{"id":2072,"date":"2024-03-26T11:11:50","date_gmt":"2024-03-26T10:11:50","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.nl\/?page_id=2072"},"modified":"2024-05-01T10:23:47","modified_gmt":"2024-05-01T09:23:47","slug":"pi-thagoras","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/","title":{"rendered":"Pi Thagoras"},"content":{"rendered":"<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69e320d6c66ce\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69e320d6c66ce\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#basisbegrippen\">Basisbegrippen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#stelling1\">Stelling 1<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#stelling2\">Stelling 2<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#stelling3\">Stelling 3<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#gevolg\">Gevolg<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#bron\">Bron<\/a> <\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p>Op YouTube kwam ik, na getipt te zijn, het volgende filmpje tegen: <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uumSD_sf2Ig&amp;ab_channel=AndyMath\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">3-4-5 Triangles and Pi<\/a>.<\/p>\n<p>Het gaat over de oppervlakte van de ingeschreven cirkel in een Pythagorese 3-4-5-driehoek. Het verrassende antwoord blijkt pi (\u03c0) te zijn. En hoewel de maker (Andy Math) een keurige uitleg geeft gaat hij wel vlug over alle stappen heen.<\/p>\n<p>In dit artikel zal ik de stappen wat uitgebreider behandelen waarna ik ook een veralgemenisering van dit fenomeen geef. Dus niet alleen voor 3-4-5 driehoeken maar voor alle Pythagorese driehoeken. En ook dit levert weer een verrassend resultaat op.<\/p>\n<p>Maar voor we in de diepte stappen eerst wat basisbegrippen; dit zijn begrippen waarvan ik geen bewijs zal leveren.<\/p>\n<h3><a id=\"basisbegrippen\"><\/a>Basisbegrippen<\/h3>\n<p>Hieronder som ik wat basisbegrippen op die u vast al weet.<\/p>\n<p><em>Natuurlijk getal<\/em>: Een positief geheel getal (als het uitkomt mag 0 ook meedoen).<\/p>\n<p><em>Cirkel<\/em>: Op een cirkel liggen alle punten met dezelfde afstand tot 1 punt; dat punt wordt middelpunt genoemd.<br \/>\nDe oppervlakte van een cirkel is \u03c0.r<sup>2<\/sup>, waarbij r de straal (afstand van middelpunt tot een punt op de cirkel) is en \u03c0\u22483.14159265&#8230; is.<\/p>\n<p><em>Vierhoek<\/em>: Een aaneengesloten figuur met 4 rechte lijnen waarvan de hoeken bij elkaar opgeteld 360\u00ba bedragen.<\/p>\n<p><em>Driehoek<\/em>: Een aaneengesloten figuur van 3 rechte lijnen waarvan de hoeken bij elkaar 180\u00ba bedragen.<\/p>\n<p><em>Rechthoekige driehoek<\/em>: Een driehoek waarvan 1 van de hoeken precies 90\u00ba bedraagt. De schuine zijde wordt hypotenusa genoemd, de 2 andere zijden worden de rechthoekszijden genoemd. De som van de rechthoekszijden is groter dan de hypotenusa.<\/p>\n<p><em>Pythagorese driehoek<\/em>: Een rechthoekige driehoek waarvan de zijden allemaal natuurlijke getallen zijn.<\/p>\n<p><em>Gelijkbenige driehoek<\/em>: Een driehoek met 2 even grote zijden. De basishoeken zijn dan gelijk.<\/p>\n<p><em>Ingeschreven cirkel<\/em>: Een cirkel in een veelhoek die alle zijden van de veelhoek raakt. Verder geldt dat de lijn vanuit het middelpunt naar een raakpunt (de straal dus) loodrecht staat op de raaklijn aan dat raakpunt.<\/p>\n<h3><a id=\"stelling1\"><\/a>Stelling 1<\/h3>\n<p>Stelling: De 2 raaklijnen aan een cirkel vanuit een punt buiten de cirkel hebben dezelfde lengte.<\/p>\n<p>Bekijk het onderstaande plaatje:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2077\" aria-describedby=\"caption-attachment-2077\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2077 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011-300x252.png\" alt=\"figuur 1: cirkel met 2 raaklijnen vanuit punt buiten cirkel\" width=\"300\" height=\"252\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011-300x252.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011-768x644.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011.png 943w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2077\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 1<\/figcaption><\/figure>\n<p>Hier is een cirkel <em>c<\/em> met middelpunt <em>M<\/em>. Verder een punt <em>A<\/em> dat buiten de cirkel ligt. Vanuit <em>A<\/em> zijn twee raaklijnen, <em>f<\/em> en <em>g<\/em>, naar de cirkel getekend. Raaklijn <em>f<\/em> raakt de cirkel in raakpunt <em>D<\/em> en raaklijn <em>g<\/em> raakt de cirkel in raakpunt <em>C<\/em>.<\/p>\n<p>Bewijs:<\/p>\n<p>We moeten bewijzen dat de lengte van punt A tot punt D gelijk is aan de lengte van punt A tot punt C. In de wiskunde schrijven we dit wat korter.<br \/>\nDe lengte van een lijnstuk van punt X naar punt Y noteren we als: |XY|.<\/p>\n<p>We moeten dus bewijzen dat |AC| = |AD|.<\/p>\n<p>Vanuit M trekken we 2 lijnen naar respectievelijk C en D:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2080\" aria-describedby=\"caption-attachment-2080\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_022.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2080 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_022-300x273.png\" alt=\"figuur 2: figuur 1 + twee stralen naar raaklijnen\" width=\"300\" height=\"273\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_022-300x273.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_022-768x700.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_022.png 942w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2080\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 2<\/figcaption><\/figure>\n<p>De lijnen |MC| en |MD| zijn natuurlijk de straal van de cirkel. Deze stralen staan loodrecht op f en g:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2081\" aria-describedby=\"caption-attachment-2081\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_033.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2081 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_033-300x252.png\" alt=\"figuur 3: figuur 2 + rechthoeks aanduidingen\" width=\"300\" height=\"252\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_033-300x252.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_033-1024x859.png 1024w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_033-768x644.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_033.png 1037w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2081\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 3<\/figcaption><\/figure>\n<p>We kunnen nu dus concluderen dat |MC| = |MD| en dat \u2220ACM = \u2220ADM = 90\u00ba (\u2220 betekent hoek).<\/p>\n<p>Trekken we vervolgens de het lijnstuk |CD|:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2082\" aria-describedby=\"caption-attachment-2082\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_044.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2082 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_044-300x273.png\" alt=\"figuur 4: figuur 3 + lijn tussen raakpunten levert gelijkbenige driehoek op\" width=\"300\" height=\"273\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_044-300x273.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_044-768x699.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_044.png 953w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2082\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 4<\/figcaption><\/figure>\n<p>Dan kunnen we de conclusie trekken dat \u0394CDM een gelijkbenige driehoek is, want |MC| = |MD.<\/p>\n<p>Laten we nu eens naar de basishoeken van \u0394CDM kijken:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2083\" aria-describedby=\"caption-attachment-2083\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_055.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2083 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_055-300x264.png\" alt=\"figuur 5: figuur 4 + basishoeken gelijkbenige driehoek\" width=\"300\" height=\"264\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_055-300x264.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_055-768x676.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_055.png 914w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2083\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 5<\/figcaption><\/figure>\n<p>Hier geldt dus dat \u2220DCM = \u2220CDM ( de roze stippeltjes).<\/p>\n<p>Kijken we nu naar de &#8220;overblijvende&#8221; hoeken (blauwe stippeltjes):<\/p>\n<figure id=\"attachment_2084\" aria-describedby=\"caption-attachment-2084\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_066.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2084 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_066-300x231.png\" alt=\"figuur 6: figuur 5 + overige delen van rechte hoeken; deze zijn gelijk, dus ook een gelijkbenige driehoek\" width=\"300\" height=\"231\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_066-300x231.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_066-1024x790.png 1024w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_066-768x592.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_066.png 1028w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2084\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 6<\/figcaption><\/figure>\n<p>Dan geldt dat:<br \/>\n\u2220ACD = 90\u00ba &#8211; \u2220DCM = 90\u00ba &#8211; \u2220CDM, en<br \/>\n\u2220ADC = 90\u00ba &#8211; \u2220CDM = 90\u00ba &#8211; \u2220DCM.<\/p>\n<p>Dus \u2220ACD = \u2220ADC (de blauwe stippeltjes).<\/p>\n<p>Maar dan geldt dat \u0394ACD gelijkbenig is en dat betekent dat |AC| = |AD|.<\/p>\n<p>q.e.d.<\/p>\n<h3><a id=\"stelling2\"><\/a>Stelling 2<\/h3>\n<p>Stelling: De oppervlakte van de ingeschreven cirkel in de Pythagorese 3-4-5-driehoek is \u03c0.<\/p>\n<p>Bekijk het onderstaande plaatje:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2086\" aria-describedby=\"caption-attachment-2086\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_022.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2086 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_022-300x231.png\" alt=\"figuur 1: 3-4-5 driehoek met ingeschreven cirkel\" width=\"300\" height=\"231\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_022-300x231.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_022-768x590.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_022.png 911w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2086\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 1<\/figcaption><\/figure>\n<p>Hier zien we de situatie zoals in de stelling staat beschreven:<\/p>\n<p>We hebben de \u0394ABC met |AB| = 3, |BC| = 4 en |AC| = 5. Verder de ingeschreven cirkel met middelpunt M.<br \/>\nVerder zijn de lijnstukken |AB|, |BC| en |AC| de raaklijnen aan cirkel met respectievelijk de raakpunten E, F en G.<\/p>\n<p>We trekken nu de lijnstukken |ME| en |MF|:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2087\" aria-describedby=\"caption-attachment-2087\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_033.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2087 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_033-300x226.png\" alt=\"figuur 2: figuur 1 met twee stralen naar raakpunten rechthoekszijden\" width=\"300\" height=\"226\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_033-300x226.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_033-768x578.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_033.png 928w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2087\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 2<\/figcaption><\/figure>\n<p>De lijnstukken |ME| en |MF| zijn de stralen van de cirkel en noemen we r.<\/p>\n<p>Omdat de straal van een ingeschreven cirkel loodrecht staat op de raaklijn naar het raakpunt geldt:<\/p>\n<p>\u2220BEM = 90\u00ba en \u2220BFM = 90\u00ba.<\/p>\n<p>Omdat \u0394ABC een rechthoekige driehoek is geldt ook:<\/p>\n<p>\u2220ABC = 90\u00ba:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2088\" aria-describedby=\"caption-attachment-2088\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_044.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2088 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_044-300x227.png\" alt=\"figuur 3: figuur 2 + rechte hoeken van stralen en rechte hoek tussen de 3- en de 4-zijde\" width=\"300\" height=\"227\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_044-300x227.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_044-768x581.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_044.png 926w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2088\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 3<\/figcaption><\/figure>\n<p>Maar omdat alle hoeken van een vierhoek bij elkaar opgeteld 360\u00ba bedragen is \u2220EMF = 360\u00ba &#8211; \u2220BEM &#8211; \u2220BFM &#8211; \u2220ABC = 360\u00ba &#8211; 90\u00ba = 90\u00ba &#8211; 90\u00ba = 360\u00ba &#8211; 270\u00ba = 90\u00ba.<\/p>\n<p>Vierhoek BFME is dus een vierkant. En van een vierkant zijn alle zijden even groot, dus: |BF| = |FM| = |ME| = |BE| = r:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2089\" aria-describedby=\"caption-attachment-2089\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_055.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2089 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_055-300x230.png\" alt=\"figuur 4: figuur 3 + vierkant tussen middelpunt en rechte hoek tussen 3- en 4-zijde\" width=\"300\" height=\"230\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_055-300x230.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_055-768x590.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_055.png 914w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2089\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 4<\/figcaption><\/figure>\n<p>Maar dit betekent nu dat |AB| = 3 = r + |EA| en dus |EA| = 3 &#8211; r.<\/p>\n<p>Hetzelfde geldt voor |BC| = 4 = r + |FC| en dus |FC| = 4 &#8211; r:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2090\" aria-describedby=\"caption-attachment-2090\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_066.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2090 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_066-300x235.png\" alt=\"figuur 5: figuur 4 + onderverdeling van rechthoeks zijden in straal en overige delen\" width=\"300\" height=\"235\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_066-300x235.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_066-768x601.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_066.png 920w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2090\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 5<\/figcaption><\/figure>\n<p>Maar uit <a href=\"#stelling1\">Stelling 1<\/a> volgt nu dat |AE| = |AG| = 3-r en<\/p>\n<p>|CF| =|CG| = 4-r:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2091\" aria-describedby=\"caption-attachment-2091\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_077.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2091 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_077-300x226.png\" alt=\"figuur 6: figuur 5 + verdeling van hypotenusa in twee delen met straal erin\" width=\"300\" height=\"226\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_077-300x226.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_077-768x579.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_077.png 941w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2091\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 6<\/figcaption><\/figure>\n<p>En met al deze gegevens kunnen we nu r gaan uitrekenen:<\/p>\n<p>3-r + 4-r = 5\u00a0 \u2192\u00a0 7 &#8211; 2r = 5\u00a0 \u2192\u00a0 -2r = -2\u00a0 \u2192\u00a0 r=1.<\/p>\n<p>De straal is dus 1 en dan is de oppervlakte van de cirkel dus: \u03c0.r<sup>2<\/sup> = \u03c0.1<sup>2<\/sup> = \u03c0.<\/p>\n<p>q.e.d.<\/p>\n<h3><a id=\"stelling3\"><\/a>Stelling 3<\/h3>\n<p>Stelling: De oppervlakte van een ingeschreven cirkel in een Pythagorese driehoek is een natuurlijk veelvoud van \u03c0.<\/p>\n<p>Bekijk eerst weer onderstaande figuur:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2095\" aria-describedby=\"caption-attachment-2095\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_abc11.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2095 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_abc11-300x235.png\" alt=\"figuur 1: als figuur 6 van de vorige paragraaf maar nu met zijden a, b en c in plaats van 3, 4 en 5\" width=\"300\" height=\"235\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_abc11-300x235.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_abc11-768x601.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/PiThagoras_abc11.png 914w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2095\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 1<\/figcaption><\/figure>\n<p>Hierin zijn de 3, 4 en 5 vervangen door respectievelijk a, b en c.<\/p>\n<p>Het bewijs verloopt geheel analoog aan het bewijs van Stelling 2, alleen de laatste berekening wordt nu:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">a\\text{ - }r+b\\text{ - }r=c\\rightarrow \\text{ - }2r=c\\text{ - }b\\text{ - }a\\rightarrow r=\\frac{c\\text{ - }b\\text{ - }a}{\\text{ - }2}<\/div>\n<p>En omdat in een Pythagorese driehoek de zijden allemaal natuurlijke getallen zijn is c-b-a een negatief geheel getal, daar de som van de rechthoekszijden (a+b) groter is dan de hypotenusa(c).<\/p>\n<p>Verder geldt dat of a of b oneven is en de andere even is en c ook oneven is (zie <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/pythagorese-drietallen#aoneven\">Pythagorese drietallen<\/a>). Dit betekent dat het verschil tussen een even getal en een oneven getal ook oneven is en het verschil tussen een oneven getal en een oneven getal weer even is.<br \/>\nDit betekent dat c-b-a is &#8220;oneven&#8221;-(&#8220;oneven&#8221;-&#8220;even&#8221;)=&#8221;oneven&#8221;-&#8220;oneven&#8221;=&#8221;even&#8221;.<\/p>\n<p>Dus is c-b-a deelbaar door 2 en dus ook door -2. En omdat c-b-a kleiner dan 0 is, is (c-b-a)\\-2 een positief geheel getal.<\/p>\n<p>En dit betekent dat de oppervlakte van de cirkel een natuurlijk veelvoud van \u03c0 is.<\/p>\n<p>q.e.d.<\/p>\n<p>Opmerking: Dat &#8220;natuurlijke veelvoud&#8221; is ook een geheel kwadraat. Dat is logisch want dat komt voort uit de formule van de oppervlakte van een cirkel met straal r: \u03c0r<sup>2<\/sup>.<\/p>\n<h3><a id=\"gevolg\"><\/a>Gevolg<\/h3>\n<p>Uit de berekening van het bewijs van stelling 3 hebben we nu ook een formule voor de oppervlakte van een ingeschreven cirkel in een Pythagorese driehoek, namelijk:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">oppervlakte=\\pi \\times \\left ( \\frac{c\\text{ - }b\\text{ - }a}{\\text{ - }2} \\right )^{2}<\/div>\n<p>Dus de oppervlakte van een 5-12-13 Pythagorese driehoek is ((13-12-5))<sup>2<\/sup>\/-2\u00d7\u03c0\u00a0 =\u00a0 (-4\/-2)<sup>2<\/sup>\u00d7\u03c0 = (-2)<sup>2<\/sup>\u00d7\u03c0 = 4\u03c0.<\/p>\n<h3><a id=\"bron\"><\/a>Bron<\/h3>\n<p>YouTube: <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=uumSD_sf2Ig&amp;ab_channel=AndyMath\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">3-4-5 Triangles and Pi<\/a><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Inleiding Op YouTube kwam ik, na getipt te zijn, het volgende filmpje tegen: 3-4-5 Triangles and Pi. Het gaat over de oppervlakte van de ingeschreven cirkel in een Pythagorese 3-4-5-driehoek. Het verrassende antwoord blijkt pi (\u03c0) te zijn. En hoewel de maker (Andy Math) een keurige uitleg geeft gaat hij wel vlug over alle stappen [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2065,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-2072","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.4 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Pi Thagoras - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"description\" content=\"Hoe groot is de oppervlakte van een ingeschreven cirkel in een Pythagorese driehoek?\" \/>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Pi Thagoras - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Hoe groot is de oppervlakte van een ingeschreven cirkel in een Pythagorese driehoek?\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-05-01T09:23:47+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011-300x252.png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"9 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/pi-thagoras\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/pi-thagoras\\\/\",\"name\":\"Pi Thagoras - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/pi-thagoras\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/pi-thagoras\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/03\\\/cirkel-snijlijnen_011-300x252.png\",\"datePublished\":\"2024-03-26T10:11:50+00:00\",\"dateModified\":\"2024-05-01T09:23:47+00:00\",\"description\":\"Hoe groot is de oppervlakte van een ingeschreven cirkel in een Pythagorese driehoek?\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/pi-thagoras\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/pi-thagoras\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/pi-thagoras\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/03\\\/cirkel-snijlijnen_011.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2024\\\/03\\\/cirkel-snijlijnen_011.png\",\"width\":943,\"height\":791},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/pi-thagoras\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Artikel 10-1F\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":5,\"name\":\"Pi Thagoras\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Pi Thagoras - Wiskunst","description":"Hoe groot is de oppervlakte van een ingeschreven cirkel in een Pythagorese driehoek?","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Pi Thagoras - Wiskunst","og_description":"Hoe groot is de oppervlakte van een ingeschreven cirkel in een Pythagorese driehoek?","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2024-05-01T09:23:47+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011-300x252.png","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"9 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/","name":"Pi Thagoras - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011-300x252.png","datePublished":"2024-03-26T10:11:50+00:00","dateModified":"2024-05-01T09:23:47+00:00","description":"Hoe groot is de oppervlakte van een ingeschreven cirkel in een Pythagorese driehoek?","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/#primaryimage","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011.png","contentUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2024\/03\/cirkel-snijlijnen_011.png","width":943,"height":791},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/pi-thagoras\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Artikel 10-1F","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/"},{"@type":"ListItem","position":5,"name":"Pi Thagoras"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2072","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2072"}],"version-history":[{"count":30,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2072\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2075,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2072\/revisions\/2075"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2065"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2072"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}