{"id":2475,"date":"2026-01-22T11:16:26","date_gmt":"2026-01-22T10:16:26","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.nl\/?page_id=2475"},"modified":"2026-03-30T15:37:37","modified_gmt":"2026-03-30T14:37:37","slug":"formule-van-heron","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/","title":{"rendered":"Formule van Heron"},"content":{"rendered":"<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de5dbcad149\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69de5dbcad149\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#goniometrie\">Goniometrie<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#cosinusregel\">De cosinusregel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#heron\">De formule van Heron<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#methode\">De methode van Heron<\/a> <\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p>Met de formule van Heron kun je de oppervlakte van een willekeurige driehoek bepalen.<br \/>\nDe formule die je waarschijnlijk op school hebt geleerd luidt: De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de halve basis keer de hoogte. In formulevorm: A(\u0394abc)=\u00bdbasis\u00d7hoogte. Maar het is vaak moeilijk om de hoogte op een basis te bepalen. Met de formule van Heron heb je hier geen last van.<\/p>\n<p>De formule van Heron ziet er als volgt uit:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\\\ \\small \\text{, met s = }\\frac{1}{2}(a+b+c)<\/div>\n<p>a is de zijde tegenover hoek A, b de zijde tegenover hoek B en c is de zijde tegenover hoek C:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2476\" aria-describedby=\"caption-attachment-2476\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2476 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek-300x166.png\" alt=\"Figuur 1: Willekeurige driehoek ABC\" width=\"300\" height=\"166\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek-300x166.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek-768x424.png 768w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek.png 915w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2476\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 1: Willekeurige driehoek ABC<\/figcaption><\/figure>\n<p>In dit artikel gaan we deze stelling op een &#8220;moderne&#8221; manier bewijzen, namelijk met de cosinusregel, die we eerst zullen bewijzen\/afleiden.<\/p>\n<p>Op het internet zijn diverse sites met hetzelfde bewijs, maar die zijn zeer bondig in de zin dat er veel stappen als vanzelfsprekend worden verondersteld.<\/p>\n<p>In dit artikel probeer ik geen enkele stap over te slaan.<\/p>\n<h3><a id=\"goniometrie\"><\/a>Goniometrie<\/h3>\n<p>Omdat we het gaan hebben over de cosinusregel gaan we in deze paragraaf de belangrijkste zaken over goniometrie beknopt behandelen. Voor iedereen die wiskunde in zijn pakket heeft gehad is dit niet meer dan een herhaling.<\/p>\n<p>Bekijk onderstaande figuur:<\/p>\n<figure id=\"attachment_1477\" aria-describedby=\"caption-attachment-1477\" style=\"width: 300px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/driehoek.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1477 size-medium\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/driehoek-300x250.png\" alt=\"Figuur 2: Rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek C\" width=\"300\" height=\"250\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/driehoek-300x250.png 300w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/08\/driehoek.png 305w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-1477\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 2: Rechthoekige driehoek ABC met rechte hoek C<\/figcaption><\/figure>\n<p>We zien een rechthoekige driehoek ABC waarvan we hoek ABC \u03b1 noemen, hoek CAB \u03b2 en hoek BCA \u03b3 (=90\u00b0=\u00bd\u03c0).<\/p>\n<p>We gaan uit van hoek \u03b1.<\/p>\n<p>De zijde <em>a<\/em> noemen we de aanliggende rechthoekzijde (t.o.v. hoek \u03b1), zijde <em>b<\/em> noemen we de overstaande rechthoekzijde (t.o.v. hoek \u03b1) en zijde <em>c<\/em> de schuine zijde of hypotenusa.<\/p>\n<p>In deze driehoek zijn nu de volgende verhoudingen gedefinieerd:<\/p>\n<p>cos(inus)\u03b1 = aanliggende rechthoekzijde \/ schuine zijde = <em>a<\/em> \/ <em>c<\/em><br \/>\nsin(us)\u03b1 = overstaande rechthoekzijde \/ schuine zijde = <em>b<\/em> \/ <em>c<\/em><br \/>\ntan(gens)\u03b1 = overstaande rechthoekzijde \/ aanliggende rechthoekzijde = <em>b<\/em> \/ <em>a<\/em> = sin\u03b1 \/ cos\u03b1.<\/p>\n<p>Verder geldt dat:<br \/>\nsin<sup>2<\/sup>\u03b1 + cos<sup>2<\/sup>\u03b1 = 1 .<\/p>\n<p>De hoeken worden dan wel in graden gemeten, waarbij een cirkel 360\u00b0 heeft, dan wel in radialen die betrekking hebben op de omtrek van de cirkel met straal 1, dus 2\u03c0.<\/p>\n<p>Verder is van belang dat cos(90\u00b0)=0 .<\/p>\n<h3><a id=\"cosinusregel\"><\/a>De cosinusregel<\/h3>\n<p>De cosinusregel luidt als volgt: <strong>a<sup>2 <\/sup>= b<sup>2 <\/sup>+ c<sup>2 <\/sup>&#8211; 2.b.c.cos\u03b1<\/strong>. Wanneer je in een driehoek de zijden <em>b<\/em> en <em>c<\/em> weet en hoek \u03b1, dan kun je met deze regel zijde <em>a<\/em> bepalen.<\/p>\n<p>Er zijn twee varianten op deze regel:<\/p>\n<p>b<sup>2 <\/sup>= a<sup>2 <\/sup>+ c<sup>2 <\/sup>&#8211; 2.a.c.cos\u03b2 en<br \/>\nc<sup>2 <\/sup>= a<sup>2 <\/sup>+ b<sup>2 <\/sup>&#8211; 2.a.b.cos\u03b3.<\/p>\n<p>Bekijk onderstaande driehoek:<\/p>\n<figure id=\"attachment_2479\" aria-describedby=\"caption-attachment-2479\" style=\"width: 259px\" class=\"wp-caption alignnone\"><a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/cos-regel.png\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-2479 size-full\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/cos-regel.png\" alt=\"Figuur 3: Willekeurige driehoek ABC met hoogtelijn d vanuit C naar AB\" width=\"259\" height=\"208\" \/><\/a><figcaption id=\"caption-attachment-2479\" class=\"wp-caption-text\">Figuur 3: Willekeurige driehoek ABC met hoogtelijn d vanuit C naar AB<\/figcaption><\/figure>\n<p>In deze driehoek zit ook de rechthoekige driehoek <em>bed<\/em> verscholen. En in een rechthoekige driehoek kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen.<\/p>\n<p>I) e<sup>2 <\/sup>+ d<sup>2 <\/sup>= b<sup>2<\/sup> \u21d2 d<sup>2 <\/sup>= b<sup>2 <\/sup>&#8211; e<sup>2<\/sup><\/p>\n<p>maar ook:<\/p>\n<p>II) (c &#8211; e)<sup>2 <\/sup>+ d<sup>2 <\/sup>= a<sup>2<\/sup> \u21d2 d<sup>2 <\/sup>= a<sup>2 <\/sup>&#8211; (c &#8211; e)<sup>2<\/sup> ,<br \/>\nNu is (c &#8211; e)<sup>2<\/sup> een merkwaardig product dat we kunnen uitwerken:<br \/>\n(c &#8211; e)<sup>2 <\/sup>= c<sup>2 <\/sup>&#8211; 2ec + e<sup>2<\/sup> en dus:<br \/>\nd<sup>2 <\/sup>= a<sup>2 <\/sup>&#8211; [c<sup>2 <\/sup>&#8211; 2ec + e<sup>2<\/sup>] = a<sup>2 <\/sup>&#8211; c<sup>2 <\/sup>+ 2ec &#8211; e<sup>2<\/sup><\/p>\n<p>Uit I) en II) volgt:<br \/>\nb<sup>2 <\/sup>&#8211; e<sup>2 <\/sup>= a<sup>2 <\/sup>&#8211; c<sup>2 <\/sup>+ 2ec &#8211; e<sup>2<\/sup> \u21d2<br \/>\nb<sup>2 <\/sup>= a<sup>2 <\/sup>&#8211; c<sup>2 <\/sup>+ 2ec \u21d2<br \/>\nb<sup>2 <\/sup>&#8211; a<sup>2 <\/sup>= -c<sup>2 <\/sup>+ 2ec \u21d2<br \/>\n-a<sup>2 <\/sup>= -b<sup>2 <\/sup>&#8211; c<sup>2 <\/sup>+ 2ec \u21d2<br \/>\na<sup>2 <\/sup>= b<sup>2 <\/sup>+ c<sup>2 <\/sup>&#8211; 2ec .<\/p>\n<p>En nu zijn we er bijna.<\/p>\n<p>De cosinus van een hoek in een rechthoekige driehoek is gedefinieerd als: De aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de schuine zijde.<\/p>\n<p>In de driehoek hierboven geldt: cos\u03b1 = e \/ b en dus e = b.cos\u03b1.<br \/>\nSubstitueren we dit in de laatste formule dan krijgen we:<\/p>\n<p>a<sup>2 <\/sup>= b<sup>2 <\/sup>+ c<sup>2 <\/sup>&#8211; 2ec = <strong>b<sup>2 <\/sup>+ c<sup>2 <\/sup>&#8211; 2.b.c.cos\u03b1<\/strong> .<\/p>\n<p>Merk op dat de cosinusregel een veralgemenisering is van de stelling van Pythagoras. Immers geldt in een rechthoekige driehoek dat \u03b1 gelijk is aan 90\u00b0 en de cosinus van 90\u00b0 is 0, waarmee 2.b.c.cos\u03b1 gelijk aan nul wordt. En dan hou je dus de stelling van Pythagoras over!<\/p>\n<h3><a id=\"heron\"><\/a>De formule van Heron<\/h3>\n<p>De formule van Heron ziet er dus als volgt uit:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\\\ \\small \\text{, met s = }\\frac{1}{2}(a+b+c)<\/div>\n<p>We pakken de cosinusregel als uitgangspunt en we gaan stap voor stap toewerken naar de formule van Heron waarbij bovenal algebra\u00efsche bewerkingen de hoofdmoot zullen zijn. Laat u hierdoor vooral niet ontmoedigen&#8230;<\/p>\n<p>We gaan dus uit van: <strong>a<sup>2<\/sup> = b<sup>2 <\/sup>+ c<sup>2 <\/sup>&#8211; 2.b.c.cos\u03b1<\/strong>.<\/p>\n<p>De sin\u03b1 = d \/ b, dus d = b.sin\u03b1.<\/p>\n<p>De oppervlakte van een driehoek is \u00bd \u00d7 basis \u00d7 hoogte.<\/p>\n<p>In onze driehoek is dat dus:<\/p>\n<p>A(\u0394ABC)= \u00bd \u00d7 c \u00d7 d.<\/p>\n<p>Omdat d = b.sin\u03b1 geldt dus:<\/p>\n<p>A(\u0394ABC) = \u00bd \u00d7 c \u00d7 b.sin\u03b1.<\/p>\n<p>Met de formule sin<sup>2<\/sup>\u03b1 + cos<sup>2<\/sup>\u03b1 = 1 zien we dat<br \/>\nsin<sup>2<\/sup>\u03b1 = 1 &#8211; cos<sup>2<\/sup>\u03b1 en dus dat<br \/>\nsin\u03b1 = \u00b1\u221a(1 &#8211; cos<sup>2<\/sup>\u03b1).<\/p>\n<p>Omdat we hoek \u03b1 altijd tussen de 0\u00b0 en 180\u00b0 kunnen houden geldt dat de sin\u03b1 altijd groter of gelijk aan 0 is. Daarmee vervalt de &#8211; en dus werken we verder met:<br \/>\nsin\u03b1 = \u221a(1 &#8211; cos<sup>2<\/sup>\u03b1)<\/p>\n<p>Dus:<br \/>\nA(\u0394ABC) = \u00bd \u00d7 c \u00d7 b.sin\u03b1 = \u00bd \u00d7 c \u00d7 b \u00d7 \u221a(1 &#8211; cos<sup>2<\/sup>\u03b1).<\/p>\n<p>Met de cosinusregel kunnen we cos\u03b1 nu schrijven als:<\/p>\n<p>a<sup>2<\/sup> = b<sup>2 <\/sup>+ c<sup>2 <\/sup>&#8211; 2.b.c.cos\u03b1 \u21d2<br \/>\na<sup>2<\/sup> &#8211; b<sup>2<\/sup> &#8211; c<sup>2<\/sup> = -2.b.c.cos\u03b1 \u21d2<br \/>\n2.b.c.cos\u03b1 = b<sup>2<\/sup> + c<sup>2<\/sup> &#8211; a<sup>2\u00a0<\/sup>\u21d2<br \/>\ncos\u03b1 = (b<sup>2<\/sup> + c<sup>2<\/sup> &#8211; a<sup>2<\/sup>) \/ 2b .<\/p>\n<p>En dus is:<\/p>\n<p>cos<sup>2<\/sup>\u03b1 = [(b<sup>2<\/sup> + c<sup>2<\/sup> &#8211; a<sup>2<\/sup>) \/ 2b]<sup>2<\/sup>.<\/p>\n<p>Alles bij elkaar genomen hebben we nu:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\frac{1}{2}bc\\sqrt{1-cos^{2}\\alpha}= \\\\ \\frac{1}{2}bc\\sqrt{1-\\left( \\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \\right)^{2}}= \\\\ \\frac{1}{2}bc\\sqrt{1-\\frac{\\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \\right)^{2}}{4b^{2}c^{2}}}<\/div>\n<p><em>We gaan moedig verder<\/em>:<\/p>\n<p>We kunnen 1 schrijven als<\/p>\n<p>1 = (4b<sup>2<\/sup>c<sup>2<\/sup>) \/ (4b<sup>2<\/sup>c<sup>2<\/sup>), daarmee krijgen we dan:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\frac{1}{2}bc\\sqrt{\\frac{4b^{2}c^{2}-\\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \\right)^{2}}{4b^{2}c^{2}}}<\/div>\n<p>En omdat \u221a(x\/y) = \u221a(x)\/\u221a(y) krijgen we:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\frac{1}{2}bc{\\frac{\\sqrt{4b^{2}c^{2}-\\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \\right)^{2}}}{\\sqrt{4b^{2}c^{2}}}}<\/div>\n<p>Nu is de \u221a(4b<sup>2<\/sup>c<sup>2<\/sup>) = 2bc.<\/p>\n<p>We kunnen nu dus de wortel uit de noemer verwijderen:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\frac{1}{2}bc\\frac{1}{2bc}{\\sqrt{4b^{2}c^{2}-\\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \\right)^{2}}}<\/div>\n<p>Het &#8220;getal&#8221; voor het wortelteken is niets anders dan:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\frac{1}{2}bc.\\frac{1}{2bc}=\\frac{1. \\cancel{bc}}{2.2 \\cancel{bc}}=\\frac{1}{2.2}=\\frac{1}{4}<\/div>\n<p>Zodat nu overblijft:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\frac{1}{4}{\\sqrt{(2bc)^{2}-\\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \\right)^{2}}}<\/div>\n<p><em>Houd vol! We zijn al halverwege&#8230;<\/em><\/p>\n<p>We gaan ons nu concentreren op hetgeen er onder het wortelteken staat. We laten dus voor het gemak even het wortelteken weg; op het einde voegen we die weer toe (en de factor \u00bc vergeten we ook niet).<\/p>\n<p>We kijken dus naar (2bc)<sup>2<\/sup> &#8211; (b<sup>2 <\/sup>+ c<sup>2 <\/sup>&#8211; a<sup>2<\/sup>)<sup>2<\/sup>:<\/p>\n<p>Merk op dat hier een verschil van 2 kwadraten staat en daar hebben we een merkwaardig product voor. nl.: x<sup>2 <\/sup>&#8211; y<sup>2 <\/sup>= (x &#8211; y)(x + y).<\/p>\n<p>We krijgen dan:<\/p>\n<p>(2bc)<sup>2<\/sup> &#8211; (b<sup>2 <\/sup>+ c<sup>2 <\/sup>-a<sup>2<\/sup>)<sup>2\u00a0<\/sup>= (2bc &#8211; (b<sup>2<\/sup> + c<sup>2<\/sup> &#8211; a<sup>2<\/sup>)) (2bc + (b<sup>2<\/sup> + c<sup>2<\/sup> &#8211; a<sup>2<\/sup>))<\/p>\n<p>Uitgewerkt levert dat op:<\/p>\n<p>(2bc &#8211; (b<sup>2<\/sup> + c<sup>2<\/sup> &#8211; a<sup>2<\/sup>)) (2bc + (b<sup>2<\/sup> +c<sup>2<\/sup> &#8211; a<sup>2<\/sup>)) = (2bc &#8211; b<sup>2<\/sup> &#8211; c<sup>2<\/sup> + a<sup>2<\/sup>) (2bc + b<sup>2<\/sup> + c<sup>2<\/sup> &#8211; a<sup>2<\/sup>)<\/p>\n<p>We gaan nu de a<sup>2<\/sup> er buiten halen en wat husselen met de volgorde:<\/p>\n<p>((-b<sup>2<\/sup> + 2bc &#8211; c<sup>2<\/sup>) + a<sup>2<\/sup>) ((b<sup>2<\/sup> + 2bc + c<sup>2<\/sup>) &#8211; a<sup>2<\/sup>)<\/p>\n<p>Om de &#8211; bij de b<sup>2<\/sup> en c<sup>2<\/sup> weg te halen schrijf ik ((-b<sup>2<\/sup> + 2bc &#8211; c<sup>2<\/sup>) + a<sup>2<\/sup>) nu als: (a<sup>2<\/sup> &#8211; (b<sup>2<\/sup> &#8211; 2bc + c<sup>2<\/sup>)).<\/p>\n<p>Dan wordt de laatste expressie:<\/p>\n<p>(a<sup>2<\/sup> &#8211; (b<sup>2<\/sup> &#8211; 2bc + c<sup>2<\/sup>)) ((b<sup>2<\/sup> + 2bc + c<sup>2<\/sup>) &#8211; a<sup>2<\/sup>)<\/p>\n<p>In de binnenste haken zien we respectievelijk de merkwaardige producten (x &#8211; y)<sup>2<\/sup> = x<sup>2<\/sup> &#8211; 2xy + y<sup>2<\/sup> en (x + y)<sup>2<\/sup> = x<sup>2<\/sup> + 2xy + y<sup>2<\/sup>,<\/p>\n<p>We krijgen dus:<\/p>\n<p>a<sup>2<\/sup> &#8211; (b &#8211; c)<sup>2<\/sup>) (b + c)<sup>2<\/sup> &#8211; a<sup>2<\/sup><\/p>\n<p>En nu kunnen we 2 keer het merkwaardige product x<sup>2<\/sup> &#8211; y<sup>2<\/sup> = (x &#8211; y)(x + y) zien.<\/p>\n<p>Dus krijgen we:<\/p>\n<p>(a &#8211; (b &#8211; c)) (a + (b &#8211; c)) ((b + c) &#8211; a) ((b + c) + a)<\/p>\n<p>en dat is te schrijven als (haakjes wegwerken):<\/p>\n<p>(a &#8211; b + c) (a + b &#8211; c) (b + c &#8211; a) (a + b + c).<\/p>\n<p>Nu gaan we de halve omtrek erin verwerken:<\/p>\n<p>De halve omtrek:<\/p>\n<p>s = (a + b + c) \/ 2 \u21d2<br \/>\na + b + c = 2s \u21d2<br \/>\na + b = 2s &#8211; c en<br \/>\na + c = 2s &#8211; b en<br \/>\nb + c = 2s &#8211; a .<\/p>\n<p>(a &#8211; b + c) (a + b &#8211; c) (b + c &#8211; a) (a + b + c) =<br \/>\n(a + c &#8211; b) (a + b &#8211; c) (b + c &#8211; a) (a + b + c) =<br \/>\n(2s &#8211; b &#8211; b) (2s &#8211; c &#8211; c) (2s &#8211; a &#8211; a) 2s =<br \/>\n(2s &#8211; 2b) (2s &#8211; 2c) (2s &#8211; 2a) 2s =<br \/>\n2(s &#8211; b) 2(s &#8211; c)2 (s &#8211; a) 2s =<br \/>\n2.2.2.2(s &#8211; b) (s &#8211; c) (s &#8211; a) s =<br \/>\n16(s &#8211; b) (s &#8211; c)(s &#8211; a) s .<\/p>\n<p>Tijd om onze \u00bc en wortel terug te halen:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\frac{1}{4}\\sqrt{16(s-b)(s-c)(s-a)s}<\/div>\n<p>De 16 onder de wortel vandaan halen:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\frac{1}{4}.\\sqrt{16}\\sqrt{(s-b)(s-c)(s-a)s}= \\\\ \\frac{1}{4}.4\\sqrt{(s-b)(s-c)(s-a)s}= \\\\ \\sqrt{(s-b)(s-c)(s-a)s}<\/div>\n<p>En als we nu tot slot de volgorde van de factoren veranderen dan hebben we eindelijk de formule van Heron:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">A(\\Delta ABC)=\\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\\\ \\small \\text{, met }s=\\frac{1}{2}(a+b+c)<\/div>\n<p>Ik geef toe dat het een heel karwij was maar we hebben iedere mogelijke stap uitgewerkt, en dat was het doel van dit artikel.<\/p>\n<h3><a id=\"methode\"><\/a>De methode van Heron<\/h3>\n<p>De methode van Heron heeft niets te maken met de oppervlakte van een driehoek maar alles met worteltrekken.<\/p>\n<p>Er zijn verschillende methodes om een (vierkants-) wortel van een getal te trekken (zie <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/oude-artikelen\/worteltrekken\/\">Worteltrekken<\/a>) maar de methode van Heron is een bijzonder snelle manier. Deze manier wordt dan ook in de meeste rekenmachines gebruikt.<\/p>\n<p>Het is een iteratieve manier. Dat wil zeggen dat je een aantal dezelfde stappen doorloopt, steeds met het vorige resultaat als invoer.<\/p>\n<p>De methode van Heron ziet er als volgt uit:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">x_{n+1}=\\frac{1}{2}\\left ( x_{n}+\\frac{S}{x_{n}} \\right )<\/div>\n<p>Waarbij S het getal is waaruit je de wortel wilt trekken.<\/p>\n<p>Deze methode (een beetje te vergelijken met de Newton-Raphson-methode) is zeer snel.<\/p>\n<p>Stel dat we \u221a318 willen bepalen.<\/p>\n<p>Voor de eerste ronde (0) moeten we een startwaarde bepalen. Dit kan ieder positief getal zijn, maar het is handig om hier een &#8220;educated guess&#8221; te nemen. Welk getal in het kwadraat komt in de buurt van 318. Wanneer je dit uit het hoofd doet dan weet je dat 15<sup>2<\/sup>=225 en 20<sup>2<\/sup>=400, dus een getal ergens tussen de 15 en 20 is een goede startwaarde voor x<sub>0<\/sub>.<\/p>\n<p>\u221a318 \u2248 17,8325545001&#8230;<\/p>\n<p>Laten we x<sub>0<\/sub> = 17 nemen, dan<br \/>\nx<sub>1<\/sub> \u2248 17,8529411764&#8230;<br \/>\nx<sub>2<\/sub> \u2248 17,8325661401&#8230;<br \/>\nx<sub>3<\/sub> \u2248 17,8325545001&#8230;<br \/>\nx<sub>4<\/sub> \u2248 17,8325545001,&#8230;<\/p>\n<p>Je ziet dat we al na 3 iteraties op 10 decimalen nauwkeurig zitten.<\/p>\n<p>Kiezen we het startgetal &#8220;ongelukkig&#8221;, zeg x<sub>0<\/sub> = 2, dan duurt het 7 iteraties, wat nog steeds heel erg snel is.<\/p>\n<p>Toch is het handig om de x<sub>0<\/sub> een beetje handig te kiezen.<\/p>\n<p>En daar zijn wel degelijk (snelle) methodes voor.<\/p>\n<p>E\u00e9n zo&#8217;n methode is de lineaire schatting (zie voor uitgebreide uitleg <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Square_root_algorithms#Linear_estimates\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Square_root_algorithms#Linear_estimates<\/a>) en ziet er als volgt uit:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\sqrt{S}=\\begin{cases}\\left ( 0.28a+0.89\\right).10^{n},\\text{als a}&lt; 10, \\\\ \\left ( 0.089a+2.8 \\right ).10^{n},\\text{als a}\\geq 10.\\end{cases}<\/div>\n<p>De <em>a<\/em> en de <em>n<\/em> in bovenstaande formule verkrijg je door S te schrijven in wetenschappelijke notatie, waarbij <em>n<\/em> even moet zijn.<\/p>\n<p>Dus 318 schrijf je dan als 3,18E2 (=3,18 \u00d7 10<sup>2<\/sup>). Hier is dus a=3,18 en n=2. Het startgetal bereken je dan met de bovenste van de twee formules; dat wordt dan 17,3.<\/p>\n<p>In Excel vba zou een UDF (User Defined Function) er als volgt kunnen uitzien:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">Function BepaalX0(getal)<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 Dim g, e, r<\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 g = getal<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 e = 0<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 Do While g \\ 100 &gt; 0<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 g = g \\ 100<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 e = e + 1<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 Loop<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 If g &lt; 10 Then<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 r = (0.28 * g + 0.89) * 10 ^ e<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 Else<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 \u00a0 r = (0.089 * g + 2.8) * 10 ^ e<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 End If<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u00a0 BepaalX0 = r<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">End Function<\/span><\/p>\n<p>Nog een opmerking tot slot: Heron heeft deze methode niet zelf bedacht want deze methode werd al veel eerder gebruikt, maar hij heeft hem wel beschreven.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Inleiding Met de formule van Heron kun je de oppervlakte van een willekeurige driehoek bepalen. De formule die je waarschijnlijk op school hebt geleerd luidt: De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de halve basis keer de hoogte. In formulevorm: A(\u0394abc)=\u00bdbasis\u00d7hoogte. Maar het is vaak moeilijk om de hoogte op een basis te bepalen. [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2065,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-2475","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Formule van Heron - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Formule van Heron - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Inleiding Met de formule van Heron kun je de oppervlakte van een willekeurige driehoek bepalen. De formule die je waarschijnlijk op school hebt geleerd luidt: De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de halve basis keer de hoogte. In formulevorm: A(\u0394abc)=\u00bdbasis\u00d7hoogte. Maar het is vaak moeilijk om de hoogte op een basis te bepalen. [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2026-03-30T14:37:37+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek.png\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:width\" content=\"915\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:height\" content=\"505\" \/>\n\t<meta property=\"og:image:type\" content=\"image\/png\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"11 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/formule-van-heron\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/formule-van-heron\\\/\",\"name\":\"Formule van Heron - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/formule-van-heron\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/formule-van-heron\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2026\\\/01\\\/driehoek-300x166.png\",\"datePublished\":\"2026-01-22T10:16:26+00:00\",\"dateModified\":\"2026-03-30T14:37:37+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/formule-van-heron\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/formule-van-heron\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/formule-van-heron\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2026\\\/01\\\/driehoek.png\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2026\\\/01\\\/driehoek.png\",\"width\":915,\"height\":505},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/formule-van-heron\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Artikel 10-1F\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-10-1f\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":5,\"name\":\"Formule van Heron\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Formule van Heron - Wiskunst","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Formule van Heron - Wiskunst","og_description":"Inleiding Met de formule van Heron kun je de oppervlakte van een willekeurige driehoek bepalen. De formule die je waarschijnlijk op school hebt geleerd luidt: De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de halve basis keer de hoogte. In formulevorm: A(\u0394abc)=\u00bdbasis\u00d7hoogte. Maar het is vaak moeilijk om de hoogte op een basis te bepalen. [&hellip;]","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2026-03-30T14:37:37+00:00","og_image":[{"width":915,"height":505,"url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek.png","type":"image\/png"}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"11 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/","name":"Formule van Heron - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek-300x166.png","datePublished":"2026-01-22T10:16:26+00:00","dateModified":"2026-03-30T14:37:37+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/#primaryimage","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek.png","contentUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2026\/01\/driehoek.png","width":915,"height":505},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/formule-van-heron\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Artikel 10-1F","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-10-1f\/"},{"@type":"ListItem","position":5,"name":"Formule van Heron"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2475","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2475"}],"version-history":[{"count":62,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2475\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2597,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2475\/revisions\/2597"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2065"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2475"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}