{"id":1504,"date":"2022-08-22T10:32:02","date_gmt":"2022-08-22T09:32:02","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.nl\/?page_id=1504"},"modified":"2024-03-26T10:55:57","modified_gmt":"2024-03-26T09:55:57","slug":"hoofdstelling-van-de-rekenkunde","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/","title":{"rendered":"Hoofdstelling van de rekenkunde"},"content":{"rendered":"<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29978c926\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69de29978c926\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ontbinden\">Ontbinden van een getal<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#priemgetallen\">Priemgetallen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#rekenkunde\">Rekenkunde<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#commutatief\">Commutatief en associatief<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#open\">Open en gesloten verzamelingen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#hoogste\">Hoogste en laagste getal<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#hoofdstelling\">Hoofdstelling<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#bewijs\">Het bewijs<\/a>\n<ul>\n<li><a href=\"#algoritme\">Het algoritme van Euclides<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#ggd\">GGD met negatieve getallen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#bezout\">De Stelling van Bezout<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#lemma\">Het Lemma van Euclides<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#hoofdstellingrekenkunde\">Hoofdstelling van de rekenkunde<\/a><\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li><a href=\"#slot\">Tot slot<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#bronnen\">Bronnen<\/a><\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p>Voordat u aan dit artikel begint is het raadzaam om eerst het artikel over <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/bewijzen\/\">bewijzen<\/a> te lezen.<\/p>\n<p>In dit artikel gaan we kijken naar een eigenschap van gehele getallen die de meesten wel zullen kennen en voor de hand vinden liggen. Dat laatste is echte verre van waar; het ligt helemaal niet voor de hand. En daar gaan we hier op in.<\/p>\n<p>Waar hebben we het eigenlijk over?<br \/>\nWelnu, in simpele bewoordingen: &#8220;Ieder getal kan op unieke manier ontbonden worden in priemfactoren&#8221;.<\/p>\n<p>In wat meer wiskundige termen staat hier: Ieder natuurlijk (geheel, positief) getal kan op unieke wijze worden geschreven als het product (vermenigvuldiging) van priemgetallen.<\/p>\n<p>We moeten dus een aantal dingen weten:<\/p>\n<ul>\n<li>Wat is eigenlijk ontbinden?<\/li>\n<li>Wat is een priemgetal?<\/li>\n<li>Wat is rekenkunde?<\/li>\n<\/ul>\n<p>En daarna gaan we uitgebreid in op de zogenaamde hoofdstelling van de rekenkunde. En daarvoor hebben we een aantal andere stellingen nodig, die we ook zullen bewijzen.<\/p>\n<h3><a id=\"ontbinden\"><\/a>Ontbinden van een getal<\/h3>\n<p>We beperken ons hierbij tot natuurlijke getallen, dat zijn dus positief gehele getallen.<\/p>\n<p>Hoe kunnen we 12 ontbinden? Dat wil zeggen: Kunnen we getallen vinden waarvan het product (de vermenigvuldiging) 12 oplevert.<\/p>\n<p>Ja, dat kunnen we zeker:<\/p>\n<p>12 = 2 x 6.<\/p>\n<p>Maar ook:<\/p>\n<p>12 = 3 x 4.<\/p>\n<p>We hebben dus 2 verschillende manieren gevonden om 12 te ontbinden.<\/p>\n<p>De vraag is echter: Zijn deze 2 producten echt verschillend?<\/p>\n<p>Kijken we naar 12 = 2 x 6, dan kan ik 6 ontbinden in 6 = 2 x 3 en dus 12 = 2 x 2 x 3.<\/p>\n<p>Kijken we naar 12 = 3 x 4, dan kan ik 4 ontbinden in 4 = 2 x 2 en dus 12 = 3 x 2 x 2.<\/p>\n<p>En behalve dat de volgorde van de factoren verschilt (2 x 2 x 3 tegenover 3 x 2 x 2) is de ontbinding hetzelfde.<\/p>\n<p>Ik kan de factoren 2 en 3 niet verder ontbinden, in ieder geval niet met natuurlijke getallen.<\/p>\n<p>De getallen 2 en 3 zijn zogenaamde priemgetallen.<\/p>\n<h3><a id=\"priemgetallen\"><\/a>Priemgetallen<\/h3>\n<p>Een priemgetal is dus een natuurlijk getal dat niet te ontbinden is, anders dan met de factoren 1 en zichzelf.<\/p>\n<p>De formele, wiskundige, definitie van een priemgetal is:<\/p>\n<p>Een priemgetal is een getal met precies twee (verschillende) delers; namelijk 1 en zichzelf.<\/p>\n<p>Het getal 1 is daarom geen priemgetal want het heeft slechts 1 deler.<\/p>\n<p>He kleinste priemgetal is dus 2 (2 x 1) en is tevens het enige even priemgetal. En dat is logisch want ieder even getal heeft ook 2 als deler en dus meer dan twee verschillende delers.<\/p>\n<p>De eerste priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, &#8230;<\/p>\n<p>Er zijn oneindig veel priemgetallen.<\/p>\n<h3><a id=\"rekenkunde\"><\/a>Rekenkunde<\/h3>\n<p>Rekenkunde is een deelgebied van de wiskunde dat zich bezig houdt met verschillende eigenschappen van (meestal gehele) getallen en de bewerkingen die op getallen los gelaten kunnen worden.<\/p>\n<p>Deze bewerkingen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, en machtsverheffen.<\/p>\n<p>Er wordt dan bijvoorbeeld gekeken naar deelbaarheid van getallen, het &#8220;open&#8221; of &#8220;gesloten&#8221; zijn van verzamelingen onder een bepaalde bewerking, de commutatieve en associatieve eigenschappen van bewerkingen etc.<\/p>\n<h5><a id=\"commutatief\"><\/a>Commutatief en associatief<\/h5>\n<p>Zo is optellen commutatief omdat: a + b = b + a, ofwel dat de volgorde waarin je getallen optelt niet uitmaakt voor de uitkomst.<\/p>\n<p>Vermenigvuldigen is ook commutatief.<\/p>\n<p>Maar aftrekken en delen zijn dat niet: a &#8211; b \u2260 b &#8211; 1 en a\/b\u00a0\u2260 b\/a.<\/p>\n<p>Optellen en vermenigvuldigen zijn ook associatief omdat: (a + b) + c = a + (b + c) en (a x b) x c = a x (b x c).<\/p>\n<p>Aftrekken en delen zijn niet associatief. Zo is bijvoorbeeld (4-2)-3 = -1 en 4-(2-3) = 5.<\/p>\n<h5><a id=\"open\"><\/a>Open en gesloten verzamelingen<\/h5>\n<p>Een verzameling heet gesloten voor een bepaalde bewerking als deze bewerking ook weer een element uit dezelfde verzameling oplevert, anders is de verzameling open voor deze bewerking.<\/p>\n<p>Voor alle bewerkingen geldt dat eindige verzamelingen altijd open zijn.<br \/>\nHet is dus alleen interessant om naar oneindige verzamelingen te kijken.<\/p>\n<p>De verzameling der natuurlijke getallen \u2115, is gesloten voor optellen en vermenigvuldigen.<br \/>\nDit betekent dat wanneer ik twee natuurlijke getallen bij elkaar optel of vermenigvuldig de uitkomst (som of product) ook weer in \u2115 zit.<\/p>\n<p>Met wiskundige symbolen ziet dat er zo uit:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\forall a,b \\in \\mathbb{N}: a\\times b \\in \\mathbb{N}<\/div>\n<p>Voor de aftrekken en delen is \u2115 open. Wanneer ik bijvoorbeeld 2-3)=-1) heb dan zit het verschil niet meer in \u2115.<br \/>\nHetzelfde geldt voor delen; zo zit 1\/2 ook niet in \u2115.<\/p>\n<p>Wanneer een verzameling open is voor een bepaalde bewerkging gaan wiskundigen op zoek naar uitbreiding van zo&#8217;n verzameling waarin de betreffende bewerking dan wel gesloten is.<\/p>\n<p>Zo is de verzameling der gehele getallen een uitbreiding op de verzameling natuurlijke getallen zodat aftrekken in deze nieuwe verzameling gesloten is. Deze verzameling bestaat uit alle natuurlijke getallen uitgebreid met de negatieve gehele getallen (en eventueel 0 wanneer deze niet wordt meegerekend in \u2115). Deze verzameling wordt \u2124 genoemd.<\/p>\n<p>Voor delen is \u2124 (en dus ook \u2115) open. Deze verzamelingen zijn uitgebreid naar de verzameling der rationale getalen. Dat zijn alle getallen a\/b waarbij a en b uit \u2124 komen. Deze verzameling heet \u211a.<\/p>\n<p>Er geldt dus: \u2115 \u2282 \u2124 \u2282 \u211a.<\/p>\n<h5><a id=\"hoogste\"><\/a>Hoogste en laagste getal<\/h5>\n<p>Binnen \u2115 (inclusief 0) wordt 0 als &#8220;hoogste&#8221; getal aangemerkt omdat er geen enkel getal deelbaar is door 0.<\/p>\n<p>En zo is 1 het &#8220;laagste&#8221; getal omdat ieder getal deelbaar is door 1.<\/p>\n<h5><a id=\"hoofdstelling\"><\/a>Hoofdstelling<\/h5>\n<p>De hoofdstelling van de rekenkunde luidt:<\/p>\n<p>Ieder natuurlijk getal groter dan 1 is op unieke wijze te ontbinden in priemfactoren.<\/p>\n<p>Dit geldt ook voor de gehele getallen getallen uitgezonderd -1, 0 en 1.<\/p>\n<p>Het bijzondere van deze stelling is het woordje &#8220;unieke&#8221;.<\/p>\n<h3><a id=\"bewijs\"><\/a>Het bewijs<\/h3>\n<p>Het bewijs van de hoofdstelling van de rekenkunde is een veel-traps-raket.<\/p>\n<p>Het bewijs zelf bestaat uit twee delen.<\/p>\n<p>In het bewijs maken we gebruik van het Lemma van Euclides, dat we ook zullen bewijzen.<\/p>\n<p>In het bewijs van het Lemma van Euclides maken we gebruik van het Lemma of Stelling van Bezout, dat we ook gaan bewijzen.<\/p>\n<p>In dat laatste bewijs maken we gebruik van het algoritme van Euclides dat we ook gaan bewijzen.<\/p>\n<p>We gaan dus zorgvuldig te werk en werken van onder naar boven.<\/p>\n<h5><a id=\"algoritme\"><\/a>Het algoritme van Euclides<\/h5>\n<p>Met het algoritme van Euclides kan op eenvoudige wijze de Grootste Gemene Deler (ggd) van twee getallen worden gevonden.<\/p>\n<p>Een gemene deler van twee getallen is een deler die beide getallen deelt.<\/p>\n<p>Zo is 2 een deler van 12 en 32, ofwel 2 is een gemene deler van 12 en 32.<\/p>\n<p>We gaan nu kijken naar de grootste van al die gemene delers.<\/p>\n<p>Wat is de grootste gemene deler van 12 en 32, ofwel wat is de ggd(12, 32)?<\/p>\n<p>De delers van 12 zijn: 1, 2, 3, <strong>4<\/strong>, 6 en 12.<br \/>\nDe delers van 32 zijn: 1, 2, <strong>4<\/strong>, 8, 16 en 32.<\/p>\n<p>De grootste is dus <strong>4<\/strong>.<br \/>\nDat betekent dat ggd(12, 32) = 4.<\/p>\n<p>Nu is dit voor kleine getallen goed te doen, maar voor grote getallen is dit veel lastiger.<\/p>\n<p>Wat is bijvoorbeeld de ggd(120, 36)?<\/p>\n<p>Gelukkig heeft Euclides ons een algoritme gegeven dat snel naar het antwoord leidt en dat gaat als volgt (met de getallen 120 en 36):<\/p>\n<p>Kijk hoe vaak 36 (geheel) in 120 past en bepaal de rest:<\/p>\n<p>120 = 3 x 36 + <strong>12<\/strong>.<\/p>\n<p>Kijk nu hoe vaak 12 in 36 past en bepaal de rest:<\/p>\n<p>36 = 3 x <strong>12<\/strong> + 0.<\/p>\n<p>Als de rest 0 is dan is de ggd de laatste rest die niet 0 is, dus <strong>12<\/strong>.<\/p>\n<p>Nog een voorbeeld:<\/p>\n<p>Wat is de ggd(336, 44)?<\/p>\n<p>336 = 7 x 44 + <strong>28<\/strong><br \/>\n44 = 1 x 28 + <strong>16<\/strong><br \/>\n28 = 1 x 16 + <strong>12<\/strong><br \/>\n16 = 1 x 12 + <strong>4<\/strong><br \/>\n12 = 3 x <strong>4<\/strong> + 0<\/p>\n<p>De ggd is dus <strong>4<\/strong>.<\/p>\n<p>We zullen dit algoritme nu bewijzen voor twee gehele getallen, dus twee getallen uit \u2124.<\/p>\n<p>Even wat notatie en uitleg vooraf: De absolute waarde van een (geheel) getal is de positieve variant van dat getal en wordt genoteerd tussen 2 verticale lijntjes. Dus |-2| = 2, maar ook |2| = 2.<\/p>\n<p>Als d een deler is van n dan is de notatie als volgt: d|n; de verticale streep tussen d en n betekent dus: &#8220;is deler van&#8221;.<\/p>\n<p>De wiskundige \u00e8n wordt weergegeven met \u2227 en betekent dat aan alle voorwaarden voldaan moet worden.<\/p>\n<p>Met het symbool \u2203 wordt bedoeld: &#8220;Er is&#8221; of &#8220;Er zijn&#8221; of &#8220;Er bestaat&#8221; of &#8220;Er bestaan&#8221;.<\/p>\n<p>Bewijs:<\/p>\n<p>Als m, n \u2208 \u2124, |m| &gt; |n| dan ggd(m, n) = ggd(n, r) met m = qn + r met q \u2208 \u2124 en 0 &lt; r &lt; |m|<\/p>\n<p>(In woorden: de ggd van m en n, m groter dan n, is gelijk aan de ggd van n en r waarbij m gelijk is aan q keer n plus een rest, waarbij de rest ligt tussen 0 en m; anders is q verkeerd gekozen)<\/p>\n<p>Te bewijzen: Als d|m \u2227 d|n \u21d4 d|n \u2227 d|r<\/p>\n<p>(In woorden: als d een deler is van m \u00e8n van n dan is d ook een deler van n \u00e8n van r en omgekeerd!)<\/p>\n<p>1) Eerst de weg van links naar rechts:<\/p>\n<p>a) Als d|n (linker kant), dan is (logisch) d|n (rechter kant); klaar.<br \/>\nb) Anders: m = qn + r (gegeven) \u2192 r = m &#8211; qn<br \/>\nOmdat d|m \u00e8n d|n geldt nu: m = z<sub>1<\/sub>d en n = z<sub>2<\/sub>d (z<sub>1<\/sub>, z<sub>2<\/sub> \u2208 \u2124).<br \/>\nNu geldt: r = m &#8211; qn = z<sub>1<\/sub>d &#8211; qz<sub>2<\/sub>d = d(z<sub>1 <\/sub>&#8211; qz<sub>2<\/sub>). Daar z<sub>1<\/sub>, z<sub>2<\/sub>, q \u2208 \u2124 en \u2124 gesloten is voor aftrekken en vermenigvuldigen geldt: z<sub>1 <\/sub>&#8211; qz<sub>2<\/sub> \u2208 \u2124, zeg k.<br \/>\nDus r = kd, dus d|r; klaar.<\/p>\n<p>2) De weg van rechts naar links<\/p>\n<p>a) Als d|n (rechter kant) dan is d|n (linker kant; klaar)<br \/>\nb) m = qn + r (gegeven), n = z<sub>2<\/sub>d, r = z<sub>3<\/sub>d (rechter kant)<br \/>\ndan m = qz<sub>2<\/sub>d + z<sub>3<\/sub>d = d(qz<sub>2 <\/sub>+ z<sub>3<\/sub>). Daar z<sub>2<\/sub>, z<sub>3<\/sub>, q \u2208 \u2124 en \u2124 gesloten is voor optellen en vermenigvuldigen is qz<sub>2 <\/sub>+ z<sub>3<\/sub> \u2208 \u2124, zeg k.<br \/>\nDus m=dk, dus d|m; klaar.<\/p>\n<p>En met 1a), 1b), 2a) en 2b) hebben we ons bewijs helemaal rond.<\/p>\n<h5><a id=\"ggd\"><\/a>Ggd met negatieve getallen<\/h5>\n<p>Het leuke van het algoritme van Euclides is dat je heel snel van negatieve getallen kunt afkomen. Het moge duidelijk zijn dat wanneer d \u2208 \u2124 en d&lt;0 en d|q met q \u2208 \u2124 dat |d| een grotere deler van q is dan d zelf.<br \/>\nMet het algoritme kunnen we er voor zorgen dat de resten altijd positief zijn.<\/p>\n<p>Voorbeeld: Wat is de ggd(-120, -36)?<\/p>\n<p>-120 = 4 x -36 + 24 (Je zou eerder 3 hebben gekozen, maar dan is de rest negatief en omdat we geen negatieve resten willen hebben nemen we er dus eentje meer)<br \/>\n-36 = -2 x 24 + 12 (En nu zijn we al van de negatieve getallen af)<br \/>\n24 = 2 x 12 + 0.<br \/>\nDe ggd(-120, -36) is dus 12.<\/p>\n<h5><a id=\"bezout\"><\/a>De Stelling van Bezout<\/h5>\n<p>De stelling van Bezout luidt als volgt:<\/p>\n<p>Als m, n \u2208 \u2124 en d = ggd(m, n) dan \u2203 z<sub>1<\/sub>, z<sub>2<\/sub> \u2208 \u2124: z<sub>1<\/sub>m + z<sub>2<\/sub>n = d.<\/p>\n<p>Ofwel de ggd(m, n) kun je schrijven als de som van m keer een geheel getal en n keer een geheel getal.<\/p>\n<p>En eigenlijk blijkt dat al uit het algoritme van Euclides.<\/p>\n<p>Voorbeeld: Wat is de ggd(36, 20)?<\/p>\n<p>a) 36 = 1 x 20 + 16<br \/>\nb) 20 = 1 x 16 + 4<br \/>\nc) 16 = 4 x 4 + 0<\/p>\n<p>De ggd is dus 4.<\/p>\n<p>Uit b) volgt dat ik 4 kan schrijven als 4 = 20 &#8211; 16. Uit a) volgt dat ik 16 kan schrijven als 16 = 36 &#8211; 20.<br \/>\nDus kan ik 4 schrijven als 4 = 20 &#8211; 16 = 20 &#8211; 36 &#8211; 20 = -(1x)36 + 2 x 20. (z<sub>1<\/sub> uit de stelling is dus -1 en z<sub>2<\/sub> is dus 2).<\/p>\n<p>Overigens is de oplossing hierboven \u00e9\u00e9n van oneindig veel oplossingen.<br \/>\nZo is 9 x 36 &#8211; 16 x 20 = 4 en -11 x 36 + 20 x 20 = 4.<\/p>\n<p>Alle oplossingen zitten in de verzameling:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\begin{Bmatrix}\\left ( z_{1}+\\frac{kn}{ggd(m,n)} \\right ), &amp; \\left ( z_{2}\\text{ - }\\frac{km}{ggd(m,n)} \\right )\\left.\\right|k \\in\\mathbb{Z}\\end{Bmatrix}<\/div>\n<p>Bewijs:<\/p>\n<p>In het bewijs gaan we het voorbeeld van hierboven abstraheren. Dat levert een hoop letters op maar die doen er uiteindelijk niet zo veel toe.<br \/>\nHet gaat erom dat we vanuit de ggd van twee getallen de ggd kunnen schrijven als de som van de twee getallen met een gehele co\u00ebffici\u00ebnt.<\/p>\n<p>1) m, n \u2208 \u2124. Als |m| = |n| dan d = ggd(m, n) = |m| = |n|. Neem nu z<sub>1 <\/sub>= 0 en z<sub>2 <\/sub>= 1 (of -1 als n&lt;0) en dan geldt: d = z<sub>1<\/sub>m + z<sub>2<\/sub>n; klaar.<br \/>\n2) m, n \u2208 \u2124. Als |m|&gt;|n|, dan m = q<sub>1<\/sub>n + r<sub>1<\/sub>.<br \/>\na) Als r<sub>1 <\/sub>= 0 dan m = q<sub>1<\/sub>n -&gt; d = |n|. Neem z<sub>1 <\/sub>= 0 en z<sub>2 <\/sub>= 1 (of -1 als n&lt;0) en dan geldt: d = z<sub>1<\/sub>m + z<sub>2<\/sub>n; klaar.<br \/>\nb) Als r<sub>1<\/sub>&gt;0 dan<br \/>\ni) m = q<sub>1<\/sub>n + r<sub>1<\/sub>, met 0&lt;r<sub>1<\/sub>&lt;|n|, dus ggd(m, n) = ggd(n, r<sub>1<\/sub>)<br \/>\nii) n = q<sub>2<\/sub>r<sub>1 <\/sub>+ r<sub>2<\/sub>, met 0&lt;r<sub>2<\/sub>&lt;|r<sub>1<\/sub>|, dus ggd(n, r<sub>1<\/sub>) = ggd(r<sub>1<\/sub>, r<sub>2<\/sub>)<br \/>\niii) r<sub>1 <\/sub>= q<sub>3<\/sub>r<sub>2 <\/sub>+ r<sub>3<\/sub>, met 0&lt;r<sub>3<\/sub>&lt;|r<sub>2<\/sub>|, dus ggd(r<sub>1<\/sub>, r<sub>2<\/sub>) = ggd(r<sub>2<\/sub>, r<sub>3<\/sub>)<br \/>\n.<br \/>\n.<br \/>\n.<br \/>\niv) r<sub>i-2 <\/sub>= q<sub>i<\/sub>r<sub>i-1<\/sub> + r<sub>i<\/sub> \u21d4 r<sub>i-2 <\/sub>= q<sub>i<\/sub>r<sub>i-1 <\/sub>+ d<br \/>\nWe moeten d uitdrukken in m en n, dus gaan we substitueren&#8230;<br \/>\nad i) m = q<sub>1<\/sub>n + r<sub>1<\/sub> \u2192 r<sub>1 <\/sub>= m &#8211; q<sub>1<\/sub>n<br \/>\nad ii) r<sub>2 <\/sub>= n &#8211; q<sub>2<\/sub>r<sub>1 <\/sub>= n &#8211; q<sub>2<\/sub>(m &#8211; q<sub>1<\/sub>n) = n &#8211; q<sub>2<\/sub>m + q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>n = -q<sub>2<\/sub>m + (1 + q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>)n<br \/>\nad ii) r<sub>3 <\/sub>= r<sub>1 <\/sub>&#8211; q<sub>3<\/sub>r<sub>2 <\/sub>= (m &#8211; q<sub>1<\/sub>n) &#8211; q<sub>3<\/sub>((1 + q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>)n &#8211; q<sub>2<\/sub>m) = &#8230; = (1 + q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>)m + (-q<sub>1 <\/sub>&#8211; q<sub>3 <\/sub>&#8211; q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>)n<br \/>\nDoor steeds weer terug te substitueren kunnen we de resten uitdrukken in termen van m en n. De co\u00ebffici\u00ebnten van m en n zijn steeds weer getallen uit\u00a0\u2124. Dit betekent dus dat:<br \/>\n.<br \/>\n.<br \/>\n.<br \/>\nad iv) d = r<sub>i-2 <\/sub>= q<sub>i<\/sub>r<sub>i-1<\/sub> \u2192 d = z<sub>1<\/sub>m + z<sub>2<\/sub>n.<\/p>\n<p>Uit al het bovenstaande blijkt dat de Stelling van Bezout waar is.<\/p>\n<p>Dat was een hele bevalling&#8230;<\/p>\n<h5><a id=\"lemma\"><\/a>Het Lemma van Euclides<\/h5>\n<p>Het Lemma van Euclides luidt als volgt:<\/p>\n<p>Als p|ab met a,b \u2208 \u2124 en p is priem dan p|a \u2228 p|b.<\/p>\n<p>Met andere woorden: Als het product van twee (gehele) getallen een priemgetal als deler heeft dan heeft of het ene getal of het andere getal of beide getallen dezelfde priem als deler.<\/p>\n<p>Het symbool \u2228 betekent of in de wiskundige betekenis, dus of de \u00e9\u00e9n of de ander \u00f2f allebei!<\/p>\n<p>Op de vraag: &#8220;Wilt u koffie of thee?&#8221; kan een wiskundige dus rustig &#8220;Ja&#8221; antwoorden&#8230;<\/p>\n<p>Bewijs:<\/p>\n<p>a) Als 2|a dan zijn we klaar.<br \/>\nb) Als 2\u2224a dan geldt: ggd(p, a) = 1.<br \/>\nOmdat p|ab geldt: ab = mp, met m \u2208 \u2124.<br \/>\nVolgens de stelling van Bezout geldt ook: \u2203 z<sub>1<\/sub>, z<sub>2<\/sub> \u2208 \u2124: z<sub>1<\/sub>p + z<sub>2<\/sub>a = 1.<br \/>\nAls we beide zijden met b vermenigvuldigen krijgen we:<br \/>\nz<sub>1<\/sub>pb + z<sub>2<\/sub>ab = b \u21d4 z<sub>1<\/sub>pb + z<sub>2<\/sub>mp = b \u21d4 b = (z<sub>1<\/sub>b + z<sub>2<\/sub>m)p.<br \/>\nOmdat z<sub>1<\/sub>, z<sub>2<\/sub>, b, m \u2208 \u2124 en omdat \u2124 gesloten is voor vermenigvuldigen en optellen is z<sub>1<\/sub>b + z<sub>2<\/sub>m \u2208 \u2124, zeg k.<br \/>\nDus b = kp en derhalve p|b.<\/p>\n<p>Uit a) en b) volgt hetgeen we bewijzen moesten.<\/p>\n<h5><a id=\"hoofdstellingrekenkunde\"><\/a>Hoofdstelling van de rekenkunde<\/h5>\n<p>De hoofdstelling van de rekenkunde luidt:<\/p>\n<p>Als x \u2208 \u2115, x \u2265 2, dan x is priem of x is samengesteld en kan op unieke wijze ontbonden worden als het product van priemfactoren, dus x = p<sub>1<\/sub> x p<sub>2<\/sub> x p<sub>3<\/sub> x &#8230; x p<sub>n<\/sub>.<\/p>\n<p>Bewijs:<\/p>\n<p>Het bewijs bestaat uit twee delen.<\/p>\n<p>In deel 1) bewijzen we door middel van volledige inductie dat ieder getal te ontbinden is in priemfactoren.<br \/>\nIn deel 2) bewijzen we dat deze priemontbinding uniek moet zijn.<\/p>\n<p>1) Inductie:<br \/>\na) Start met x=2. 2 is priem; klaar.<br \/>\nb) Stel 2 \u2264 x \u2264 k, k \u2208 \u2115 dan x is priem of x is te ontbinden in priemfactoren.<br \/>\nNu te bewijzen dat dit ook geldt voor k+1:<br \/>\nx=k+1<br \/>\ni) k+1 is priem; klaar.<br \/>\nii) k+1 is samengesteld, dan k+1 = ab met a, b \u2208 \u2115, 1 &lt;\u00a0a, b &lt; k+1. Maar nu geldt (volgens de inductie aanname) 2 \u2264 a \u2264 k, dus a is te ontbinden in priemfactoren.<br \/>\nHetzelfde geldt voor b.<br \/>\nUit i) en ii) volgt 1b). Uit 1a) en 1b) volgt dat ieder natuurlijk getal een priemgetal is of te ontbinden is in priemfactoren.<\/p>\n<p>2) Ieder natuurlijk getal heeft een unieke priemontbinding.<br \/>\nStel dat dit niet zo is, dus dat er een natuurlijk getal is (\u00e9\u00e9n of meerdere) dat twee verschillende priemontbindingen heeft, dan geldt:<br \/>\na) x=p<sub>1<\/sub>p<sub>2<\/sub>p<sub>3<\/sub>&#8230;p<sub>n<\/sub>=q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub> waarbij p<sub>i<\/sub>&lt;&gt;q<sub>i<\/sub> en n=m of n&lt;&gt;m.<br \/>\np<sub>1<\/sub>|x \u2192 p<sub>1<\/sub>|q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub>.<br \/>\nVolgens het Lemma van Euclides geldt: p<sub>1<\/sub>|ab met a=q<sub>1<\/sub> en b=q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub> dan p<sub>1<\/sub>|a=q<sub>1<\/sub> of p<sub>1<\/sub>|b=q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub>, dus p<sub>1<\/sub>=q<sub>1<\/sub> of p<sub>1<\/sub>|q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub>, maar dan geldt (Lemma van Euclides) p<sub>1<\/sub>|ab met a=q<sub>2<\/sub> en b=q<sub>3<\/sub>q<sub>4<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub>, dus p<sub>1<\/sub>=q<sub>2<\/sub> of p<sub>1<\/sub>|q<sub>3<\/sub>q<sub>4<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub>.<br \/>\nDit principe kan herhaald worden tot q<sub>m-1<\/sub>.q<sub>m<\/sub> waaruit blijkt dat p<sub>1<\/sub>=q<sub>m-1<\/sub> of q<sub>m<\/sub>.<br \/>\nIn ieder geval zit p<sub>1<\/sub> in q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub>!<br \/>\nMaar nu kunnen we dus beide zijden p<sub>1<\/sub>p<sub>2<\/sub>p<sub>3<\/sub>..p<sub>n<\/sub> en q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub> delen door p<sub>1<\/sub>.<br \/>\nDan houden we over p<sub>2<\/sub>p<sub>3<\/sub>p<sub>4<\/sub>&#8230;p<sub>n<\/sub> en q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub> met ergens een q<sub>i<\/sub>=p<sub>1<\/sub> minder.<br \/>\nMaar nu kunnen we met p<sub>2<\/sub> hetzelfde doen als in stap 2a).<br \/>\nUiteindelijk zullen uit beide zijden alle p<sub>i<\/sub>&#8217;s verdwijnen zodat we overhouden: 1=q<sub>o1<\/sub>q<sub>o2<\/sub>&#8230;q<sub>om<\/sub>. Maar omdat alle q<sub>oi<\/sub>&#8217;s priemgetallen zijn en alle priemgetallen \u2265 2 kan deze vergelijking helemaal niet bestaan!<br \/>\nDus moet gelden dat in p<sub>1<\/sub>p<sub>2<\/sub>p<sub>3<\/sub>..p<sub>n<\/sub>=q<sub>1<\/sub>q<sub>2<\/sub>q<sub>3<\/sub>&#8230;q<sub>m<\/sub> n=m en we hebben tevens aangetoond dat alle p<sub>i<\/sub>&#8217;s uitwisselbaar zijn met alle q<sub>j<\/sub>&#8217;s en dus moet de priemontbinding uniek zijn!<\/p>\n<p>Uit 1) en 2) volgt nu dat de Hoofdstelling van de Rekenkunde juist is.<\/p>\n<p>De uniciteit is een bijzonderheid.<\/p>\n<p>Er zijn genoeg andere oneindige verzamelingen te bedenken waarin dit niet zo is.<\/p>\n<p>Laten we eens kijken naar de verzameling \u2115<sub>3n+1<\/sub> = {1, 4, 7, 10, 13, 16, &#8230;} ofwel de verzameling van alle positieve 3vouden+1.<br \/>\nGa zelf na dat deze verzameling gesloten is voor vermenigvuldigen.<\/p>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29978c9ab\"  tabindex=\"0\" title=\"Bewijs\"    >Bewijs<\/span><div id=\"target-id69de29978c9ab\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>Laat p,q \u2208 \u2115<sub>3n+1<\/sub>. Dus p=3a+1 en q=3b+1 met a,b \u2208 \u2115.<br \/>\nDan geldt: pq = (3a + 1)(3b + 1)=9ab + 3a + 3b + 1 = 3(3ab + a + b) + 1, dus ab is een drievoud plus 1.<\/p>\n<\/div>\n<p>Het getal 100 \u2208 \u2115<sub>3n+1<\/sub> is te ontbinden in 100 = 10 x 10 = 4 x 25. De getallen 4, 10, 25, 100 \u2208 \u2115<sub>3n+1<\/sub> maar 4, 10 en 25 zijn priemgetallen in \u2115<sub>3n+1<\/sub>, dus is de ontbinding in priemfactoren <strong>niet<\/strong> uniek!<\/p>\n<p>Nog een voorbeeld.<\/p>\n<p>Laten we eens kijken naar de verzameling a + b\u221a6, met a, b \u2208 \u2124. Dit is een uitbreiding van \u2124.<br \/>\nAlle gehele getallen zitten erin; dan is b = 0.<\/p>\n<p>Ook deze verzameling is gesloten voor vermenigvuldigen.<\/p>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29978c9d9\"  tabindex=\"0\" title=\"Bewijs\"    >Bewijs<\/span><div id=\"target-id69de29978c9d9\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>Zeg x = p + q\u221a6 en y = r + s\u221a6, dan xy = (p + q\u221a6)(r + s\u221a6) = pr + ps\u221a6 + qr\u221a6 + 6qs = (pr + 6qs) + (ps + qr)\u221a6. Omdat alle letters uit \u2124 komen kan ik zeggen dat a = pr + 6qs en b = ps + qr en aldus is xy = a + b\u221a6.<\/p>\n<\/div>\n<p>Kijken we nu eens naar de ontbinding van 6 dan krijgen we:<\/p>\n<p>6 = 2 x 3 = \u221a6 x \u221a6.<\/p>\n<p>Maar we zijn er nog niet, want 2 en 3 zijn in deze verzameling geen priemgetallen, want ik kan ze ontbinden:<\/p>\n<p>2 = (\u221a6 + 2)(\u221a6 &#8211; 2) en 3 = (3 + \u221a6)(3 &#8211; \u221a6)<\/p>\n<p>Dus 6 = \u221a6 x \u221a6 = (\u221a6 + 2)(\u221a6 &#8211; 2)(3 + \u221a6)(3 &#8211; \u221a6).<\/p>\n<p>Maar nu ook 6 = (12 + 5\u221a6)(5\u221a6 &#8211; 12).<\/p>\n<p>Er zijn dus veel verschillende ontbindingen van 6 in dit systeem.<\/p>\n<p>Merk op dat we de definitie van priem, impliciet, een beetje hebben aangepast: Een priem in dit systeem is een getal dat niet gefactoriseerd kan worden in dit systeem.<br \/>\nEn dit geldt voor \u221a6, (\u221a6 + 2), (\u221a6 &#8211; 2), (3 + \u221a6) en (3 &#8211; \u221a6).<\/p>\n<h3><a id=\"slot\"><\/a>Tot slot<\/h3>\n<p>We hebben veel werk moeten verzetten om de Hoofdstelling van de Rekenkunde te kunnen bewijzen.<br \/>\nMaar eigenlijk hebben we te veel gedaan.<\/p>\n<p>Merk op dat we alle lemma&#8217;s, het algoritme en stellingen voor de hoofdstelling hebben bewezen in \u2124, terwijl we ons hadden kunnen beperken tot \u2115, omdat daar de Hoofdstelling over gaat.<\/p>\n<h3><a id=\"bronnen\"><\/a>Bronnen<\/h3>\n<p>Voornamelijk de video&#8217;s op YouTube van Elliot Nicholson (wat saai maar zeer informatief), te beginnen met: <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=oYuJXAKlQaA&amp;list=PLAvgI3H-gclY1BRV_CPX4XQEzzggFzzih&amp;index=1&amp;ab_channel=ElliotNicholson\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=oYuJXAKlQaA&amp;list=PLAvgI3H-gclY1BRV_CPX4XQEzzggFzzih&amp;index=1&amp;ab_channel=ElliotNicholson<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Inleiding Voordat u aan dit artikel begint is het raadzaam om eerst het artikel over bewijzen te lezen. In dit artikel gaan we kijken naar een eigenschap van gehele getallen die de meesten wel zullen kennen en voor de hand vinden liggen. Dat laatste is echte verre van waar; het ligt helemaal niet voor de [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2061,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-1504","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Hoofdstelling van de rekenkunde - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Hoofdstelling van de rekenkunde - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Inleiding Voordat u aan dit artikel begint is het raadzaam om eerst het artikel over bewijzen te lezen. In dit artikel gaan we kijken naar een eigenschap van gehele getallen die de meesten wel zullen kennen en voor de hand vinden liggen. Dat laatste is echte verre van waar; het ligt helemaal niet voor de [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-03-26T09:55:57+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"19 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\\\/\",\"name\":\"Hoofdstelling van de rekenkunde - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"datePublished\":\"2022-08-22T09:32:02+00:00\",\"dateModified\":\"2024-03-26T09:55:57+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\\\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Artikel 00-0F\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":5,\"name\":\"Hoofdstelling van de rekenkunde\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Hoofdstelling van de rekenkunde - Wiskunst","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Hoofdstelling van de rekenkunde - Wiskunst","og_description":"Inleiding Voordat u aan dit artikel begint is het raadzaam om eerst het artikel over bewijzen te lezen. In dit artikel gaan we kijken naar een eigenschap van gehele getallen die de meesten wel zullen kennen en voor de hand vinden liggen. Dat laatste is echte verre van waar; het ligt helemaal niet voor de [&hellip;]","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2024-03-26T09:55:57+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"19 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/","name":"Hoofdstelling van de rekenkunde - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"datePublished":"2022-08-22T09:32:02+00:00","dateModified":"2024-03-26T09:55:57+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/hoofdstelling-van-de-rekenkunde\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Artikel 00-0F","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/"},{"@type":"ListItem","position":5,"name":"Hoofdstelling van de rekenkunde"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1504","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1504"}],"version-history":[{"count":31,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1504\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1948,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1504\/revisions\/1948"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2061"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1504"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}