1906128 2; 1906884 2; 1908081 2; 1910035 2; 1911990 2; 1913946 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 1915903 2; 1917861 2; 1919820 2; 1921780 2; 1923741 2; 1923825 2; 1925703 2; 1927666 2; 1929501 2; 1929630 2; 1931595 2; 1933561 2; 1935528 2; 1937496 2; 1939465 2; 1941435 2; 1943406 2; 1945378 2; 1947351 2; 1947792 2; 1949325 2; 1949476 2; 1951300 2; 1953276 2; 1955253 2; 1957231 2; 1959210 2; 1961190 2; 1961256 2; 1963171 2; 1965153 2; 1967136 2; 1969120 2; 1971105 2; 1973091 2; 1975078 2; 1975354 2; 1977066 2; 1979055 2; 1981045 2; 1983036 2; 1985028 2; 1987021 2; 1989015 2; 1991010 2; 1993006 2; 1995003 2; 1997001 2; 1999000 2; 2001000 2; 2001460 2; 2003001 2; 2005003 2; 2007006 2; 2009010 2; 2011015 2; 2013021 2; 2015028 2; 2017036 2; 2019045 2; 2021055 2; 2023066 2; 2024785 2; 2025078 2; 2027091 2; 2027795 2; 2029105 2; 2031120 2; 2033136 2; 2035153 2; 2035800 2; 2037171 2; 2039190 2; 2041210 2; 2042975 2; 2043231 2; 2045253 2; 2047276 2; 2049300 2; 2051325 2; 2053351 2; 2054360 2; 2055378 2; 2057406 2; 2059435 2; 2061465 2; 2063496 2; 2065528 2; 2067561 2; 2069595 2; 2071630 2; 2073666 2; 2075703 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2077741 2; 2079780 2; 2081156 2; 2081820 2; 2083861 2; 2085903 2; 2087946 2; 2089990 2; 2092035 2; 2094081 2; 2096128 2; 2098176 2; 2100225 2; 2102275 2; 2104326 2; 2106378 2; 2108184 2; 2108431 2; 2110485 2; 2112540 2; 2114596 2; 2116653 2; 2118711 2; 2118760 2; 2120770 2; 2122830 2; 2123555 2; 2124891 2; 2126953 2; 2129016 2; 2131080 2; 2133145 2; 2135211 2; 2135445 2; 2137278 2; 2139346 2; 2141415 2; 2143485 2; 2145556 2; 2147628 2; 2149701 2; 2151775 2; 2153850 2; 2155926 2; 2158003 2; 2160081 2; 2162160 2; 2162940 2; 2164240 2; 2166321 2; 2168403 2; 2170486 2; 2172570 2; 2174655 2; 2176741 2; 2178828 2; 2180916 2; 2183005 2; 2185095 2; 2187186 2; 2189278 2; 2190670 2; 2191371 2; 2193465 2; 2195560 2; 2197656 2; 2199753 2; 2201851 2; 2203950 2; 2206050 2; 2208151 2; 2210253 2; 2212356 2; 2214460 2; 2216565 2; 2218636 2; 2218671 2; 2220075 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 2220778 2; 2222886 2; 2224995 2; 2225895 2; 2227105 2; 2229216 2; 2231328 2; 2233441 2; 2235555 2; 2237670 2; 2239786 2; 2241903 2; 2244021 2; 2246140 2; 2246839 2; 2248260 2; 2250381 2; 2252503 2; 2254626 2; 2256750 2; 2258875 2; 2261001 2; 2263128 2; 2265256 2; 2267385 2; 2269515 2; 2271646 2; 2273778 2; 2275280 2; 2275911 2; 2278045 2; 2280180 2; 2282316 2; 2284453 2; 2286591 2; 2288730 2; 2290870 2; 2293011 2; 2295153 2; 2297296 2; 2299440 2; 2301585 2; 2303731 2; 2303960 2; 2305878 2; 2308026 2; 2310175 2; 2312325 2; 2314476 2; 2316628 2; 2318781 2; 2320935 2; 2323090 2; 2324784 2; 2325246 2; 2327403 2; 2329561 2; 2331720 2; 2331890 2; 2332880 2; 2333880 2; 2336041 2; 2338203 2; 2340366 2; 2342530 2; 2344695 2; 2346861 2; 2349028 2; 2349060 2; 2351196 2; 2353365 2; 2355535 2; 2357706 2; 2359878 2; 2362041 2; 2362051 2; 2364225 2; 2366400 2; 2368576 2; 2370753 2; 2372931 2; 2375110 2; 2377290 2; 2379471 2; 2381653 2; 2383836 2; 2386020 2; 2388205 2; 2390391 2; 2391444 2; 2392578 2; 2394766 2; 2396955 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2399145 2; 2401336 2; 2403528 2; 2405721 2; 2407915 2; 2410110 2; 2412306 2; 2414503 2; 2416701 2; 2418900 2; 2421090 2; 2421100 2; 2423301 2; 2425503 2; 2427706 2; 2429910 2; 2432115 2; 2434321 2; 2436528 2; 2438736 2; 2440945 2; 2441626 2; 2443155 2; 2445366 2; 2447578 2; 2449791 2; 2450980 2; 2452005 2; 2454220 2; 2456436 2; 2458653 2; 2460871 2; 2463090 2; 2465310 2; 2467531 2; 2469753 2; 2471976 2; 2474200 2; 2476425 2; 2478651 2; 2480878 2; 2481115 2; 2483106 2; 2485335 2; 2487565 2; 2489796 2; 2492028 2; 2494261 2; 2496144 2; 2496495 2; 2498730 2; 2500966 2; 2503203 2; 2505441 2; 2507680 2; 2509920 2; 2511496 2; 2512161 2; 2514403 2; 2516646 2; 2518890 2; 2521135 2; 2523381 2; 2525628 2; 2527876 2; 2530125 2; 2532375 2; 2534626 2; 2536878 2; 2539131 2; 2541385 2; 2542124 2; 2543640 2; 2545896 2; 2548153 2; 2550411 2; 2552670 2; 2554930 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 2555190 2; 2557191 2; 2559453 2; 2561716 2; 2563980 2; 2566245 2; 2568511 2; 2570778 2; 2573000 2; 2573046 2; 2575315 2; 2577585 2; 2579856 2; 2582128 2; 2584401 2; 2586675 2; 2588950 2; 2591226 2; 2593503 2; 2595781 2; 2598060 2; 2598960 2; 2600340 2; 2602621 2; 2604125 2; 2604903 2; 2607186 2; 2609470 2; 2611755 2; 2614041 2; 2616328 2; 2618616 2; 2620905 2; 2623195 2; 2625486 2; 2627778 2; 2629575 2; 2630071 2; 2632365 2; 2634660 2; 2635500 2; 2636956 2; 2639253 2; 2641551 2; 2643850 2; 2646150 2; 2648451 2; 2650753 2; 2653056 2; 2655360 2; 2657665 2; 2659971 2; 2662278 2; 2664586 2; 2666895 2; 2667126 2; 2669205 2; 2671516 2; 2672670 2; 2673828 2; 2676141 2; 2678455 2; 2680770 2; 2683086 2; 2685403 2; 2687721 2; 2690040 2; 2692360 2; 2694681 2; 2697003 2; 2699004 2; 2699326 2; 2701650 2; 2703975 2; 2704156 1; 2706301 2; 2708628 2; 2710956 2; 2713285 2; 2715615 2; 2717946 2; 2720278 2; 2722611 2; 2724945 2; 2727280 2; 2729616 2; 2731135 2; 2731953 2; 2734291 2; 2736630 2; 2738970 2; 2741311 2; 2743653 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2745996 2; 2748340 2; 2750685 2; 2753031 2; 2755378 2; 2757726 2; 2760075 2; 2760681 2; 2762425 2; 2763520 2; 2764776 2; 2767128 2; 2769481 2; 2771835 2; 2774190 2; 2776546 2; 2778903 2; 2781261 2; 2783620 2; 2785980 2; 2788341 2; 2790703 2; 2793066 2; 2794155 2; 2795430 2; 2796160 2; 2797795 2; 2800161 2; 2802528 2; 2804896 2; 2807265 2; 2809635 2; 2812006 2; 2814378 2; 2816751 2; 2819125 2; 2821500 2; 2823876 2; 2826253 2; 2828631 2; 2829056 2; 2831010 2; 2833390 2; 2835771 2; 2838153 2; 2840536 2; 2842920 2; 2845305 2; 2847691 2; 2850078 2; 2852466 2; 2854855 2; 2857245 2; 2859636 2; 2862028 2; 2862209 2; 2864421 2; 2866815 2; 2869210 2; 2869685 2; 2871606 2; 2874003 2; 2876401 2; 2878800 2; 2881200 2; 2883601 2; 2886003 2; 2888406 2; 2890810 2; 2893215 2; 2895620 2; 2895621 2; 2898028 2; 2900436 2; 2902845 2; 2905255 2; 2907666 2; 2910078 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 2912491 2; 2914905 2; 2917320 2; 2919735 2; 2919736 2; 2922153 2; 2924571 2; 2926990 2; 2929290 2; 2929410 2; 2931831 2; 2934253 2; 2936676 2; 2939100 2; 2941525 2; 2943951 2; 2946378 2; 2948806 2; 2951235 2; 2953665 2; 2956096 2; 2958528 2; 2960961 2; 2963220 2; 2963395 2; 2965830 2; 2968266 2; 2970703 2; 2973141 2; 2975580 2; 2978020 2; 2980461 2; 2982903 2; 2985346 2; 2987790 2; 2990235 2; 2992681 2; 2995128 2; 2997411 2; 2997576 2; 3000025 2; 3002475 2; 3004926 2; 3007378 2; 3009831 2; 3012285 2; 3014740 2; 3017196 2; 3019653 2; 3022111 2; 3024570 2; 3027030 2; 3029491 2; 3031864 2; 3031953 2; 3034416 2; 3036880 2; 3039345 2; 3041811 2; 3044278 2; 3046746 2; 3049215 2; 3049501 2; 3051685 2; 3054156 2; 3056628 2; 3059101 2; 3061575 2; 3064050 2; 3066526 2; 3066580 2; 3069003 2; 3071481 2; 3073960 2; 3076440 2; 3078921 2; 3081403 2; 3083886 2; 3086370 2; 3088855 2; 3091341 2; 3093828 2; 3096316 2; 3098805 2; 3101295 2; 3101560 2; 3103786 2; 3106278 2; 3108105 2; 3108771 2; 3111265 2; 3113760 2; 3116256 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">3118753 2; 3121251 2; 3123750 2; 3124550 2; 3126250 2; 3128751 2; 3131253 2; 3133756 2; 3136260 2; 3136805 2; 3138765 2; 3141271 2; 3143778 2; 3146286 2; 3148795 2; 3151305 2; 3153816 2; 3156328 2; 3158841 2; 3161355 2; 3162510 2; 3163870 2; 3166386 2; 3168903 2; 3171421 2; 3172316 2; 3173940 2; 3176460 2; 3178981 2; 3181503 2; 3183545 2; 3184026 2; 3186550 2; 3189075 2; 3191601 2; 3194128 2; 3196656 2; 3199185 2; 3201715 2; 3204246 2; 3206778 2; 3208094 2; 3209311 2; 3211845 2; 3214380 2; 3216916 2; 3219453 2; 3221991 2; 3224530 2; 3227070 2; 3229611 2; 3232153 2; 3234696 2; 3237240 2; 3239785 2; 3242331 2; 3244140 2; 3244878 2; 3247426 2; 3249975 2; 3252525 2; 3255076 2; 3257628 2; 3260181 2; 3262623 2; 3262735 2; 3265290 2; 3267846 2; 3268760 2; 3270403 2; 3272961 2; 3275520 2; 3278080 2; 3280455 2; 3280641 2; 3283203 2; 3285766 2; 3288330 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 3290895 2; 3293461 2; 3296028 2; 3298596 2; 3301165 2; 3303735 2; 3306306 2; 3308878 2; 3311451 2; 3314025 2; 3316600 2; 3317040 2; 3319176 2; 3321753 2; 3321960 2; 3324331 2; 3326910 2; 3329490 2; 3332071 2; 3334653 2; 3337236 2; 3339820 2; 3342405 2; 3344991 2; 3347578 2; 3350166 2; 3352755 2; 3353896 2; 3355345 2; 3357936 2; 3360528 2; 3363121 2; 3365715 2; 3365856 2; 3368310 2; 3370906 2; 3373503 2; 3376101 2; 3378700 2; 3381300 2; 3383901 2; 3386503 2; 3389106 2; 3391024 2; 3391710 2; 3394315 2; 3396921 2; 3399528 2; 3402136 2; 3404745 2; 3407355 2; 3409966 2; 3412578 2; 3415191 2; 3417805 2; 3420420 2; 3423036 2; 3425653 2; 3428271 2; 3428425 2; 3430890 2; 3433510 2; 3436131 2; 3438753 2; 3441376 2; 3444000 2; 3446625 2; 3449251 2; 3451878 2; 3454506 2; 3457135 2; 3459765 2; 3462396 2; 3464840 2; 3465028 2; 3466100 2; 3467661 2; 3470295 2; 3472930 2; 3475566 2; 3478203 2; 3478761 2; 3480841 2; 3483480 2; 3486120 2; 3488761 2; 3491403 2; 3494046 2; 3496690 2; 3499335 2; 3501981 2; 3504050 2; 3504628 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">3507276 2; 3509925 2; 3512575 2; 3515226 2; 3517878 2; 3520531 2; 3523185 2; 3525840 2; 3528496 2; 3531153 2; 3533811 2; 3536470 2; 3539130 2; 3541791 2; 3542276 2; 3544453 2; 3547116 2; 3549780 2; 3552445 2; 3555111 2; 3557778 2; 3560446 2; 3563115 2; 3565785 2; 3568456 2; 3571128 2; 3573801 2; 3576475 2; 3579150 2; 3580779 2; 3581826 2; 3584503 2; 3587181 2; 3589860 2; 3592540 2; 3595221 2; 3597903 2; 3600586 2; 3603270 2; 3605955 2; 3608641 2; 3611328 2; 3612280 2; 3614016 2; 3616705 2; 3619395 2; 3619560 2; 3622086 2; 3624778 2; 3627471 2; 3630165 2; 3632860 2; 3635556 2; 3638253 2; 3640951 2; 3643650 2; 3646350 2; 3649051 2; 3651753 2; 3654456 2; 3657160 2; 3658620 2; 3659865 2; 3662571 2; 3665278 2; 3667986 2; 3670695 2; 3673405 2; 3676116 2; 3678828 2; 3681541 2; 3684255 2; 3686970 2; 3689686 2; 3692403 2; 3695121 2; 3697840 2; 3697960 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 3700560 2; 3703281 2; 3706003 2; 3708726 2; 3711450 2; 3714175 2; 3716901 2; 3719628 2; 3722356 2; 3725085 2; 3727815 2; 3730546 2; 3733278 2; 3736011 2; 3737581 2; 3738745 2; 3741480 2; 3744216 2; 3746953 2; 3749691 2; 3752430 2; 3755170 2; 3757911 2; 3760653 2; 3763396 2; 3764376 2; 3766140 2; 3768885 2; 3771631 2; 3774378 2; 3777126 2; 3777484 2; 3779875 2; 3782625 2; 3785376 2; 3788128 2; 3790881 2; 3793635 2; 3796390 2; 3799146 2; 3801903 2; 3804661 2; 3807420 2; 3810180 2; 3812941 2; 3815703 2; 3817670 2; 3818466 2; 3819816 2; 3821230 2; 3823995 2; 3826761 2; 3829528 2; 3832296 2; 3835065 2; 3837835 2; 3838380 2; 3840606 2; 3843378 2; 3846151 2; 3848925 2; 3851700 2; 3854476 2; 3857253 2; 3858140 2; 3860031 2; 3862810 2; 3865590 2; 3868371 2; 3871153 2; 3873936 2; 3876720 2; 3879505 2; 3882291 2; 3885078 2; 3887866 2; 3890655 2; 3893445 2; 3896236 2; 3898895 2; 3899028 2; 3901821 2; 3904615 2; 3907410 2; 3910206 2; 3913003 2; 3915801 2; 3918600 2; 3921225 2; 3921400 2; 3924201 2; 3927003 2; 3929806 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">3932610 2; 3935415 2; 3938221 2; 3939936 2; 3941028 2; 3943836 2; 3946645 2; 3949455 2; 3952266 2; 3955078 2; 3957891 2; 3960705 2; 3963520 2; 3966336 2; 3969153 2; 3971971 2; 3974790 2; 3977610 2; 3980431 2; 3981264 2; 3983253 2; 3986076 2; 3988900 2; 3991725 2; 3994551 2; 3997378 2; 4000206 2; 4003035 2; 4005865 2; 4008696 2; 4011528 2; 4014361 2; 4017195 2; 4020030 2; 4022866 2; 4022880 2; 4025703 2; 4028541 2; 4031380 2; 4034220 2; 4037061 2; 4039903 2; 4042746 2; 4045590 2; 4048435 2; 4051281 2; 4054128 2; 4056976 2; 4059825 2; 4062675 2; 4064785 2; 4065526 2; 4068378 2; 4071231 2; 4074085 2; 4076940 2; 4079796 2; 4082653 2; 4082925 2; 4085511 2; 4088370 2; 4091230 2; 4094091 2; 4096953 2; 4099816 2; 4102680 2; 4105545 2; 4106980 2; 4108411 2; 4111278 2; 4114146 2; 4117015 2; 4119885 2; 4122756 2; 4125628 2; 4128501 2; 4131375 2; 4134250 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 4137126 2; 4140003 2; 4142881 2; 4145760 2; 4148640 2; 4149466 2; 4151521 2; 4154403 2; 4157286 2; 4160170 2; 4163055 2; 4165941 2; 4168828 2; 4171716 2; 4174605 2; 4177495 2; 4180386 2; 4183278 2; 4186171 2; 4187106 2; 4189065 2; 4191960 2; 4192244 2; 4194856 2; 4197753 2; 4200651 2; 4203550 2; 4206450 2; 4209351 2; 4212253 2; 4215156 2; 4218060 2; 4220965 2; 4223871 2; 4226778 2; 4229686 2; 4232595 2; 4235315 2; 4235505 2; 4238416 2; 4241328 2; 4244241 2; 4247155 2; 4249575 2; 4250070 2; 4252986 2; 4255903 2; 4258821 2; 4261740 2; 4264660 2; 4267581 2; 4270503 2; 4272048 2; 4273426 2; 4276350 2; 4278680 2; 4279275 2; 4282201 2; 4285128 2; 4288056 2; 4290985 2; 4292145 2; 4293915 2; 4296846 2; 4299778 2; 4302711 2; 4305645 2; 4308580 2; 4311516 2; 4314453 2; 4317391 2; 4320330 2; 4322340 2; 4323270 2; 4326211 2; 4329153 2; 4332096 2; 4335040 2; 4337985 2; 4340931 2; 4343878 2; 4346826 2; 4349775 2; 4352725 2; 4355676 2; 4358628 2; 4361581 2; 4364535 2; 4366296 2; 4367490 2; 4370446 2; 4373403 2; 4376361 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">4379320 2; 4382280 2; 4385241 2; 4388203 2; 4391166 2; 4394130 2; 4397095 2; 4400061 2; 4403028 2; 4405996 2; 4408965 2; 4410549 2; 4411935 2; 4414906 2; 4417878 2; 4420851 2; 4421275 2; 4423825 2; 4426800 2; 4429776 2; 4432753 2; 4435731 2; 4438710 2; 4441690 2; 4444671 2; 4447653 2; 4450636 2; 4453620 2; 4455100 2; 4456605 2; 4457400 2; 4459591 2; 4462578 2; 4465566 2; 4468555 2; 4471545 2; 4474536 2; 4477528 2; 4480521 2; 4483515 2; 4486510 2; 4489506 2; 4492503 2; 4495501 2; 4496388 2; 4498500 2; 4499950 2; 4501500 2; 4504501 2; 4507503 2; 4545100 2; 4582116 2; 4590551 2; 4598126 2; 4636304 2; 4682360 2; 4686825 2; 4728720 2; 4775385 2; 4780230 2; 4822356 2; 4869634 2; 4917220 2; 4965115 2; 4967690 2; 5006386 2; 5013320 2; 5061836 2; 5110664 2; 5159805 2; 5160610 2; 5200300 2; 5209260 2; 5245786 2; 5259030 2; 5309116 2; 5311735 2; 5359095 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 5359519 2; 5379616 2; 5410240 2; 5461280 2; 5461512 2; 5512640 2; 5563251 2; 5564321 2; 5616324 2; 5668650 2; 5721300 2; 5773185 2; 5774275 2; 5827576 2; 5852925 2; 5881204 2; 5935160 2; 5949147 2; 5989005 2; 5989445 2; 6044060 2; 6096454 2; 6099006 2; 6154284 2; 6209895 2; 6210820 2; 6265840 2; 6322120 2; 6378736 2; 6435689 2; 6438740 2; 6471002 2; 6492980 2; 6550610 2; 6608580 2; 6666891 2; 6672876 2; 6724520 2; 6725544 2; 6784540 2; 6843880 2; 6903565 2; 6906900 2; 6913340 2; 6963596 2; 7023974 2; 7028847 2; 7059052 2; 7084700 2; 7145775 2; 7160245 2; 7207200 2; 7268976 2; 7331104 2; 7393585 2; 7413705 2; 7456420 2; 7519610 2; 7583156 2; 7624512 2; 7647059 2; 7673835 2; 7711320 2; 7726160 2; 7775940 2; 7840920 2; 7888725 2; 7906261 2; 7940751 2; 7971964 2; 8038030 2; 8104460 2; 8145060 2; 8171255 2; 8214570 2; 8238416 2; 8259888 2; 8305944 2; 8347680 2; 8373840 2; 8436285 2; 8442105 2; 8495410 2; 8510740 2; 8579746 2; 8649124 2; 8718875 2; 8783390 2; 8789000 2; 8859500 2; 8930376 2; 8936928 2; 9001629 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">9073260 2; 9078630 2; 9145270 2; 9217660 2; 9290431 2; 9363584 2; 9366819 2; 9381251 2; 9437120 2; 9511040 2; 9585345 2; 9657648 2; 9657700 2; 9660036 2; 9691375 2; 9735114 2; 9810580 2; 9886435 2; 9962680 2; 10009125 2; 10015005 2; 10039316 2; 10116344 2; 10193765 2; 10271580 2; 10295472 2; 10334625 2; 10349790 2; 10400600 1; 10424128 2; 10428396 2; 10507399 2; 10518300 2; 10586800 2; 10666600 2; 10668000 2; 10737573 2; 10746800 2; 10827401 2; 10908404 2; 10989810 2; 11009376 2; 11071620 2; 11153835 2; 11236456 2; 11238513 2; 11319484 2; 11358880 2; 11402920 2; 11486765 2; 11571020 2; 11655686 2; 11716640 2; 11740764 2; 11826255 2; 11912160 2; 11998480 2; 12082785 2; 12085216 2; 12103014 2; 12172369 2; 12259940 2; 12271512 2; 12347930 2; 12436340 2; 12457445 2; 12525171 2; 12614424 2; 12620256 2; 12704100 2; 12794200 2; 12840751 2; 12884725 2; 12975676 2; 13019909 2; 13037895 2; 13067054 2; 13123110 2; 13158860 2; 13232835 2; 13251095 2; 13343760 2; 13436856 2; 13530384 2; 13624345 2; 13633830 2; 13718740 2; 13813570 2; 13884156 2; 13908836 2; 13983816 2; 13991544 2; 14004539 2; 14043870 2; 14100680 2; 14197260 2; 14294280 2; 14307150 2; 14391741 2; 14463090 2; 14489644 2; 14587990 2; 14686780 2; 14786015 2; 14885696 2; 14891626 2; 14985824 2; 15020334 2; 15086400 2; 15187425 2; 15288900 2; 15329615 2; 15380937 2; 15390826 2; 15493204 2; 15596035 2; 15699320 2; 15777195 2; 15803060 2; 15890700 2; 15907256 2; 16011909 2; 16108764 2; 16117020 2; 16222590 2; 16234505 2; 16328620 2; 16435111 2; 16542064 2; 16649480 2; 16701685 2; 16757360 2; 16865705 2; 16974516 2; 17083794 2; 17178876 2; 17193540 2; 17259390 2; 17303755 2; 17383860 2; 17414440 2; 17525596 2; 17637224 2; 17666220 2; 17749325 2; 17861900 2; 17974950 2; 18009460 2; 18088476 2; 18156204 2; 18163860 2; 18202479 2; 18316960 2; 18431920 2; 18474840 2; 18547360 2; 18643560 2; 18663281 2; 18671940 2; 18779684 2; 18896570 2; 19013940 2; 19131795 2; 19190605 2; 19250136 2; 19368964 2; 19488280 2; 19608085 2; 19720001 2; 19728380 2; 19757815 2; 19849166 2; 19970444 2; 20030010 2; 20058300 2; 20092215 2; 20160075 2; 20214480 2; 20260275 2; 20337240 2; 20358520 2; 20460496 2; 20584249 2; 20708500 2; 20811575 2; 20833250 2; 20958500 2; 21084251 2; 21111090 2; 21210504 2; 21337260 2; 21374050 2; 21464520 2; 21474180 2; 21592285 2; 21720556 2; 21849334 2; 21947850 2; 21978620 2; 22108415 2; 22238720 2; 22369536 2; 22481940 2; 22500864 2; 22533126 2; 22537515 2; 22632705 2; 22765060 2; 22897930 2; 22957480 2; 23031316 2; 23130030 2; 23165219 2; 23299640 2; 23434580 2; 23535820 2; 23570040 2; 23706021 2; 23738715 2; 23842524 2; 23979550 2; 24040016 2; 24117100 2; 24255175 2; 24359335 2; 24393776 2; 24532904 2; 24672560 2; 24812745 2; 24953460 2; 24992045 2; 25094706 2; 25236484 2; 25378795 2; 25521640 2; 25621596 2; 25637001 2; 25665020 2; 25808936 2; 25827165 2; 25953389 2; 26098380 2; 26243910 2; 26294360 2; 26389980 2; 26536591 2; 26683744 2; 26831440 2; 26964280 2; 26978328 2; 26979680 2; 27128465 2; 27277796 2; 27285336 2; 27427674 2; 27578100 2; 27646920 2; 27729075 2; 27880600 2; 28032676 2; 28048800 2; 28185304 2; 28338485 2; 28342440 2; 28492220 2; 28646510 2; 28801356 2; 28956759 2; 28989675 2; 29034396 2; 29051001 2; 29112720 2; 29269240 2; 29426320 2; 29583961 2; 29742164 2; 29772765 2; 29900930 2; 30045015 2; 30060260 2; 30220155 2; 30260340 2; 30380616 2; 30421755 2; 30507895 2; 30541644 2; 30703240 2; 30865405 2; 30872016 2; 31028140 2; 31191446 2; 31256555 2; 31355324 2; 31519775 2; 31684800 2; 31850400 2; 32016576 2; 32018910 2; 32183329 2; 32224114 2; 32350660 2; 32468436 2; 32518570 2; 32687060 2; 32795126 2; 32801517 2; 32856131 2; 33025784 2; 33196020 2; 33366840 2; 33538245 2; 33585370 2; 33710236 2; 33882814 2; 34055980 2; 34229735 2; 34389810 2; 34404080 2; 34579016 2; 34597290 2; 34754544 2; 34826302 2; 34930665 2; 35107380 2; 35208615 2; 35284690 2; 35462596 2; 35641099 2; 35820200 2; 35999900 2; 36041955 2; 36180200 2; 36288252 2; 36361101 2; 36542604 2; 36724710 2; 36890001 2; 36907420 2; 36949857 2; 37090735 2; 37274656 2; 37442160 2; 37459184 2; 37644320 2; 37752925 2; 37830065 2; 38016420 2; 38203386 2; 38320568 2; 38390964 2; 38567100 2; 38579155 2; 38608020 2; 38630900 2; 38767960 2; 38957380 2; 39147416 2; 39175752 2; 39338069 2; 39524100 2; 39529340 2; 39721230 2; 39913740 2; 40106871 2; 40116600 1; 40300624 2; 40432700 2; 40475358 2; 40495000 2; 40690000 2; 40885625 2; 41081876 2; 41278754 2; 41356876 2; 41476260 2; 41507642 2; 41674395 2; 41873160 2; 42072556 2; 42272584 2; 42296805 2; 42473245 2; 42674540 2; 42876470 2; 43079036 2; 43252665 2; 43282239 2; 43486080 2; 43690560 2; 43895680 2; 43949268 2; 44101441 2; 44224635 2; 44307844 2; 44352165 2; 44514890 2; 44722580 2; 44930915 2; 45057474 2; 45139896 2; 45212895 2; 45349524 2; 45379620 2; 45559800 2; 45770725 2; 45982300 2; 46194526 2; 46217626 2; 46407404 2; 46504458 2; 46620935 2; 46835120 2; 47049960 2; 47239010 2; 47265456 2; 47481609 2; 47698420 2; 47915890 2; 48134020 2; 48277230 2; 48352811 2; 48572264 2; 48792380 2; 48903492 2; 49013160 2; 49177128 2; 49234605 2; 49332470 2; 49456716 2; 49679494 2; 49902940 2; 50063860 2; 50127055 2; 50351840 2; 50404915 2; 50577296 2; 50803424 2; 51030225 2; 51257700 2; 51485850 2; 51494751 2; 51714676 2; 51895935 2; 51944179 2; 51971283 2; 52174360 2; 52405220 2; 52451256 2; 52602165 2; 52636760 2; 52868981 2; 53101884 2; 53335470 2; 53524680 2; 53569740 2; 53727345 2; 53804695 2; 54040336 2; 54276664 2; 54513680 2; 54627300 2; 54751385 2; 54870480 2; 54891018 2; 54989780 2; 55228866 2; 55468644 2; 55525372 2; 55709115 2; 55950280 2; 56031760 2; 56192140 2; 56434696 2; 56677949 2; 56921900 2; 57166550 2; 57211376 2; 57411900 2; 57657951 2; 57904704 2; 57940519 2; 58152160 2; 58400320 2; 58409520 2; 58649185 2; 58898756 2; 59149034 2; 59400020 2; 59626385 2; 59651715 2; 59904120 2; 60157236 2; 60411064 2; 60665605 2; 60862165 2; 60920860 2; 61124064 2; 61176830 2; 61433516 2; 61474519 2; 61523748 2; 61690919 2; 61949040 2; 62117055 2; 62207880 2; 62467440 2; 62727721 2; 62891499 2; 62988724 2; 63250450 2; 63391251 2; 63512900 2; 63776075 2; 64039976 2; 64304604 2; 64446024 2; 64512240 2; 64569960 2; 64684950 2; 64836045 2; 65102860 2; 65370406 2; 65638684 2; 65907695 2; 65998350 2; 66177440 2; 66447920 2; 66719136 2; 66991089 2; 67263780 2; 67331650 2; 67537210 2; 67811380 2; 67863915 2; 67910864 2; 67945521 2; 68086291 2; 68361944 2; 68638340 2; 68685050 2; 68915480 2; 69193365 2; 69471996 2; 69751374 2; 70031500 2; 70058751 2; 70312375 2; 70594000 2; 70607460 2; 70876376 2; 71159504 2; 71443385 2; 71452955 2; 71523144 2; 71728020 2; 72013410 2; 72299556 2; 72586459 2; 72867865 2; 72874120 2; 73162540 2; 73451720 2; 73629072 2; 73741661 2; 74032364 2; 74303685 2; 74323830 2; 74616060 2; 74909055 2; 74974368 2; 75202816 2; 75287520 2; 75497344 2; 75760620 2; 75792640 2; 76088705 2; 76385540 2; 76683146 2; 76904685 2; 76981524 2; 77238876 2; 77280675 2; 77558760 2; 77580600 2; 77881300 2; 78182776 2; 78485029 2; 78738660 2; 78788060 2; 79091870 2; 79208745 2; 79396460 2; 79701831 2; 80007984 2; 80260180 2; 80314920 2; 80622640 2; 80931145 2; 81240436 2; 81550514 2; 81803645 2; 81861380 2; 82173035 2; 82485480 2; 82598880 2; 82798716 2; 83112744 2; 83291670 2; 83369265 2; 83427565 2; 83743180 2; 84059590 2; 84376796 2; 84672315 2; 84694799 2; 84957251 2; 85013600 2; 85333200 2; 85653600 2; 85900584 2; 85974801 2; 86296804 2; 86493225 2; 86567815 2; 86619610 2; 86943220 2; 87267635 2; 87541245 2; 87592856 2; 87918884 2; 88201170 2; 88245720 2; 88573365 2; 88901820 2; 89231086 2; 89561164 2; 89857530 2; 89892055 2; 90223760 2; 90556280 2; 90858768 2; 90889616 2; 91223769 2; 91537110 2; 91558740 2; 91894530 2; 91962520 2; 92231140 2; 92561040 2; 92568571 2; 92906824 2; 93240126 2; 93245900 2; 93585800 2; 93926525 2; 94143280 2; 94268076 2; 94610454 2; 94953660 2; 94966795 2; 95297695 2; 95548245 2; 95642560 2; 95988256 2; 96334784 2; 96560646 2; 96682145 2; 96717335 2; 97030340 2; 97379370 2; 97729236 2; 98079939 2; 98431480 2; 98491965 2; 98783860 2; 99137080 2; 99491141 2; 99795696 2; 99846044 2; 99884400 2; 100201790 2; 100290905 2; 100558380 2; 100915815 2; 101274096 2; 101340876 2; 101633224 2; 101993200 2; 102114376 2; 102354025 2; 102715700 2; 103078226 2; 103441604 2; 103805835 2; 103962600 2; 104170920 2; 104536860 2; 104903656 2; 105271309 2; 105639820 2; 105835800 2; 106009190 2; 106308566 2; 106379420 2; 106750511 2; 107122464 2; 107495280 2; 107734200 2; 107868960 2; 108243505 2; 108618916 2; 108995194 2; 109372340 2; 109453344 2; 109658025 2; 109750355 2; 110129240 2; 110508996 2; 110889624 2; 111271125 2; 111469176 2; 111607501 2; 111653500 2; 112036750 2; 112420876 2; 112805879 2; 113191760 2; 113578520 2; 113582855 2; 113966160 2; 114354681 2; 114744084 2; 115134370 2; 115525540 2; 115584315 2; 115775100 2; 115917595 2; 116310536 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 116704364 2; 116828271 2; 117099080 2; 117494685 2; 117612110 2; 117891180 2; 118030185 2; 118288566 2; 118686844 2; 119086015 2; 119486080 2; 119666470 2; 119759850 2; 119877472 2; 119887040 2; 120288896 2; 120691649 2; 121095300 2; 121499850 2; 121747626 2; 121905300 2; 122311651 2; 122391522 2; 122718904 2; 123127060 2; 123536120 2; 123855810 2; 123946085 2; 124356956 2; 124403620 2; 124768734 2; 125181420 2; 125595015 2; 125991255 2; 126009520 2; 126424936 2; 126841264 2; 127258505 2; 127676660 2; 128095730 2; 128154195 2; 128164707 2; 128515716 2; 128936619 2; 129024480 2; 129358440 2; 129781180 2; 130204840 2; 130344865 2; 130629421 2; 131054924 2; 131115985 2; 131128140 2; 131481350 2; 131908700 2; 132336975 2; 132563501 2; 132766176 2; 133196304 2; 133627360 2; 133784560 2; 134059345 2; 134153712 2; 134492260 2; 134810340 2; 134926106 2; 135360884 2; 135796595 2; 136233240 2; 136670820 2; 137085620 2; 137109336 2; 137548789 2; 137989180 2; 138430510 2; 138872780 2; 139315991 2; 139389580 2; 139760144 2; 140205240 2; 140364532 2; 140651280 2; 141098265 2; 141120525 2; 141546196 2; 141722460 2; 141995074 2; 142444900 2; 142895675 2; 143218999 2; 143347400 2; 143800076 2; 144084501 2; 144253704 2; 144708285 2; 145008513 2; 145163820 2; 145422675 2; 145620310 2; 146077756 2; 146475945 2; 146536159 2; 146803272 2; 146995520 2; 147455840 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">147917120 2; 148379361 2; 148842564 2; 148897035 2; 149306730 2; 149771860 2; 150237955 2; 150705016 2; 151173044 2; 151348015 2; 151642040 2; 152112005 2; 152582940 2; 153054846 2; 153476148 2; 153527724 2; 153829130 2; 154001575 2; 154143080 2; 154476400 2; 154952200 2; 155117520 1; 155428976 2; 155906729 2; 156238908 2; 156340626 2; 156385460 2; 156865170 2; 157345860 2; 157827531 2; 158310184 2; 158793820 2; 158882750 2; 159278440 2; 159764045 2; 160250636 2; 160389488 2; 160738214 2; 161226780 2; 161455750 2; 161716335 2; 162206880 2; 162698416 2; 163011640 2; 163190944 2; 163684465 2; 164059875 2; 164178980 2; 164674490 2; 165170996 2; 165668499 2; 166167000 2; 166666500 2; 166695375 2; 167167000 2; 167549733 2; 167668501 2; 168171004 2; 168674510 2; 169179020 2; 169362501 2; 169684535 2; 170191056 2; 170230452 2; 170698584 2; 171207120 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 171716665 2; 172061505 2; 172227220 2; 172738786 2; 173251364 2; 173764955 2; 174279560 2; 174792640 2; 174795180 2; 174963438 2; 175311816 2; 175829469 2; 176348140 2; 176867830 2; 177100560 2; 177232627 2; 177388540 2; 177556160 2; 177910271 2; 178433024 2; 178956800 2; 179481600 2; 180007425 2; 180352320 2; 180534276 2; 181062154 2; 181591060 2; 182120995 2; 182637273 2; 182651960 2; 183181376 2; 183183956 2; 183579396 2; 183716984 2; 184251045 2; 184786140 2; 185250786 2; 185322270 2; 185859436 2; 186043585 2; 186397639 2; 186936880 2; 187477160 2; 188018480 2; 188560841 2; 188939205 2; 189104244 2; 189648690 2; 190194180 2; 190578024 2; 190740715 2; 191288296 2; 191836924 2; 191868495 2; 192386600 2; 192937325 2; 193489100 2; 193536720 2; 194041926 2; 194595804 2; 194831715 2; 195150735 2; 195706720 2; 196263760 2; 196821856 2; 197381009 2; 197829126 2; 197941220 2; 198502490 2; 198792594 2; 199064820 2; 199628211 2; 200192664 2; 200758180 2; 200860990 2; 201324760 2; 201359550 2; 201892405 2; 202461116 2; 202927725 2; 203030894 2; 203601740 2; 203927570 2; 204173655 2; 204746640 2; 205320696 2; 205895824 2; 206253075 2; 206472025 2; 207029130 2; 207049300 2; 207288004 2; 207627650 2; 208207076 2; 208787579 2; 209369160 2; 209951820 2; 210165935 2; 210535560 2; 211120381 2; 211706284 2; 211915132 2; 212293270 2; 212881340 2; 213338251 2; <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">213470495 2; 214060736 2; 214652064 2; 215244480 2; 215553195 2; 215837985 2; 216071394 2; 216432580 2; 216546345 2; 217028266 2; 217625044 2; 218222915 2; 218618940 2; 218821880 2; 219421940 2; 219790485 2; 220023096 2; 220625349 2; 221228700 2; 221833150 2; 222438700 2; 223045351 2; 223070940 2; 223653104 2; 224261960 2; 224871920 2; 225150024 2; 225482985 2; 225792840 2; 226095156 2; 226387980 2; 226708434 2; 227322820 2; 227938315 2; 228554920 2; 229172636 2; 229741876 2; 229791464 2; 230411405 2; 231032460 2; 231654630 2; 231917400 2; 232277916 2; 232902319 2; 233132900 2; 233527840 2; 234154480 2; 234531275 2; 234782240 2; 235411121 2; 236041124 2; 236561325 2; 236672250 2; 237093780 2; 237304500 2; 237937875 2; 238572376 2; 239208004 2; 239844760 2; 240027425 2; 240482645 2; 241121660 2; 241761806 2; 242403084 2; 243045495 2; 243531475 <\/span><br \/>\n<span style=\"font-size: 8pt;\">2; 243689040 2; 244222650 2; 244333720 2; 244979536 2; 245626489 2; 246274580 2; 246923810 2; 247073751 2; 247574180 2; 248225691 2; 248878344 2; 249532140 2<\/span><\/p>\n<\/div>\n<p>De getallen die vaker voorkomen zijn:<\/p>\n<p>6 (komt 3 keer voor), 10 (komt 4 keer voor), 120 (komt 6 keer voor) en inderdaad 3003 komt 8 keer voor.<\/p>\n<p>Merk op dat de frequenties van 6, 10, 120 en 3003 ook de daadwerkelijke waardes zijn, want een getal n kan slechts voorkomen tot en met de n<sup>e<\/sup> regel in de driehoek.<\/p>\n<h3><a id=\"zelf\"><\/a>Zelf proberen<\/h3>\n<p>Met deze <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/php-files\/pascal.php\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">pagina<\/a> kunt u een driehoek van Pascal genereren.<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Inleiding De driehoek van Pascal is een wiskundige curiositeit maar tevens ook een (zeer) handige tool bij het bepalen van kansen. Net zoals de stelling van Pythagoras niet door Pythagoras is ontdekt is de Driehoek van Pascal niet door Pascal ontdekt. Geschriften uit de 10e eeuw uit India en Perzi\u00eb (Iran) en uit de 13e [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2061,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-1415","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Driehoek van Pascal - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Driehoek van Pascal - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Inleiding De driehoek van Pascal is een wiskundige curiositeit maar tevens ook een (zeer) handige tool bij het bepalen van kansen. Net zoals de stelling van Pythagoras niet door Pythagoras is ontdekt is de Driehoek van Pascal niet door Pascal ontdekt. Geschriften uit de 10e eeuw uit India en Perzi\u00eb (Iran) en uit de 13e [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-03-26T09:55:26+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/natuurlijke_getallen.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"91 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/driehoek-van-pascal\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/driehoek-van-pascal\\\/\",\"name\":\"Driehoek van Pascal - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/driehoek-van-pascal\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/driehoek-van-pascal\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/08\\\/natuurlijke_getallen.png\",\"datePublished\":\"2022-08-08T11:35:30+00:00\",\"dateModified\":\"2024-03-26T09:55:26+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/driehoek-van-pascal\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/driehoek-van-pascal\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/driehoek-van-pascal\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/08\\\/natuurlijke_getallen.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/08\\\/natuurlijke_getallen.png\",\"width\":681,\"height\":361},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/driehoek-van-pascal\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Artikel 00-0F\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":5,\"name\":\"Driehoek van Pascal\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Driehoek van Pascal - Wiskunst","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Driehoek van Pascal - Wiskunst","og_description":"Inleiding De driehoek van Pascal is een wiskundige curiositeit maar tevens ook een (zeer) handige tool bij het bepalen van kansen. Net zoals de stelling van Pythagoras niet door Pythagoras is ontdekt is de Driehoek van Pascal niet door Pascal ontdekt. Geschriften uit de 10e eeuw uit India en Perzi\u00eb (Iran) en uit de 13e [&hellip;]","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2024-03-26T09:55:26+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/natuurlijke_getallen.png","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"91 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/","name":"Driehoek van Pascal - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/natuurlijke_getallen.png","datePublished":"2022-08-08T11:35:30+00:00","dateModified":"2024-03-26T09:55:26+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/#primaryimage","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/natuurlijke_getallen.png","contentUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/natuurlijke_getallen.png","width":681,"height":361},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/driehoek-van-pascal\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Artikel 00-0F","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/"},{"@type":"ListItem","position":5,"name":"Driehoek van Pascal"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1415","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1415"}],"version-history":[{"count":44,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1415\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1568,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1415\/revisions\/1568"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2061"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1415"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}