{"id":734,"date":"2022-05-13T08:09:57","date_gmt":"2022-05-13T07:09:57","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.nl\/?page_id=734"},"modified":"2024-03-26T10:57:20","modified_gmt":"2024-03-26T09:57:20","slug":"som-der-natuurlijke-getallen","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/","title":{"rendered":"Som der natuurlijke getallen"},"content":{"rendered":"<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de2991ea484\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69de2991ea484\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#algebraischbewijs\">Algebra\u00efsche bewijs<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#fout\">Fout<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#oneindigesomreeksen\">Oneindige somreeksen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#functionaal\">Functionaalvergelijkingen<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#regulariseren\">Regulariseren<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#etaenzeta\">Eta en Zeta<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#integraal\">Integraal<\/a> <\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p>Stel S<sub>0<\/sub> = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + &#8230;, dan divergeert S<sub>0<\/sub> naar oneindig. Of niet?<\/p>\n<p>Deze vraag veroorzaakt sinds een tijdje nogal wat &#8220;drukte&#8221; op het internet naar aanleiding van een filmpje waarin beweerd wordt dat de som der natuurlijke getallen (wat S<sub>0<\/sub> is) gelijk is aan -1\/12.<\/p>\n<p>We gaan eens kijken hoe ze in dat filmpje tot deze conclusie komen. Daarna beantwoorden we de vraag of dit juist is.<\/p>\n<h3><a id=\"algebraischbewijs\"><\/a>Algebra\u00efsch bewijs<\/h3>\n<p>Stel (wederom) S<sub>0<\/sub> = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + &#8230;<br \/>\nStel S<sub>1<\/sub> = 1 &#8211; 1 + 1 &#8211; 1 + 1 &#8211; &#8230; dan wisselt S<sub>1<\/sub> tussen 0 (als S<sub>1<\/sub> een even aantal elementen heeft) en 1 (als S<sub>1<\/sub> een oneven aantal elementen heeft), maar convergeert naar 1\/2.<br \/>\nStel S<sub>2<\/sub> = 1 &#8211; 2 + 3 &#8211; 4 + 5 &#8211; &#8230; dan convergeert S<sub>2<\/sub> naar 1\/4.<\/p>\n<p>Laten we beginnen met S<sub>1<\/sub>:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">S<sub>1<\/sub> = 1 &#8211; 1 + 1 &#8211; 1 + 1 &#8211; &#8230; = 1 &#8211; (1 &#8211; 1 + 1 &#8211; 1 + 1 &#8211; &#8230;) = 1 &#8211; S<sub>1<\/sub> \u2192<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">S<sub>1<\/sub> = 1 &#8211; S<sub>1<\/sub> \u2192 2S<sub>1<\/sub> = 1 \u2192 S<sub>1<\/sub> = 1\/2.<\/span><\/p>\n<p>Dan nu S<sub>2<\/sub>:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">S<sub>1<\/sub>\u00a0 \u00a0 \u00a0 = 1 &#8211; 1 + 1 &#8211; 1 + 1 &#8211; &#8230;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">S<sub>2<\/sub>\u00a0 \u00a0 \u00a0 = 1 &#8211; 2 + 3 &#8211; 4 + 5 &#8211; &#8230;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u00a0-\/-<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">S<sub>1<\/sub> &#8211; S<sub>2<\/sub> = 0 + 1 &#8211; 2 + 3 &#8211; 4 + &#8230; = 0 + S<sub>2<\/sub><\/span><\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">Dus S<sub>1<\/sub> &#8211; S<sub>2<\/sub> = 0 + S<sub>2<\/sub> \u2192 S<sub>1<\/sub> = 2S<sub>2<\/sub> \u2192 2S<sub>2<\/sub> = 1\/2 \u2192 S<sub>2<\/sub> = 1\/4.<\/span><\/p>\n<p>En nu S<sub>0<\/sub>:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">S<sub>0<\/sub>\u00a0 \u00a0 \u00a0= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + &#8230;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">S<sub>2<\/sub>\u00a0 \u00a0 \u00a0= 1 &#8211; 2 + 3 &#8211; 4 + 5 &#8211; &#8230;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014 -\/-<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">S<sub>0<\/sub> &#8211; S<sub>2<\/sub> = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + &#8230; = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + &#8230;) = 4S<sub>0<\/sub> \u2192<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">3S<sub>0<\/sub> = -S<sub>2<\/sub> = -1\/4 \u2192 S<sub>0<\/sub> = -1\/12.<\/span><\/p>\n<p>Hierboven is dus algebra\u00efsch aangetoond dat de som der natuurlijke getallen gelijk is aan -1\/12.<\/p>\n<p>Maar is dit nu ook waar?<br \/>\nHet antwoord luidt: Natuurlijk niet!<br \/>\nWe weten allemaal dat de som der natuurlijke getallen steeds groter wordt en naar oneindig gaat.<\/p>\n<h3><a id=\"fout\"><\/a>Fout<\/h3>\n<p>Wat gaat hierboven dan fout?<br \/>\nHet verraderlijke zit hem in het is-gelijk-teken (=). Dit is-gelijk-teken is gedefinieerd voor eindige(!) sommen en niet voor oneindige sommen.<\/p>\n<p>Normaal staan we hier niet bij stil omdat we in het dagelijkse leven nu eenmaal zelden of nooit met oneindige sommen worden geconfronteerd.<\/p>\n<p>Maar de wiskunde moet streng zijn.<\/p>\n<p>Hiermee zou dit artikel tot een einde kunnen komen, want we hebben immers de eerste vraag beantwoord.<\/p>\n<p>Maar we gaan nog even door. Een andere vraag die we kunnen stellen is of datgene wat hierboven staat allemaal uit de lucht is gegrepen. En dat is niet het geval.<\/p>\n<h3><a id=\"oneindigesomreeksen\"><\/a>Oneindige somreeksen<\/h3>\n<p>Een somreeks is een optelling van een aantal (reeks) getallen.<\/p>\n<p>Voorbeeld: De som van de eerste 10 natuurlijke getallen is dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.<\/p>\n<p>Wiskundig schrijven we een som met de Griekse hoofdletter S (Sigma):<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\sum<\/div>\n<p>De som van de eerste 10 natuurlijke getallen ziet er in de wiskunde dan als volgt uit:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\sum_{k=1}^{10}k = 55<\/div>\n<p>en betekent: Laat k van 1 tot 10 lopen (met stapjes van 1) en tel al deze k&#8217;s bij elkaar op.<\/p>\n<p>Wanneer we echter een oneindige somreeks hebben dan kunnen er een aantal uitkomsten mogelijk zijn:<\/p>\n<ul style=\"list-style-type: circle;\">\n<li>De somreeks convergeert; gaat naar een bepaalde waarde toe, met een limiet aan te tonen;<\/li>\n<li>De somreeks divergeert; gaat naar (plus of min) oneindig toe;<\/li>\n<li>De somreeks alterneert; wisselt tussen verschillende waardes; kan zowel convergeren als divergeren.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Een voorbeeld van een somreeks die convergeert is:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\sum_{k=1}^{\\infty}2^{-k}=\\frac{1}{2}+\\frac{1}{4}+\\frac{1}{8}+\\frac{1}{16}+...=1<\/div>\n<p>S<sub>0<\/sub> is divergerend, S<sub>1<\/sub> is alternerend convergent en S<sub>2<\/sub> is alternerend divergent.<\/p>\n<p>Voor de rest van het verhaal introduceer ik een nieuw symbool: <em><strong>:=<\/strong><\/em>, dus een dubbelepunt gevolgd door een is-gelijk-teken en betekent: &#8220;Ken waarde toe aan&#8221; en dat is iets anders dan is-gelijk-aan.<\/p>\n<h3><a id=\"functionaal\"><\/a>Functionaalvergelijkingen<\/h3>\n<p>Kijken we weer naar S<sub>1<\/sub> = 1 &#8211; 1 + 1 &#8211; 1 + 1 &#8211; &#8230; .<br \/>\nWe gaan nu op zoek naar een zogenaamde functionaalvergelijking die deze somreeks representeert. Dit betekent dat we een polynoom zoeken die voor een bepaalde waarde van x de somreeks bepaalt.<\/p>\n<p>Voor S<sub>1<\/sub> kunnen we daarvoor de volgende functionaalvergelijking gebruiken:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">f(x)=\\sum_{n=0}^{\\infty}(\\text{ - }x)^{n}=1\\text{ - }x+x^{2}\\text{ - }x^{3}+x^{4}\\text{ - }x^{5}+...<\/div>\n<p>Deze functie is gedefinieerd op het domein D<sub>f<\/sub>=&lt;-1, 1&gt;. Dit betekent dat binnen het interval &lt;-1, 1&gt; f(x) een waarde heeft. Buiten het domein gaat f(x) naar oneindig toe.<\/p>\n<p>Merk op dat f(1) S<sub>1<\/sub> voortbrengt; daar is het allemaal om te doen.<br \/>\nHet enige probleem hier is dat f(1) niet bestaat, 1 valt immers (net) buiten het domein.<\/p>\n<h3><a id=\"regulariseren\"><\/a>Regulariseren<\/h3>\n<p>We gaan nu proberen om f(x) zo &#8220;om te buigen&#8221; dat f(1) wel bestaat. Dit proces heet regulariseren.<\/p>\n<p>Als we nog eens goed kijken naar f(x) dan zien we dat alle termen, behalve de eerste, een x bevatten. Dit wetende kunnen we f(x) nu ook als volgt schrijven:<\/p>\n<p>f(x) = 1 &#8211; x + x<sup>2<\/sup> &#8211; x<sup>3<\/sup> + x<sup>4<\/sup> &#8211; x<sup>5<\/sup> + &#8230; = 1 &#8211; x(1 &#8211; x + x<sup>2<\/sup> &#8211; x<sup>3<\/sup> + x<sup>4<\/sup> &#8211; x<sup>5<\/sup> + &#8230;) = 1 &#8211; x.f(x).<\/p>\n<p>Dus f(x) = 1 &#8211; x.f(x).<\/p>\n<p>Delen we beide kant door f(x) dan krijgen we:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">f(x)=1\\text{ - }xf(x)\\rightarrow \\frac{f(x)}{f(x)}=\\frac{1\\text{ - }xf(x)}{f(x)}\\rightarrow \\newline 1=\\frac{1}{f(x)}.\\text{ - }x\\rightarrow f(x)=\\frac{1}{1+x}=g(x)<\/div>\n<p>g(x) is dus de geregulariseerde versie van f(x).<\/p>\n<p>Het domein van g(x) is nu: D<sub>g<\/sub>=\u211d\\{-1}.<\/p>\n<p>En dit betekent dat g(1) bestaat en gelijk is aan:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">g(1)=\\frac{1}{1+1}=\\frac{1}{2}<\/div>\n<p>En door al dit werk kunnen we nu, met (wiskundig) recht zeggen dat:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">S_{1}:=\\frac{1}{2}<\/div>\n<p>De somreeks S<sub>1<\/sub> &#8220;tendeert&#8221; dus naar 1\/2.<\/p>\n<p>We gaan nu hetzelfde doen voor S<sub>2<\/sub> = 1 &#8211; 2 + 3 &#8211; 4 + 5 &#8211; &#8230;<\/p>\n<p>De functionaalvergelijking die deze somreeks kan voortbrengen luidt:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">f(x)=\\sum_{n=1}^{\\infty}n(\\text{ - }x)^{n\\text{ - }1}=1\\text{ - }2x+3x^{2}\\text{ - }4x^{3}+5x^{4}\\text{ - }...<\/div>\n<p>De functie f(x) heeft een domein van: D<sub>f<\/sub>=&lt;-1,1&gt;.<\/p>\n<p>En S<sub>2<\/sub> wordt voortgebracht door f(1), maar f(1) bestaat niet.<\/p>\n<p>Dus moeten we f(x) gaan regulariseren.<\/p>\n<p>We maken een nieuwe functie g(x) door f(x) te vermenigvuldigen met (x + 1)<sup>2<\/sup> = (x<sup>2<\/sup> + 2x + 1), dus g(x) = (x + 1)<sup>2<\/sup>.f(x) .<\/p>\n<p>We krijgen dan:<\/p>\n<p>g(x) = (x<sup>2<\/sup> + 2x + 1)(1 &#8211; 2x + 3x<sup>2<\/sup> &#8211; 4x<sup>3<\/sup> + 5x<sup>4<\/sup> &#8211; &#8230;) = x<sup>2<\/sup> + 2x + 1 &#8211; 2x<sup>3<\/sup> &#8211; 4x<sup>2<\/sup> &#8211; 2x + 3x<sup>4<\/sup> + 6x<sup>3<\/sup> + 3x<sup>2<\/sup> &#8211; 4x<sup>5<\/sup> &#8211; 8x<sup>4<\/sup> &#8211; 4x<sup>3<\/sup> &#8230;<\/p>\n<p>Gelijksoortige termen bij elkaar zoeken levert op:<\/p>\n<p>g(x) = 1 + (2x &#8211; 2x) + (x<sup>2<\/sup> &#8211; 4x<sup>2<\/sup> + 3x<sup>2<\/sup>) + (-2x<sup>3<\/sup> + 6x<sup>3<\/sup> &#8211; 4x<sup>3<\/sup>) + &#8230;<\/p>\n<p>Alles wat tussen haakjes staat is gelijk aan 0.<br \/>\nDus g(x) = 1.<\/p>\n<p>En dus krijgen we:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">g(x)=(x+1)^{2}.f(x)=1\\rightarrow f(x)=\\frac{1}{(x+1)^{2}}<\/div>\n<p>En voor deze geregulariseerde f(x) is het domein: D<sub>f<\/sub>=\u211d\\{-1}.<\/p>\n<p>En dus bestaat f(1).<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">f(1)=\\frac{1}{(1+1)^{2}}=\\frac{1}{2^{2}}=\\frac{1}{4}<\/div>\n<p>En daarmee<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">S_{2}:=\\frac{1}{4}<\/div>\n<p>De somreeks S<sub>2<\/sub> &#8220;tendeert&#8221; dus naar 1\/4.<\/p>\n<h3><a id=\"etaenzeta\"><\/a>Eta en Zeta<\/h3>\n<p>Het is helaas niet zo gemakkelijk om een geregulariseerde functionaalvergelijking voor S<sub>0<\/sub>, de som der natuurlijke getallen, te vinden.<\/p>\n<p>Gelukkig hebben beroemde wiskundigen, zoals Euler en Riemann, dit in het verleden al gedaan.<\/p>\n<p>De eta- en zeta-functie zullen ons verder helpen.<\/p>\n<p>De eta-functie (Dirichlet) ziet er als volgt uit:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\eta (s)\\sum_{n=1}^{\\infty}(\\text{ - }1)^{n\\text{ - }1}n^{\\text{ - }s}=\\frac{1}{1^{s}}\\text{ - }\\frac{1}{2^{s}}+\\frac{1}{3^{s}}\\text{ - }\\frac{1}{4^{s}}+...<\/div>\n<p>De zeta-functie (Riemann), een versimpelde eta-functie, ziet er als volgt uit:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\zeta (s)\\sum_{n=1}^{\\infty}n^{\\text{ - }s}=\\frac{1}{1^{s}}\\text{ - }\\frac{1}{2^{s}}+\\frac{1}{3^{s}}\\text{ - }\\frac{1}{4^{s}}+...<\/div>\n<p>De s uit beide functies is een complex getal, dus s =a+bi, met a,b\u2208\u211d en i<sup>2<\/sup>=-1; a heet het re\u00eble deel (\u211c(s)) en b het complexe deel. Het domein van beide functies is dus \u2102, de verzameling van complexe getallen (zie ook het artikel <a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/formule-van-euler\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Formule van Euler<\/a>).<\/p>\n<p>Voor de zeta-functie geldt verder dat deze is gedefinieerd als het re\u00eble deel groter dan 1 is, dus \u211c(s) &gt; 1.<\/p>\n<p>Voor de eta-functie geldt dat deze is gedefinieerd voor \u211c(s) &gt; 0.<\/p>\n<p>Nu blijkt dat wanneer we s=-1 in de zeta-functie invullen we S<sub>0<\/sub> als resultaat krijgen:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\zeta (\\text{ - }1)=\\sum_{n=1}^{\\infty}n^{1}=1+2+3+4+5+...<\/div>\n<p>Het vervelende is alleen dat voor s=-1 de zeta-functie dus niet gedefinieerd is.<\/p>\n<p>We moeten dus een geregulariseerde zeta-functie gaan zoeken en dat is waar de eta-functie ons bij gaat helpen.<\/p>\n<p>We gaan de eta-functie van de zeta-functie aftrekken:<\/p>\n<p><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u03b6(s)\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 = 1\/1<sup>s<\/sup> + 1\/2<sup>s<\/sup> + 1\/3<sup>s<\/sup> + 1\/4<sup>s<\/sup> + &#8230;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u03b7(s)\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 = 1\/1<sup>s<\/sup> &#8211; 1\/2<sup>s<\/sup> + 1\/3<sup>s<\/sup> &#8211; 1\/4<sup>s<\/sup> + &#8230;<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014 -\/-<\/span><br \/>\n<span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 12pt;\">\u03b6(s) &#8211; \u03b7(s) =\u00a0 \u00a00\u00a0 + 2\/2<sup>s<\/sup> +\u00a0 \u00a00\u00a0 + 2\/4<sup>s<\/sup> + &#8230;.<\/span><\/p>\n<p>Dus<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\zeta (s)\\text{ - }\\eta (s)=\\frac{2}{2^{s}}+\\frac{2}{4^{s}}+\\frac{2}{6^{s}}+\\frac{2}{8^{s}}+...=\\newline \\frac{2}{2^{s}}(\\frac{1}{1^{s}}+\\frac{1}{2^{s}}+\\frac{1}{3^{s}}+\\frac{1}{4^{s}})=\\frac{2}{2^{s}}\\zeta (s)<\/div>\n<p>En dus<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\zeta (s)\\text{ - }\\eta (s)=\\frac{2}{2^{s}}\\zeta (s)\\rightarrow \\zeta (s)\\text{ - }\\frac{2}{2^{s}}\\zeta (s)=\\eta (s)\\rightarrow\u00a0 \\newline \\zeta (s)(1\\text{ - }\\frac{2}{2^{s}})=\\eta (s)\\rightarrow \\zeta (s)=\\frac{\\eta (s)}{1\\text{ - }\\frac{2}{2^{s}}}<\/div>\n<p>En deze geregulariseerde zeta-functie heeft een domein D<sub>\u03b6<\/sub>=\u2102\\{1}, maar nog steeds geldt dat \u211c(s) &gt; 0, vanwege de eta-functie.<\/p>\n<p><strong>Merk echter op<\/strong> dat<br \/>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\eta (\\text{ - }1)=1\\text{ - }2+3\\text{ - }4+...=S_{2}=\\frac{1}{4}<\/div>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\text{We kunnen dus }\\eta (\\text{ - }1)\\text{\u00a0 vervangen door }\\frac{1}{4}\\text{.}<\/div>\n<p>En als we nu s=-1 in de laatste functie invullen krijgen we:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\zeta (\\text{ - }1)=\\frac{\\eta (\\text{ - }1)}{1\\text{ - }\\frac{1}{2^{\\text{ - }1}}}=\\frac{\\eta (\\text{ - }1)}{1\\text{ - }4}=\\frac{\\frac{1}{4}}{\\text{ - }3}=\\text{ - }\\frac{1}{3}.\\frac{1}{4}=\\text{ - }\\frac{1}{12}<\/div>\n<p>En daarmee<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">S_{0}:=\\text{ - }\\frac{1}{12}<\/div>\n<p>De somreeks S<sub>0<\/sub> tendeert dus inderdaad naar -1\/12.<\/p>\n<p>Toch wel een verrassend resultaat.<\/p>\n<p>Die -1\/12 komt ook nog op een andere manier in aanraking met S<sub>0<\/sub>.<\/p>\n<h3><a id=\"integraal\"><\/a>Integraal<\/h3>\n<p>Een algemene formule voor de som van opeen lopende natuurlijke getallen vanaf 1 tot n luidt:<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\sum_{k=1}^{n}k=\\frac{1}{2}n(n+1)<\/div>\n<p>En als we nu eens gaan kijken naar de grafiek van de functie f(x)=(1\/2)x(x+1), met x\u2208\u211d, dan ziet die er als volgt uit:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone wp-image-781\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/som-nat.bmp\" alt=\"\" width=\"425\" height=\"425\" \/><\/p>\n<p>De functie is een parabool met nulpunten (-1, 0) en (0, 0).<\/p>\n<p>Kijken we naar de oppervlakte van de parabool onder de x-as, dat is dus tussen de nulpunten, dan krijgen we<\/p>\n<div class=\"wp-katex-eq katex-display\" data-display=\"true\">\\int_{\\text{ - }1}^{0}\\frac{1}{2}x(x+1)=\\int_{\\text{ - }1}^{0}\\left ( \\frac{1}{2}x(x+1) \\right )dx=\\left [ \\frac{x^{3}}{6}+\\frac{x^{2}}{4} \\right ]_{\\text{ - }1}^{0}=\\newline 0\\text{ - }(\\text{ - }\\frac{1}{6}+\\frac{1}{4})=\\text{ - }\\frac{1}{12}<\/div>\n<p>Het blijft toch een fascinerende wereld&#8230;<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 8pt;\">[<a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/raadseltjes\/oplossing-raadsel-9\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Oplossing raadsel 9<\/a>]<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Inleiding Stel S0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + &#8230;, dan divergeert S0 naar oneindig. Of niet? Deze vraag veroorzaakt sinds een tijdje nogal wat &#8220;drukte&#8221; op het internet naar aanleiding van een filmpje waarin beweerd wordt dat de som der natuurlijke getallen (wat S0 is) gelijk is aan -1\/12. [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2061,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-734","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Som der natuurlijke getallen - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Som der natuurlijke getallen - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Inleiding Stel S0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + &#8230;, dan divergeert S0 naar oneindig. Of niet? Deze vraag veroorzaakt sinds een tijdje nogal wat &#8220;drukte&#8221; op het internet naar aanleiding van een filmpje waarin beweerd wordt dat de som der natuurlijke getallen (wat S0 is) gelijk is aan -1\/12. [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-03-26T09:57:20+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/som-nat.bmp\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"9 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/som-der-natuurlijke-getallen\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/som-der-natuurlijke-getallen\\\/\",\"name\":\"Som der natuurlijke getallen - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/som-der-natuurlijke-getallen\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/som-der-natuurlijke-getallen\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/05\\\/som-nat.bmp\",\"datePublished\":\"2022-05-13T07:09:57+00:00\",\"dateModified\":\"2024-03-26T09:57:20+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/som-der-natuurlijke-getallen\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/som-der-natuurlijke-getallen\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/som-der-natuurlijke-getallen\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/05\\\/som-nat.bmp\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/05\\\/som-nat.bmp\",\"width\":529,\"height\":529},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/som-der-natuurlijke-getallen\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Artikel 00-0F\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":5,\"name\":\"Som der natuurlijke getallen\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Som der natuurlijke getallen - Wiskunst","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Som der natuurlijke getallen - Wiskunst","og_description":"Inleiding Stel S0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + &#8230;, dan divergeert S0 naar oneindig. Of niet? Deze vraag veroorzaakt sinds een tijdje nogal wat &#8220;drukte&#8221; op het internet naar aanleiding van een filmpje waarin beweerd wordt dat de som der natuurlijke getallen (wat S0 is) gelijk is aan -1\/12. [&hellip;]","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2024-03-26T09:57:20+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/som-nat.bmp","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"9 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/","name":"Som der natuurlijke getallen - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/som-nat.bmp","datePublished":"2022-05-13T07:09:57+00:00","dateModified":"2024-03-26T09:57:20+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/#primaryimage","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/som-nat.bmp","contentUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/som-nat.bmp","width":529,"height":529},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/som-der-natuurlijke-getallen\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Artikel 00-0F","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/"},{"@type":"ListItem","position":5,"name":"Som der natuurlijke getallen"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/734","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=734"}],"version-history":[{"count":89,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/734\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2049,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/734\/revisions\/2049"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2061"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=734"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}