{"id":1539,"date":"2022-08-30T08:41:44","date_gmt":"2022-08-30T07:41:44","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.nl\/?page_id=1539"},"modified":"2024-08-06T13:17:21","modified_gmt":"2024-08-06T12:17:21","slug":"varia","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/","title":{"rendered":"Varia"},"content":{"rendered":"<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69dedb01d13c8\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69dedb01d13c8\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#palindroom\">6-cijferige palindroom priemen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#priemen\">Priemen, 6 en 24<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#oneindig\">Is \u221e een getal?<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#product\">Product van priemtweelingen en 8<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#cijfersommen\">Cijfer-sommen en quoti\u00ebnten<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#npiramide\">\u2115-piramide<\/a><\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p>Op deze pagina vindt u onderwerpen die te klein zijn om een eigen pagina te rechtvaardigen maar toch interessant genoeg om er enige aandacht aan te besteden.<\/p>\n<h3><a id=\"palindroom\"><\/a>Waarom bestaan er geen 6-cijferige palindroom priemgetallen?<\/h3>\n<p>Deze vraag kwam ik op Quora tegen. Interessant&#8230;<\/p>\n<p>Allereerst: Een palindroom getal is een getal dat van links naar rechts hetzelfde is als van rechts naar links. Voorbeelden: Alle 1-cijferige getallen, 22, 66, 838, 9119, 12321, 246642, etc.<\/p>\n<p>Een 6-cijferig getal bestaat dus uit 6 cijfers in de volgende vorm: abcdef en heeft een waarde van a x 100.000 + b x 10.000 + c x 1.000 + d x 100 + e x 10 + f.<\/p>\n<p>Maar een 6-cijferig palindroom getal heeft de vorm: abccba met als waarde: a x 100.000 + b x 10.000 + c x 1.000 + c x 100 + b x 10 + a en dat kan ik schrijven als 100.001a + 10.010b + 1100c en dat kan ik schrijven als 11(9091a + 910b + 100c). Dus een palindroom getal van zes cijfers is altijd deelbaar door 11. En dus heeft een 6-cijferig palindroom getal meer dan 2 (echte) delers en kan derhalve niet priem zijn.<\/p>\n<p>Weet u nog wat het kenmerk van deelbaarheid is voor 11? Welnu: Tel de cijfers op de even plaatsen bij elkaar op; doe hetzelfde voor de cijfers op de oneven plaatsen. Neem nu het (absolute) verschil tussen beide sommen. Als dit verschil deelbaar is door 11 dan is het gehele getal deelbaar door 11.<br \/>\nVoorbeelden:<br \/>\n<strong>1<\/strong>2<strong>1<\/strong> -&gt; <strong>1<\/strong>+<strong>1<\/strong>=2 en 2 -&gt; 2-2=0 is deelbaar door 11 dus 121 ook;<br \/>\n<strong>3<\/strong>9<strong>5<\/strong>7 -&gt; <strong>3<\/strong>+<strong>5<\/strong>=8 en 9+7=16 -&gt; 16-8=8 is niet deelbaar door 11 dus 3957 ook niet;<br \/>\n<strong>1<\/strong>3<strong>5<\/strong>8<strong>0<\/strong>1<strong>6<\/strong> -&gt; <strong>1<\/strong>+<strong>5<\/strong>+<strong>0<\/strong>+<strong>6<\/strong>=12 en 3+8+1=12 -&gt; 12-12=0 is deelbaar door 11 dus 1358016 ook.<\/p>\n<p>Bij een 6-cijferig getal hebben we dus de vorm <strong>a<\/strong>b<strong>c<\/strong>c<strong>b<\/strong>a. Laten we eens kijken wat het kenmerk van deelbaarheid door 11 oplevert:<br \/>\n(<strong>a<\/strong>+<strong>c<\/strong>+<strong>b<\/strong>)-(b+c+a)=(<strong>a<\/strong>+<strong>c<\/strong>+<strong>b<\/strong>)-(a+c+b)=0 is deelbaar door 11 dus abccba ook.<\/p>\n<p>Maar dit geldt voor elk even-cijferig palindroom getal! De som van de cijfers op de even plaatsen minus de som van de cijfers op de oneven plaatsen is altijd 0, dus deelbaar door 11 en kan dus nooit een priemgetal zijn.<\/p>\n<p>Voor palindroomgetallen met een oneven aantal cijfers geldt dit niet en onder deze palindromen zijn genoeg priemgetallen te vinden:<br \/>\n353, 787, 34543, 76667, 3946493, 7987897, 106222601, 399686993, &#8230;<\/p>\n<p>Onder de 3-cijferige palindroom getallen zijn er 15 priem;<br \/>\nonder de 5-cijferige palindroom getallen zijn er 93 priem;<br \/>\nonder de 7-cijferige palindroom getallen zijn er 668 priem en<br \/>\nonder de 9-cijferige palindroom getallen zijn er 5172 priem.<br \/>\nVerder is mijn Python programma niet gekomen&#8230;<\/p>\n<p>Overigens geldt voor iedere mogelijke palindroom priem dat deze moet beginnen met een 1, 3, 7 of 9, daar het eerste cijfer en het laatste cijfer van een palindroom getal hetzelfde is. Daarom vallen 2, 4, 6 en 8 als begincijfer af omdat het getal dan deelbaar is door 2 en dus zeker geen priem getal is en hetzelfde geldt voor het cijfer 5 omdat dan het getal deelbaar is door 5 en dus ook niet priem is.<\/p>\n<h3><a id=\"priemen\"><\/a>Priemen, 6 en 24<\/h3>\n<p>Wat hebben de getallen 6 en 24 met priemen te maken?<\/p>\n<p>We bekijken in deze paragraaf naar priemgetallen groter dan 3, maar gelukkig zijn dat er (ook) oneindig veel.<\/p>\n<p>Welnu: Voor of na een priemgetal staat altijd een 6-voud, ofwel een getal dat deelbaar is door 6.<\/p>\n<p>Voorbeelden: 7 wordt voorafgegaan door 6 (is een 6-voud), 23 wordt gevolgd door 24 (is een 6-voud), &#8230;<\/p>\n<p>Om dit aan te tonen kijken we naar de getallenlijn:<\/p>\n<p>&#8230; , p &#8211; 1, p, p + 1, &#8230;, waarbij p een priemgetal is.<\/p>\n<p>Het getal p is zeker niet deelbaar door 2. Dit betekent dat zowel p &#8211; 1 als p + 1 een even getal is. E\u00e9n van de drie getallen p &#8211; 1, p of p + 1 moet een 3-voud zijn, want de 3-vouden komen op de getallenlijn natuurlijk ergens in een groepje van 3 voor. Onze p kan geen 3-voud zijn, dus moet p &#8211; 1 of p + 1 een 3-voud zijn, maar omdat p &#8211; 1 en p + 1 ook even getallen zijn moet dus p &#8211; 1 of p + 1 een 6-voud zijn (2 x 3).<\/p>\n<p>Maar nu 24. Ieder kwadraat van een priemgetal is een veelvoud van 24 plus 1, ofwel: p<sup>2<\/sup> = 24n + 1.<\/p>\n<p>Goed, we weten dat p te schrijven is als 6k + 1 of 6k &#8211; 1 (zie hierboven) met k \u2208 \u2115.<br \/>\nAls k een even getal is, zeg 2m (met m \u2208 \u2115) dan krijgen we voor p<sup>2<\/sup>:<\/p>\n<p>p<sup>2<\/sup> = (6k + 1)<sup>2<\/sup> = (12m + 1)<sup>2<\/sup> = 144m<sup>2<\/sup> + 24m + 1 = 24(6m<sup>2<\/sup> + m) + 1 of<br \/>\np<sup>2<\/sup> = (6k &#8211; 1)<sup>2<\/sup> = (12m &#8211; 1)<sup>2<\/sup> = 144m<sup>2<\/sup> &#8211; 24m + 1 = 24(6m<sup>2<\/sup> &#8211; m) + 1<\/p>\n<p>Als k een oneven getal is, zeg 2m + 1 (met m \u2208 \u2115) dan krijgen we voor p<sup>2<\/sup>:<\/p>\n<p>p<sup>2<\/sup> = (6k + 1)<sup>2<\/sup> = (12m + 7)<sup>2<\/sup> = 144m<sup>2<\/sup> + 168m + 49 = 24(6m<sup>2<\/sup> + 7m + 2) + 1 of<br \/>\np<sup>2<\/sup> = (6k &#8211; 1)<sup>2<\/sup> = (12m + 5)<sup>2<\/sup> =\u00a0 144m<sup>2<\/sup> + 120m + 25 = 24(6m<sup>2<\/sup> + 5m + 1) + 1<\/p>\n<p>In alle vier de gevallen krijgen we een 24-voud + 1.<\/p>\n<p>Maar we kunnen er ook op een andere manier naar kijken: p<sup>2<\/sup> is dus kennelijk een &#8220;vast&#8221; getal plus 1. Om dat &#8220;vaste&#8221; getal te bepalen kunnen we ook kijken naar p<sup>2<\/sup> &#8211; 1.<\/p>\n<p>Op de middelbare school hebben we geleerd dat p<sup>2<\/sup> &#8211; 1 een zogenaamd merkwaardig product is en ontbonden kan worden in (p &#8211; 1)(p + 1).<\/p>\n<p>We weten ook dat het product van 2 oneven getallen een oneven getal is, nietwaar?<\/p>\n<p>Dus het kwadraat van een priemgetal (&gt;3) is dus een oneven getal. Dit betekent dat p &#8211; 1 en p + 1 even getallen moeten zijn. Sterker nog: p &#8211; 1 of p + 1 moet zelfs een 4-voud zijn! Tevens moet p &#8211; 1 of p + 1 een 3-voud zijn (zie ook de redenatie hierboven, bij 6).<br \/>\nKortom: (p &#8211; 1)(p + 1) is een product van een 2-voud, een 3-voud en een 4-voud en derhalve dus een veelvoud van 2 x 3 x 4 = 24. En het kwadraat van p is dus een 24-voud + 1.<\/p>\n<h5>Anticlimax<\/h5>\n<p>De 6-eigenschap en de 24-eigenschap zijn <strong>niet<\/strong> exclusief voor priemgetallen.<\/p>\n<p>Dat blijkt uit de uitwerkingen hierboven. In die uitwerkingen kwamen we erachter dat de factoren 2 en 3 (en 4) cruciaal waren voor de eigenschappen.<br \/>\nDit betekent dat we de 6-eigenschap en de 24-eigenschap hebben aangetoond voor <strong>alle<\/strong> getallen die <strong>niet<\/strong> de factoren 2 en 3 hebben!<\/p>\n<p>Voorbeelden: 35 wordt gevolgd door 36 (een 6-voud) en 35<sup>2<\/sup> = 1225 kan ik schrijven als 24 x 51 + 1, en 35 is geen priemgetal!<br \/>\n143 wordt gevolgd door 144 (een 6-voud) en 143<sup>2<\/sup> = 20449 kan ik schrijven als 24 x 852 + 1, en 143 is geen priemgetal!<\/p>\n<h3><a id=\"oneindig\"><\/a>Is \u221e een getal?<\/h3>\n<p>Laten we eens kijken naar drie bekende gevallen, maar nu met \u221e (oneindig) in plaats van een gewoon getal.<\/p>\n<h5>Wat is 1<sup>\u221e<\/sup>?<\/h5>\n<p>We weten dat 1<sup>x <\/sup>= 1, want 1 \u00d7 1 \u00d7 &#8230; \u00d7 1 blijft natuurlijk gewoon 1.<\/p>\n<p>Laten we nu eens kijken naar de volgende limiet:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\lim_{x\\rightarrow \\infty}(1+\\frac{1}{x^{2}})^{x}=1<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69dedb01d1461\"  tabindex=\"0\" title=\"duiding\"    >duiding<\/span><div id=\"target-id69dedb01d1461\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>1\/x<sup>2<\/sup> gaat sneller naar 0 dan de exponent x naar oneindig, dus hou je iets van de vorm 1<sup>x<\/sup> over.<\/p>\n<\/div>\n<p>Deze limiet gaat inderdaad naar 1; dus nog niets aan de hand.<\/p>\n<p>Maar nu de volgende, beroemde, limiet (van Euler):<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\lim_{x\\rightarrow \\infty}(1+\\frac{1}{x})^{x}=e<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69dedb01d1493\"  tabindex=\"0\" title=\"duiding\"    >duiding<\/span><div id=\"target-id69dedb01d1493\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>Hier gaan 1\/x en de exponent x in dezelfde &#8220;mate&#8221; naar oneindig.<\/p>\n<\/div>\n<p>Deze limiet gaan niet naar 1, maar gaat naar e (\u2248 2,718282&#8230;).<\/p>\n<p>Dus voor 1<sup>\u221e<\/sup> hebben we nu 2 verschillende antwoorden. Dit betekent dan dat 1<sup>\u221e<\/sup> wiskundig <strong>niet<\/strong> gedefinieerd is.<\/p>\n<h5>Wat is \u221e<sup>0<\/sup>?<\/h5>\n<p>We weten dat x<sup>0<\/sup> = 1 voor elke x (ongelijk aan 0). Maar kunnen we voor x \u221e invullen?<\/p>\n<p>Wederom gaan we kijken naar 2 limieten:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\lim_{x\\rightarrow \\infty}(1+x)^{\\frac{1}{x}}=1<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69dedb01d14bb\"  tabindex=\"0\" title=\"duiding\"    >duiding<\/span><div id=\"target-id69dedb01d14bb\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>Hier gaat (1+x) (eigenlijk alleen de x) in dezelfde &#8220;mate&#8221; naar oneindig als 1\/x naar 0.<\/p>\n<\/div>\n<p>Dit gaat dus nog goed.<\/p>\n<p>Maar nu deze limiet:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\lim_{x\\rightarrow \\infty}(1+x!)^{\\frac{1}{x}} \\rightarrow \\infty<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69dedb01d14e0\"  tabindex=\"0\" title=\"duiding\"    >duiding<\/span><div id=\"target-id69dedb01d14e0\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>x! gaat veel sneller naar oneindig dan 1\/x naar 0 gaat.<\/p>\n<\/div>\n<p>En wederom hebben we twee verschillende uitkomsten!<\/p>\n<p>Dus ook \u221e<sup>0<\/sup> is wiskundig <strong>niet<\/strong> gedefinieerd.<\/p>\n<h5>Wat is 0 \u00d7 \u221e?<\/h5>\n<p>We weten dat 0 \u00d7 x = 0, want ieder getal dat je vermenigvuldigt met 0 is 0.<\/p>\n<p>En ook hier gaan we naar twee limieten kijken:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\lim_{x\\rightarrow \\infty}(\\frac{1}{1+x^{2}})x=0<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69dedb01d1502\"  tabindex=\"0\" title=\"duiding\"    >duiding<\/span><div id=\"target-id69dedb01d1502\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>1\/(1+x<sup>2<\/sup>) gaat sneller naar 0 dan x naar oneindig.<\/p>\n<\/div>\n<p>Dus niets aan de hand.<\/p>\n<p>Maar nu:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\lim_{x\\rightarrow \\infty}\\frac{1}{x}(1+x^{2})\\rightarrow \\infty<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69dedb01d1521\"  tabindex=\"0\" title=\"duiding\"    >duiding<\/span><div id=\"target-id69dedb01d1521\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>(1+x<sup>2<\/sup>) gaat veel sneller naar oneindig dan 1\/x naar nul gaat.<\/p>\n<\/div>\n<p>Dus ook hier geldt dat 0 \u00d7 \u221e wiskundig <strong>niet<\/strong> gedefinieerd is.<\/p>\n<h5>Conclusie<\/h5>\n<p>Bovenstaande voorbeelden laten zien dat \u221e geen gewoon getal is waarmee we kunnen rekenen.<\/p>\n<p>Wees dus altijd zeer voorzichtig met het &#8220;begrip&#8221; \u221e !!!<\/p>\n<h3><a id=\"product\"><\/a>Product van priemtweelingen en 8<\/h3>\n<p>We beginnen met twee definities:<\/p>\n<ol>\n<li>Onder de &#8220;digitale som&#8221; van een getal verstaan we de som der cijfers;<\/li>\n<li>Onder de &#8220;digitale wortel&#8221; van een getal verstaan we de herhaling van de digitale som totdat een getal van 1 cijfer is overgebleven.<\/li>\n<\/ol>\n<p>Als voorbeeld kijken we naar het getal 12345. De digitale som is niets anders dan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Om de digitale wortel van 12345 te krijgen moeten we nu de digitale som van 15 bepalen en dat is 1 + 5 = 6.<br \/>\nDus de digitale wortel van 12345 is 6.<\/p>\n<p>Welnu:<\/p>\n<h5>De digitale wortel van het product van een priemtweeling is altijd 8 <span style=\"font-size: 12pt;\">(mits de priemgetallen groter dan 3 zijn)<\/span>.<\/h5>\n<p>Onder een priemtweeling wordt verstaan: Twee opeenvolgende priemgetallen met onderling verschil van 2 (zie ook <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/onopgeloste-problemen\/#priemtweelingen\">Priemtweelingen<\/a>).<br \/>\nBijvoorbeeld: 5 en 7, 11 en 13, 17 en 19, 29 en 31 etc.<\/p>\n<p>Laten we eens kijken naar 29 en 31. Het product is: 29 \u00d7 31 = 899 (natuurlijk gemakkelijk uit te rekenen door het merkwaardige product (a + 1)(a &#8211; 1)=a<sup>2 <\/sup>&#8211; 1).<br \/>\nDe digitale wortel van 899 is 8 + 9 + 9 = 26 \u2192 2 + 6 = 8, dus 8.<\/p>\n<p>Nog een voorbeeld: 101 en 103: 101 \u00d7 103 = 10403; de digitale wortel van 10403 is 1 + 0 + 4 + 0 + 3 = 8.<\/p>\n<p>Maar waarom is dat nu zo?<\/p>\n<p>Allereerst moeten we opmerken dat het bepalen van de digitale wortel van een getal niets anders is dan rekenen modulo 9 (zie ook <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/stelling-van-wilson\/#klokrekenen\">Klokrekenen<\/a>).<\/p>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69dedb01d153e\"  tabindex=\"0\" title=\"Uitleg\"    >Uitleg<\/span><div id=\"target-id69dedb01d153e\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>Laten we kijken naar het getal 12345. De digitale wortel is 6.<br \/>\nWat betekent 12345?<br \/>\nNiets anders dan 1 \u00d7 10000 + 2 \u00d7 1000 + 3 \u00d7 100 + 4 \u00d7 10 + 5 \u00d7 1 ofwel 1 \u00d7 10<sup>4<\/sup> + 2 \u00d7 10<sup>3<\/sup> + 3 \u00d7 10<sup>2<\/sup> + 4 \u00d7 10<sup>1<\/sup> + 5 \u00d7 10<sup>0<\/sup>. Dat kunnen we ook anders schrijven als 1 \u00d7 (9 + 1)<sup>4<\/sup> + 2 \u00d7 (9 + 1)<sup>3<\/sup> + 3 \u00d7 (9 + 1)<sup>2<\/sup> + 4 \u00d7 (9 + 1)<sup>1<\/sup> + 5 \u00d7 (9 + 1)<sup>0<\/sup>.<br \/>\nEn dat laatste kunnen we nu uitsplitsen in: [1 \u00d7 9<sup>4<\/sup> + 2 \u00d7 9<sup>3<\/sup> + 3 \u00d7 9<sup>2<\/sup> + 4 \u00d7 9<sup>1<\/sup> + 5 \u00d7 9<sup>0<\/sup>] + 1 \u00d7 1<sup>4<\/sup> + 2 \u00d7 1<sup>3<\/sup> + 3 \u00d7 1<sup>2<\/sup> + 4 \u00d7 1<sup>1<\/sup> + 5 \u00d7 1<sup>0<\/sup>.<br \/>\nEn als we dit modulo 9 bekijken dan is het stuk tussen de blokhaken congruent met 0 modulo 9 en blijft over 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u2261 6 (mod 9).<\/p>\n<p>En nu algemeen:<\/p>\n<p>Neem een willekeurig getal a<sub>n<\/sub>a<sub>n-1<\/sub>a<sub>n-2<\/sub>&#8230;a<sub>2<\/sub>a<sub>1<\/sub>, waarbij a een cijfer is dan is de waarde van dat getal: a<sub>1<\/sub>.10<sup>0<\/sup> + a<sub>2<\/sub>.10<sup>1<\/sup> + a<sub>3<\/sub>.10<sup>2<\/sup> + &#8230; + a<sub>n<\/sub>.10<sup>n-1<\/sup> en kan ik schrijven als a<sub>1<\/sub>.(9 + 1)<sup>0<\/sup> + a<sub>2<\/sub>.(9 + 1)<sup>1<\/sup> + a<sub>3<\/sub>.(9 + 1)<sup>2<\/sup> + &#8230; + a<sub>n<\/sub>.(9 + 1)<sup>n-1<\/sup> = [a<sub>1<\/sub>.9<sup>0<\/sup> + a<sub>2<\/sub>.9<sup>1<\/sup> + a<sub>3<\/sub>.9<sup>2<\/sup> + &#8230; + a<sub>n<\/sub>.9<sup>n-1<\/sup>] + a<sub>1<\/sub> + a<sub>2<\/sub> + a<sub>3<\/sub> + &#8230; + a<sub>n<\/sub> \u2261 0 + a<sub>1<\/sub> + a<sub>2<\/sub> + a<sub>3<\/sub> + &#8230; + a<sub>n<\/sub> (mod 9).<\/div>\n<p>Kijken we bijvoorbeeld naar 1234 dan is 1234 \u2261 1 (mod 9) en 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \u2192 1 + 0 = 1 de digitale wortel en deze zijn gelijk.<\/p>\n<p>Welnu: Kijken we naar de getallenlijn bij een priemtweeling dan ziet deze er als volgt uit:<\/p>\n<p>&#8230; <em>n &#8211; 1<\/em>, <em>n<\/em>, <em>n + 1<\/em> &#8230;, waarbij <em>n &#8211; 1<\/em> en <em>n + 1<\/em> de priemtweeling is en derhalve <em>n &#8211; 1<\/em> en <em>n + 1<\/em> priem zijn.<br \/>\nMaar dat betekent dat <em>n<\/em> zelf een 3-voud is, want de drievouden komen elke 3 getallen voor op de getallenlijn.<\/p>\n<p>Laten we zeggen dat n = 3k (k \u2208 \u2115), maar dan is (n &#8211; 1)(n + 1)=(3k &#8211; 1)(3k + 1)=9k<sup>2<\/sup> &#8211; 1.<br \/>\nHet lijkt mij evident dan 9k<sup>2<\/sup> \u2261 0 (mod 9) en dus 9k<sup>2<\/sup> &#8211; 1 \u2261 -1 (mod 9) maar -1 \u2261 8 (mod 9).<br \/>\nEn daarom is de digitale wortel van het product van een priemtweeling altijd 8.<\/p>\n<h3><a id=\"cijfersommen\"><\/a>Cijfer-sommen en quoti\u00ebnten<\/h3>\n<p>Kijk eens naar de volgende som:<\/p>\n<p>1 + 1 + 1 = 3, voeg nu de drie 1-en samen en deel deze door 3 (de som): 111 \u00f7 3 = 37.<\/p>\n<p>Laten we dit ook eens doen met het cijfer 9:<\/p>\n<p>9 + 9 + 9 = 27; 999 \u00f7 27 = 37.<\/p>\n<p>Het lijkt erop dat wanneer je drie dezelfde cijfers neemt en je bepaalt daarvan de som en je &#8220;plakt&#8221; de drie cijfers aan elkaar en deelt dit dan door de som er 37 uitkomt. Is dit ook zo?<\/p>\n<p>Ja.<\/p>\n<p>We moeten dus het volgende bepalen:<\/p>\n<p>Als a\u2208{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan is aaa \u00f7 (a + a + a) = 37.<\/p>\n<p>Bewijs: aaa betekent 100a + 10a + a. Delen we dit door de som (a + a + a) dan krijgen we:<\/p>\n<p>(100a + 10a + a) \u00f7 (3a) = 100a\u00f73a + 10a\u00f73a + 3\u00f73a = [de a&#8217;s in de teller vallen weg met de a&#8217;s in de noemer] 100\u00f73 + 10\u00f73 + 1\u00f73 = (100 + 10 + 1)\u00f73 = 111\u00f73 = 37.<\/p>\n<p>Geinig, niet waar?<\/p>\n<p>Maar iets dergelijks gaat ook op voor iedere lengte van een getal met dezelfde cijfers.<\/p>\n<p>Laten we eens kijken naar een 5-cijferig getal met dezelfde cijfers.<\/p>\n<p>Bijvoorbeeld: vijf 4-en, dan krijgen we 44444\u00f7(4 + 4 + 4 + 4 + 4) = 44444\u00f720 = 2222,2.<\/p>\n<p>Het bewijs gaat analoog aan het voorgaande bewijs, dus:<\/p>\n<p>Als Als a\u2208{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan is aaaaa \u00f7 (a + a + a + a + a) = 2222,2.<\/p>\n<p>Bewijs: aaaaa betekent: 10000a + 1000a + 100a + 10a + a. Delen we dit door de som dan krijgen we:<\/p>\n<p>(10000a + 1000a + 100a + 10a + a) \u00f7 (5a) = 10000\u00f75a + 1000a\u00f75a + 100a\u00f75a + 10\u00f75a + a\u00f75a = 10000\u00f75 + 1000\u00f75 + 100\u00f75 + 10\u00f75 + 1\u00f75 = 11111\u00f75 = 2222,2<\/p>\n<p>Bovenstaande bewijs methoden gaan op voor getallen met dezelfde cijfers van iedere lengte.<\/p>\n<h3><a id=\"npiramide\"><\/a>\u2115-piramide<\/h3>\n<p>De verzameling \u2115 bestaat uit de natuurlijke getallen; dat zijn alle positieve gehele getallen dus de verzameling {1, 2, 3, 4, &#8230;}.<\/p>\n<p>Er zijn vele eigenschappen te vertellen over deze natuurlijke getallen en deze paragraaf laat een opmerkelijke eigenschap zien, namelijk de zogenaamde \u2115-piramide:<\/p>\n<table style=\"width: auto; border-style: none;\">\n<tbody>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"14\"><span style=\"font-size: 10pt;\">n<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><span style=\"font-size: 10pt;\">som<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\" width=\"32\"><span style=\"font-size: 10pt;\">som<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">1<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">3<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>1<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>2<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>=<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>3<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">3<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">2<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">15<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>4<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>5<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>6<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>=<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>7<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>8<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">15<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">3<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">42<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>9<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>10<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>11<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>12<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>=<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>13<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>14<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>15<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">42<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">4<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">90<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>16<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>17<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>18<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>19<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>20<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>=<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>21<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>22<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>23<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>24<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">90<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<tr style=\"height: 40px;\">\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">5<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">165<\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>25<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>26<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>27<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>28<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>29<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>30<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>=<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>31<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>32<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>33<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>34<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>+<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\"><strong>35<\/strong><\/span><\/td>\n<td style=\"height: 40px; border-style: none; width: auto; text-align: center;\"><span style=\"font-size: 10pt;\">165<\/span><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Op rij 1 zien we aan de linker zijde de eerste twee getallen; 1 en 2. De som van 1 en 2 is 3 en deze zien we op rij 1 aan de rechter zijde.<br \/>\nOp rij 2 beginnen we dan met 4 en zetten daarachter de twee opeenvolgende getallen, 5 en 6 neer. De som van 4, 5 en 6 is 15 en dat is dezelfde som als 7 + 8, die netjes na 4, 5 en 6 komen.<br \/>\nIn de volgende rijen zetten we deze methode voort.<\/p>\n<p>De vraag is nu of dit altijd goed blijft gaan.<br \/>\nDat gaan we uitzoeken.<\/p>\n<p>Merk op dat het eerste getal aan de linker kant van rij <em>n n<sup>2<\/sup><\/em> is. Het laatste getal aan de linker kant van rij <em>n<\/em> is <em>n<sup>2<\/sup>+n<\/em>.<\/p>\n<p>Het eerste getal aan de rechter kant van rij <em>n<\/em> is <em>n<sup>2<\/sup>+n+1<\/em> en het laatste getal aan de rechter kant van rij <em>n<\/em> is <em>n<sup>2<\/sup>+2n<\/em>.<\/p>\n<p>De rijen (zowel aan de linker kant als aan de rechter kant) zijn zogenaamde rekenkundige rijen.<br \/>\nEen rekenkundige rij is een rij getallen waarbij een volgend getal dezelfde constante wordt opgeteld.<\/p>\n<p>Om de som van een rekenkundige rij te bepalen kun je gebruik maken van de volgende formule:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">S(n)=\\frac{n(t_{e}+t_{l})}{2}<\/div>\n<p><em><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69dedb01d157a\"  tabindex=\"0\" title=\"Bewijs\"    >Bewijs<\/span><div id=\"target-id69dedb01d157a\" class=\"collapseomatic_content \"><\/em><\/p>\n<p>Het algemene formaat van een rekenkundige rij met <em>t<\/em> termen ziet er als volgt uit:<\/p>\n<p><em><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">t<sub>e<\/sub>, (t<sub>e<\/sub>+v), (t<sub>e<\/sub>+2v), &#8230; (t<sub>l<\/sub>-2v), (t<sub>l<\/sub>-v), t<sub>l<\/sub><\/span><\/em><\/p>\n<p>waarbij <em>t<sub>e<\/sub><\/em> de eerste term is, <em>t<sub>l<\/sub><\/em> de laatste term is en <em>v<\/em> de vaste waarde die bij elke term wordt opgeteld.<\/p>\n<p>De som van die rij wordt dan:<\/p>\n<p><em><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">S<sub>n <\/sub>= t<sub>e +<\/sub> (t<sub>e<\/sub>+v) + (t<sub>e<\/sub>+2v) + &#8230; + (t<sub>l<\/sub>-2v) + (t<sub>l<\/sub>-v) + t<sub>l<\/sub><\/span><\/em><\/p>\n<p>Nu gaan we de som van <em>2Sn<\/em> bepalen door beide rijen onder elkaar te zetten en iedere term bij elkaar op te tellen. Daarbij draaien we de tweede rij om (dat mag vanwege de commutatieve eigenschap van optellen, ofwel <em>(a+b) = (b+a)<\/em>).<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 12pt;\"><em><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace;\">S<sub>n\u00a0 <\/sub>=\u00a0 \u00a0t<sub>e\u00a0 \u00a0 \u00a0<\/sub>+ (t<sub>e<\/sub>+v)\u00a0 + (t<sub>e<\/sub>+2v) + &#8230; + (t<sub>l<\/sub>-2v) + (t<sub>l<\/sub>-v) +\u00a0 \u00a0t<sub>l<\/sub><br \/>\nS<sub>n\u00a0 <\/sub>=\u00a0 \u00a0t<sub>l\u00a0 \u00a0 \u00a0<\/sub>+ (t<\/span><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace;\"><sub>l<\/sub>-v)\u00a0 + (t<sub>l<\/sub>-2v) + &#8230; + (t<sub>e<\/sub>+2v) + (t<sub>e<\/sub>+v) +\u00a0 \u00a0t<sub>e<\/sub><br \/>\n\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014+<br \/>\n2S<sub>n<\/sub> = (t<sub>e<\/sub>+t<sub>l<\/sub>) + (t<sub>e<\/sub>+t<sub>l<\/sub>) + (t<sub>e<\/sub>+t<sub>l<\/sub>) + &#8230; + (t<sub>e<\/sub>+t<sub>l<\/sub>) + (t<sub>e<\/sub>+t<sub>l<\/sub>) + (t<sub>e<\/sub>+t<sub>l<\/sub>)<\/span><\/em><\/span><\/p>\n<p>Bij de optellingen van de termen vallen de <em>v<\/em>&#8217;s weg.<\/p>\n<p>Aan de rechter zijde hebben we dus <em>n<\/em> termen <em>(t<sub>e<\/sub>+t<sub>l<\/sub>)<\/em>.<\/p>\n<p>We houden dus over:<\/p>\n<p><em>2S<sub>n <\/sub>= n(t<sub>e<\/sub>+t<sub>l<\/sub>)<\/em> en dat geeft dus de gezochte formule:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">S(n)=\\frac{n(t_{e}+t_{l})}{2}<\/div>\n<\/div>\n<p>We zullen zo zien dat we deze formule voor de linker zijde iets moeten aanpassen. Verder moeten we weten wat <em>t<sub>e<\/sub><\/em> en <em>t<sub>l<\/sub><\/em> voor beide zijden is (de <em>e<\/em> staat voor eerste element en de <em>l<\/em> voor laatste element).<\/p>\n<p>Voor de linker kant van rij <em>n<\/em> is <strong>t<sub>e<\/sub>=n<sup>2<\/sup><\/strong> en <strong>t<sub>l<\/sub>=n<sup>2<\/sup>+n<\/strong> en<br \/>\nvoor de rechter kant van rij <em>n<\/em> is <strong>t<sub>e<\/sub>=n<sup>2<\/sup>+n+1<\/strong> en <strong>t<sub>l<\/sub>=n<sup>2<\/sup>+2n<\/strong>, zoals we hierboven al hadden gezien.<\/p>\n<p>De formule voor de linker kant van de rij moeten we iets aanpassen. Deze wordt:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">S(n)=\\frac{(n+1)(t_{e}+t_{l})}{2}<\/div>\n<p>Dit is gemakkelijk na te gaan (probeer maar).<\/p>\n<p>Omdat de som van de linker kant van rij <em>n<\/em> gelijk moet zijn aan de som van de rechter kant van rij <em>n<\/em> moet dus gelden:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{(n+1)(t_{e}+t_{l})}{2}=\\frac{n(t_{e}+t_{l})}{2}<\/div>\n<p>En omdat de noemers aan beide kanten gelijk zijn (namelijk <em>2<\/em>) moeten dus de tellers aan beide kanten gelijk zijn.<\/p>\n<p>Dit beteken dat:<\/p>\n<p><em>(n+1)(n<sup>2<\/sup> + n<sup>2<\/sup>+n) = n(n<sup>2<\/sup>+n+1 + n<sup>2<\/sup>+2n)<\/em><\/p>\n<p>Eerst de linker kant uitwerken:<\/p>\n<p><em>(n+1)(n<sup>2<\/sup> + n<sup>2<\/sup>+n) = (n+1)(2n<sup>2<\/sup>+n) = 2n<sup>3<\/sup>+n<sup>2<\/sup>+2n<sup>2<\/sup>+n = <strong>2n<sup>3<\/sup>+3n<sup>2<\/sup>+n<\/strong><\/em> (<strong>I<\/strong>).<\/p>\n<p>Nu de rechter kant uitwerken:<\/p>\n<p><em>n(n<sup>2<\/sup>+n+1+n<sup>2<\/sup>+2n) = n(2n<sup>2<\/sup>+3n+1) = <strong>2n<sup>3<\/sup>+3n<sup>2<\/sup>+n<\/strong><\/em> (<strong>II<\/strong>).<\/p>\n<p>En daar <strong>I<\/strong> en <strong>II<\/strong> gelijk zijn zal de \u2115-piramide voor elke rij <em>n<\/em> aan de linker zijde dezelfde som hebben als aan de rechter zijde.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Inleiding Op deze pagina vindt u onderwerpen die te klein zijn om een eigen pagina te rechtvaardigen maar toch interessant genoeg om er enige aandacht aan te besteden. Waarom bestaan er geen 6-cijferige palindroom priemgetallen? Deze vraag kwam ik op Quora tegen. Interessant&#8230; Allereerst: Een palindroom getal is een getal dat van links naar rechts [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1711,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-1539","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Varia - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Varia - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Inleiding Op deze pagina vindt u onderwerpen die te klein zijn om een eigen pagina te rechtvaardigen maar toch interessant genoeg om er enige aandacht aan te besteden. Waarom bestaan er geen 6-cijferige palindroom priemgetallen? Deze vraag kwam ik op Quora tegen. Interessant&#8230; Allereerst: Een palindroom getal is een getal dat van links naar rechts [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-08-06T12:17:21+00:00\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"17 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/varia\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/varia\\\/\",\"name\":\"Varia - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"datePublished\":\"2022-08-30T07:41:44+00:00\",\"dateModified\":\"2024-08-06T12:17:21+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/varia\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/varia\\\/\"]}]},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/varia\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Varia\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Varia - Wiskunst","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Varia - Wiskunst","og_description":"Inleiding Op deze pagina vindt u onderwerpen die te klein zijn om een eigen pagina te rechtvaardigen maar toch interessant genoeg om er enige aandacht aan te besteden. Waarom bestaan er geen 6-cijferige palindroom priemgetallen? Deze vraag kwam ik op Quora tegen. Interessant&#8230; Allereerst: Een palindroom getal is een getal dat van links naar rechts [&hellip;]","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2024-08-06T12:17:21+00:00","twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"17 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/","name":"Varia - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"datePublished":"2022-08-30T07:41:44+00:00","dateModified":"2024-08-06T12:17:21+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/"]}]},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/varia\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Varia"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1539","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=1539"}],"version-history":[{"count":53,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1539\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2167,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1539\/revisions\/2167"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1711"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=1539"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}