{"id":76,"date":"2022-01-20T13:01:03","date_gmt":"2022-01-20T12:01:03","guid":{"rendered":"https:\/\/wiskunst.hjgsoft.nl\/?page_id=76"},"modified":"2024-03-26T10:57:38","modified_gmt":"2024-03-26T09:57:38","slug":"triplets-puzzel","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/","title":{"rendered":"Triplets puzzel"},"content":{"rendered":"<p><strong><span class=\"collapseomatic \" id=\"id69de29f397bdf\"  tabindex=\"0\" title=\"Inhoud\"    >Inhoud<\/span><div id=\"target-id69de29f397bdf\" class=\"collapseomatic_content \"><\/strong><\/p>\n<ul>\n<li><a href=\"#inleiding\">Inleiding<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#puzzel\">De puzzel<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#oplossing\">Naar de oplossing<\/a><\/li>\n<li><a href=\"#resultaat\">Resultaat!<\/a> <\/div><\/li>\n<\/ul>\n<h3><a id=\"inleiding\"><\/a>Inleiding<\/h3>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Een tijdje geleden gaf een bevriende wiskundige mij de volgende puzzel: Voor welke\u00a0<em>n<\/em>\u00a0kun je een driehoek, gestapeld met zeshoekjes, met basis\u00a0<em>n<\/em>\u00a0geheel vullen met triplets, waarbij een triplet een driehoekje met 3 zeshoekjes is?<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">In dit artikel wil ik u meenemen met mijn zoektocht naar de oplossing van deze puzzel.<\/p>\n<h3><a id=\"puzzel\"><\/a>De puzzel<\/h3>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Eerst maar even wat meer duiding over de puzzel.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Een triplet is dus een driehoekje gebouwd uit 3 zeshoekjes:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-79 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/up.jpg\" alt=\"\" width=\"45\" height=\"42\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Omdat de punt van deze triplet naar boven wijst noem ik deze \u201cup\u201d.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Dan bestaat er natuurlijk ook een \u201cdown\u201d:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-80 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/down.jpg\" alt=\"\" width=\"45\" height=\"42\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En zo ziet dan een driehoek gebouwd uit zeshoekje met basis\u00a0<em>n<\/em>\u00a0eruit:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-81 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t5_0.jpg\" alt=\"\" width=\"114\" height=\"106\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Omdat de basis van deze driehoek uit 5 zeshoekjes bestaat noem ik deze t<sub>5<\/sub>.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En de vraag is dus nu voor welke n\u00a0t<sub>n<\/sub>\u00a0geheel te vullen is met\u00a0up\u2019s\u00a0en\u00a0down\u2019s.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Ik neem u mee\u2026<\/p>\n<h3><a id=\"oplossing\"><\/a>Naar de oplossing<\/h3>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Een eerste analyse van dit probleem is dat\u00a0t<sub>n<\/sub>\u00a0in ieder geval een 3-voud moet zijn omdat een triplet (up of down) uit 3 zeshoekjes bestaat.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Om te bepalen hoeveel zeshoekjes er in\u00a0t<sub>n<\/sub>\u00a0zitten moeten we de volgende som oplossen: 1 + 2 + 3 + 4 + \u2026 +\u00a0<em>n<\/em>-1 +\u00a0<em>n<\/em>.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En als je deze som onder elkaar zet dan kun je er een handigheidje in ontdekken:<\/p>\n<pre style=\"font-weight: 400;\"><span style=\"font-family: 'courier new', courier, monospace; font-size: 10pt;\">1-----------------------------------------------------\r\n2-------------------------------------\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0|\r\n3---------------------\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0|\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0|\r\n4------\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0|\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0|\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0|\r\n\u2026\u00a0 \u00a0 \u00a0 | -&gt;(<em>n<\/em>-3+4=<em>n<\/em>+1)| -&gt;(<em>n<\/em>-2+3=<em>n<\/em>+1) | -&gt;(<em>n<\/em>-1+2=<em>n<\/em>+1) | -&gt;(<em>n<\/em>+1)\r\n<em>n<\/em>-3-----\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 |\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0|\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0|\r\n<em>n<\/em>-2--------------------\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0|\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0|\r\n<em>n<\/em>-1------------------------------------\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0|\r\n<em>n<\/em>-----------------------------------------------------\r\n----- +<\/span><\/pre>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Je komt dus steeds paren van (<em>n<\/em>+1) tegen. Een paar bestaan uit 2, dus voor een som die doorloopt tot\u00a0<em>n<\/em>\u00a0heb je \u00bd<em>n<\/em>\u00a0paren. De som van 1 t\/m\u00a0<em>n<\/em>\u00a0is dan dus niets anders dan \u00bd<em>n<\/em>(<em>n<\/em>+1).<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Dit wetende is nu de vraag voor welke\u00a0<em>n<\/em>\u00a0\u00bd<em>n<\/em>(<em>n<\/em>+1) een 3-voud is.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Maar even wat getallen voor\u00a0<em>n<\/em>\u00a0uitproberen:<\/p>\n<table width=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"24\"><strong>n<\/strong><\/td>\n<td width=\"70\"><strong>1\/2n(n+1)<\/strong><\/td>\n<td width=\"77\"><strong>3-voud<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">0<\/td>\n<td width=\"70\">0<\/td>\n<td width=\"77\">3-voud<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">1<\/td>\n<td width=\"70\">1<\/td>\n<td width=\"77\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">2<\/td>\n<td width=\"70\">3<\/td>\n<td width=\"77\">3-voud<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">3<\/td>\n<td width=\"70\">6<\/td>\n<td width=\"77\">3-voud<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">4<\/td>\n<td width=\"70\">10<\/td>\n<td width=\"77\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">5<\/td>\n<td width=\"70\">15<\/td>\n<td width=\"77\">3-voud<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">6<\/td>\n<td width=\"70\">21<\/td>\n<td width=\"77\">3-voud<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">7<\/td>\n<td width=\"70\">28<\/td>\n<td width=\"77\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">8<\/td>\n<td width=\"70\">36<\/td>\n<td width=\"77\">3-voud<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">9<\/td>\n<td width=\"70\">45<\/td>\n<td width=\"77\">3-voud<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">10<\/td>\n<td width=\"70\">55<\/td>\n<td width=\"77\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">11<\/td>\n<td width=\"70\">66<\/td>\n<td width=\"77\">3-voud<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Uit bovenstaande tabel lijkt het erop dat als\u00a0<em>n<\/em>\u00a0of\u00a0<em>n<\/em>+2 een 3-voud is dat \u00bd<em>n<\/em>(<em>n<\/em>+1) ook een 3-voud is.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En omdat dit artikel met wiskunde te maken heeft moeten we dat dan ook maar even bewijzen.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">De stelling is dus: Als\u00a0<em>n<\/em>\u00a0een 3-voud is of als\u00a0<em>n<\/em>+2 een 3-voud is dan is \u00bd<em>n<\/em>(<em>n<\/em>+1) ook een 3-voud.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">We beginnen het bewijs met een lemma, dat is een hulpstelling die zo voor de hand ligt dat we er geen bewijs bij leveren.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Lemma: Als je een 3-voud met een ander natuurlijk getal vermenigvuldigt is het product ook weer een 3-voud.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Bewijs:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">I:\u00a0<em>n<\/em>=3<em>v<\/em>\u00a0\u00e0\u00a0\u00bd(3<em>v<\/em>)(3<em>v<\/em>+1)\u00a0\u00e0\u00a0\u00bd(9<em>v<\/em><sup>2<\/sup>+3<em>v<\/em>) (x2 [lemma])\u00a0\u00e0\u00a09<em>v<\/em><sup>2<\/sup>+3<em>v<\/em>\u00a0= 3(3<em>v<\/em><sup>2<\/sup>+1), is dus een 3-voud.<br \/>\nII:\u00a0<em>n<\/em>=3<em>v<\/em>+1\u00a0\u00e0\u00a0\u00bd(3<em>v<\/em>+1)(3<em>v<\/em>+2)\u00a0\u00e0\u00a0\u00bd(9<em>v<\/em><sup>2<\/sup>+9<em>v<\/em>+2) (x2 [lemma])\u00a0\u00e0\u00a09<em>v<\/em><sup>2<\/sup>+9<em>v<\/em>+2 = 3(3<em>v<\/em><sup>2<\/sup>+3<em>v<\/em>)+2, is dus geen 3-voud.<br \/>\nIII:\u00a0<em>n<\/em>=3<em>v<\/em>+2\u00a0\u00e0\u00a0\u00bd(3<em>v<\/em>+2)(3<em>v<\/em>+3)\u00a0\u00e0\u00a0\u00bd(9<em>v<\/em><sup>2<\/sup>+15<em>v<\/em>+6) (x2 [lemma])\u00a0\u00e0\u00a09<em>v<\/em><sup>2<\/sup>+15<em>v<\/em>+6 = 3(3<em>v<\/em><sup>2<\/sup>+5<em>v<\/em>+2), is dus een 3-voud.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Q.E.D.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Nu we dit weten kunnen we wat gerichter gaan zoeken naar driehoeken die zouden kunnen voldoen om geheel te vullen met triplets.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">We hoeven dus niet te kijken naar bijvoorbeeld t<sub>4<\/sub>, omdat t<sub>4<\/sub>\u00a0geen 3-voud aan zeshoekjes heeft:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-83 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t4.jpg\" alt=\"\" width=\"88\" height=\"84\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Laten we dus maar eens beginnen met t<sub>5<\/sub>:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-84 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t5_0-1.jpg\" alt=\"\" width=\"114\" height=\"106\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Als je even puzzelt dan zie je dat de hoekpunten altijd gevuld moeten worden met een up:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-85 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t5_1.jpg\" alt=\"\" width=\"116\" height=\"109\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Voor de blauwe zeshoekjes blijven er nu de volgende mogelijkheden over:<\/p>\n<table style=\"width: 100%; border-collapse: collapse; border-style: hidden;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 144.75px; border-style: hidden;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-86\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t5_2.jpg\" alt=\"\" width=\"116\" height=\"109\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 144.75px; border-style: hidden;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-87\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t5_3.jpg\" alt=\"\" width=\"116\" height=\"109\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 144.75px; border-style: hidden;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-88\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t5_4.jpg\" alt=\"\" width=\"116\" height=\"109\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 144.75px; border-style: hidden;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-89\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t5_5.jpg\" alt=\"\" width=\"116\" height=\"109\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Hieruit blijkt dat er voor t<sub>5<\/sub>\u00a0geen oplossing is; t<sub>5<\/sub>\u00a0voldoet dus niet.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En na (heel) veel puzzelen blijkt dat ook t<sub>6<\/sub>\u00a0en t<sub>8<\/sub>\u00a0geen oplossing hebben:<\/p>\n<table style=\"border-collapse: collapse; width: 100%;\">\n<tbody>\n<tr>\n<td style=\"width: 50%; border-style: hidden;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-90\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t6.jpg\" alt=\"\" width=\"140\" height=\"128\" \/><\/td>\n<td style=\"width: 50%; border-style: hidden;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-91\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t8.jpg\" alt=\"\" width=\"184\" height=\"174\" \/><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Hier ontstond het vermoeden dat het wel eens lastig zou kunnen worden om een oplossing te vinden, maar na lang puzzelen\u2026 t<sub>9<\/sub>:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-92 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t9.jpg\" alt=\"\" width=\"219\" height=\"207\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">De eerste die een oplossing heeft!<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En tot mijn verbazing en verwondering bleek t<sub>11<\/sub>\u00a0ook te kunnen:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-93 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t11.jpg\" alt=\"\" width=\"265\" height=\"244\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h3><a id=\"resultaat\"><\/a>Resultaat!<\/h3>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En toen begon het \u201cgrote denken\u201d.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Waarom de \u00e9\u00e9n wel en de andere niet? Wat is er aan de hand met de\u00a0t<sub>n<\/sub>\u2019s\u00a0die niet lukken ten opzichte van de\u00a0t<sub>n<\/sub>\u2019s\u00a0die wel lukken?<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Op een strandwandeling van Den Haag naar Hoek van Holland overdacht ik het een en ander. En daar was opeens de ingeving. Hoe weet ik niet, maar het bleek mijn \u201cEureka\u201d naar de oplossing te zijn.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Bij de driehoeken die niet kunnen blijven er altijd 3 over die dan wel horizontaal, verticaal of diagonaal zijn te maken, maar niet in een driehoek-vorm. Ik ben deze\u00a0triples\u00a0(let op, dus geen triplets) H3 gaan noemen en bedacht me dat ik het aantal H3\u2019s per driehoek moest gaan bepalen.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Wederom thuis gekomen ben ik aan de slag gegaan.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Uitgezet in een tabel kwam ik tot de volgende resultaten:<\/p>\n<table width=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"24\"><strong>n<\/strong><\/td>\n<td width=\"70\"><strong>1\/2n(n+1)<\/strong><\/td>\n<td width=\"67\"><strong>3-voud<\/strong><\/td>\n<td width=\"57\"><strong>aantal triplets<\/strong><\/td>\n<td width=\"104\"><strong>resultaat<\/strong><\/td>\n<td width=\"38\"><strong>ups<\/strong><\/td>\n<td width=\"65\"><strong>downs<\/strong><\/td>\n<td width=\"29\"><strong>H3<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">0<\/td>\n<td width=\"70\">0<\/td>\n<td width=\"67\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">0<\/td>\n<td width=\"104\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"65\"><\/td>\n<td width=\"29\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">1<\/td>\n<td width=\"70\">1<\/td>\n<td width=\"67\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"104\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"65\"><\/td>\n<td width=\"29\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">2<\/td>\n<td width=\"70\">3<\/td>\n<td width=\"67\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">1<\/td>\n<td width=\"104\">voldoet, triviaal<\/td>\n<td width=\"38\">1<\/td>\n<td width=\"65\">0<\/td>\n<td width=\"29\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">3<\/td>\n<td width=\"70\">6<\/td>\n<td width=\"67\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">2<\/td>\n<td width=\"104\">voldoet niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"65\"><\/td>\n<td width=\"29\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">4<\/td>\n<td width=\"70\">10<\/td>\n<td width=\"67\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"104\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"65\"><\/td>\n<td width=\"29\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">5<\/td>\n<td width=\"70\">15<\/td>\n<td width=\"67\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">5<\/td>\n<td width=\"104\">voldoet niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"65\"><\/td>\n<td width=\"29\">3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">6<\/td>\n<td width=\"70\">21<\/td>\n<td width=\"67\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">7<\/td>\n<td width=\"104\">voldoet niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"65\"><\/td>\n<td width=\"29\">5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">7<\/td>\n<td width=\"70\">28<\/td>\n<td width=\"67\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"104\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"65\"><\/td>\n<td width=\"29\">7<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">8<\/td>\n<td width=\"70\">36<\/td>\n<td width=\"67\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">12<\/td>\n<td width=\"104\">voldoet niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"65\"><\/td>\n<td width=\"29\">9<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">9<\/td>\n<td width=\"70\">45<\/td>\n<td width=\"67\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">15<\/td>\n<td width=\"104\">voldoet<\/td>\n<td width=\"38\">9<\/td>\n<td width=\"65\">6<\/td>\n<td width=\"29\">12<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">10<\/td>\n<td width=\"70\">55<\/td>\n<td width=\"67\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"104\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"65\"><\/td>\n<td width=\"29\">15<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">11<\/td>\n<td width=\"70\">66<\/td>\n<td width=\"67\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">22<\/td>\n<td width=\"104\">voldoet<\/td>\n<td width=\"38\">13<\/td>\n<td width=\"65\">9<\/td>\n<td width=\"29\">18<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Bij de driehoeken die voldoen (t<sub>2<\/sub>, t<sub>9<\/sub>\u00a0en t<sub>11<\/sub>) is H3 even, ofwel een 2-voud. Bij de driehoeken die niet voldoen (t<sub>3<\/sub>, t<sub>5<\/sub>, t<sub>6<\/sub>\u00a0en t<sub>8<\/sub>) is H3 oneven, dus geen 2-voud.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Zou dit vermoeden juist kunnen zijn?<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Het aantal H3\u2019s van t<sub>12<\/sub>\u00a0is 22, dus zou t<sub>12<\/sub>\u00a0moeten kunnen. En zie het resultaat na wat puzzelen:<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-94 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t12.jpg\" alt=\"\" width=\"282\" height=\"274\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Het aantal H3\u2019s van t<sub>14<\/sub>\u00a0is 30, dus ook even. En dus moet t<sub>14<\/sub>\u00a0ook geheel te vullen zijn:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-full wp-image-95 alignleft\" src=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t14.jpg\" alt=\"\" width=\"330\" height=\"315\" srcset=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t14.jpg 330w, https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/t14-300x286.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 330px) 100vw, 330px\" \/><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Het aantal H3\u2019s van t<sub>15<\/sub>\u00a0is 35 en na heel veel gepuzzel kwam ik niet tot een oplossing.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid concludeer ik dat mijn stelling van de H3\u2019s juist is.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">De vraag is nu echter of er een formule is die de H3\u2019s bij een bepaalde\u00a0t<sub>n<\/sub>\u00a0kan berekenen en voor welke\u00a0<sub>n<\/sub>\u00a0deze formule dan een 2-voud is.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Hier komt wat saai werk voor aan te pas en ik zal u deze details besparen.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">De formule voor het aantal H3\u2019s bij gegeven\u00a0<sub>n<\/sub>\u00a0is: [1\/6<em>n<\/em>(<em>n<\/em>-1)]. De blokhaken hebben hier de wiskundige betekenis van de \u201centier\u201d-functie. Dit betekent dat het resultaat van 1\/6<em>n<\/em>(<em>n<\/em>-1) naar beneden moet worden afgerond op nul decimalen, dus naar het eerste natuurlijke getal kleiner of gelijk aan het resultaat van de formule.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">En de laatste vraag die nu nog moet worden beantwoord is voor welke\u00a0<em>n<\/em>\u00a0de formule [1\/6<em>n<\/em>(<em>n<\/em>-1)] een 2-voud oplevert.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Daarvoor breiden we de laatste tabel nog even iets verder uit:<\/p>\n<table width=\"0\">\n<tbody>\n<tr>\n<td width=\"24\"><strong>n<\/strong><\/td>\n<td width=\"70\"><strong>1\/2n(n+1)<\/strong><\/td>\n<td width=\"58\"><strong>3-voud<\/strong><\/td>\n<td width=\"57\"><strong>aantal triplets<\/strong><\/td>\n<td width=\"113\"><strong>resultaat<\/strong><\/td>\n<td width=\"38\"><strong>ups<\/strong><\/td>\n<td width=\"50\"><strong>downs<\/strong><\/td>\n<td width=\"36\"><strong>H3<\/strong><\/td>\n<td width=\"85\"><strong>[1\/6n(n-1)]<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">0<\/td>\n<td width=\"70\">0<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">0<\/td>\n<td width=\"113\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\"><\/td>\n<td width=\"85\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">1<\/td>\n<td width=\"70\">1<\/td>\n<td width=\"58\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"113\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\"><\/td>\n<td width=\"85\"><\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">2<\/td>\n<td width=\"70\">3<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">1<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet, triviaal<\/td>\n<td width=\"38\">1<\/td>\n<td width=\"50\">0<\/td>\n<td width=\"36\">0<\/td>\n<td width=\"85\">0<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">3<\/td>\n<td width=\"70\">6<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">2<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">1<\/td>\n<td width=\"85\">1<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">4<\/td>\n<td width=\"70\">10<\/td>\n<td width=\"58\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"113\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">2<\/td>\n<td width=\"85\">2<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">5<\/td>\n<td width=\"70\">15<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">5<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">3<\/td>\n<td width=\"85\">3<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">6<\/td>\n<td width=\"70\">21<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">7<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">5<\/td>\n<td width=\"85\">5<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">7<\/td>\n<td width=\"70\">28<\/td>\n<td width=\"58\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"113\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">7<\/td>\n<td width=\"85\">7<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">8<\/td>\n<td width=\"70\">36<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">12<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">9<\/td>\n<td width=\"85\">9<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">9<\/td>\n<td width=\"70\">45<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">15<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet<\/td>\n<td width=\"38\">9<\/td>\n<td width=\"50\">6<\/td>\n<td width=\"36\">12<\/td>\n<td width=\"85\">12<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">10<\/td>\n<td width=\"70\">55<\/td>\n<td width=\"58\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"113\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">15<\/td>\n<td width=\"85\">15<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">11<\/td>\n<td width=\"70\">66<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">22<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet<\/td>\n<td width=\"38\">13<\/td>\n<td width=\"50\">9<\/td>\n<td width=\"36\">18<\/td>\n<td width=\"85\">18<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">12<\/td>\n<td width=\"70\">78<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">26<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet<\/td>\n<td width=\"38\">15<\/td>\n<td width=\"50\">11<\/td>\n<td width=\"36\">22<\/td>\n<td width=\"85\">22<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">13<\/td>\n<td width=\"70\">91<\/td>\n<td width=\"58\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"113\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">26<\/td>\n<td width=\"85\">26<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">14<\/td>\n<td width=\"70\">105<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">35<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet<\/td>\n<td width=\"38\">20<\/td>\n<td width=\"50\">15<\/td>\n<td width=\"36\">30<\/td>\n<td width=\"85\">30<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">15<\/td>\n<td width=\"70\">120<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">40<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet w niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">35<\/td>\n<td width=\"85\">35<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">16<\/td>\n<td width=\"70\">136<\/td>\n<td width=\"58\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"113\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">40<\/td>\n<td width=\"85\">40<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">17<\/td>\n<td width=\"70\">153<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">51<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet w niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">45<\/td>\n<td width=\"85\">45<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">18<\/td>\n<td width=\"70\">171<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">57<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet w niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">51<\/td>\n<td width=\"85\">51<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">19<\/td>\n<td width=\"70\">190<\/td>\n<td width=\"58\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"113\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">57<\/td>\n<td width=\"85\">57<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">20<\/td>\n<td width=\"70\">210<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">70<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet w niet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">63<\/td>\n<td width=\"85\">63<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">21<\/td>\n<td width=\"70\">231<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">77<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet w wel<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">70<\/td>\n<td width=\"85\">70<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">22<\/td>\n<td width=\"70\">253<\/td>\n<td width=\"58\"><\/td>\n<td width=\"57\"><\/td>\n<td width=\"113\"><\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">77<\/td>\n<td width=\"85\">77<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td width=\"24\">23<\/td>\n<td width=\"70\">276<\/td>\n<td width=\"58\">3-voud<\/td>\n<td width=\"57\">92<\/td>\n<td width=\"113\">voldoet<\/td>\n<td width=\"38\"><\/td>\n<td width=\"50\"><\/td>\n<td width=\"36\">84<\/td>\n<td width=\"85\">84<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Uit deze tabel kun je nu destilleren dat wanneer\u00a0<em>n<\/em>+3,\u00a0<em>n<\/em>+1,\u00a0<em>n<\/em>\u00a0of\u00a0<em>n<\/em>+2 een 12-voud is [1\/6<em>n<\/em>(<em>n<\/em>-1)] een 2-voud is.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Het bewijs gaat analoog aan het eerste bewijs van dit artikel, maar is saai en tijdrovend en laat ik daarom achterwege.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">De puzzel is wat mij betreft opgelost en ik hoop dat ik een kijkje heb kunnen geven in het proces naar de oplossing toe.<\/p>\n<p style=\"font-weight: 400;\">Wiskunde is en blijft toch een mooi en boeiend vakgebied!<\/p>\n<p><span style=\"font-size: 8pt;\">[<a href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/raadseltjes\/oplossing-raadsel-8\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Oplossing raadsel 8<\/a>]<\/span><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Inleiding Een tijdje geleden gaf een bevriende wiskundige mij de volgende puzzel: Voor welke\u00a0n\u00a0kun je een driehoek, gestapeld met zeshoekjes, met basis\u00a0n\u00a0geheel vullen met triplets, waarbij een triplet een driehoekje met 3 zeshoekjes is? In dit artikel wil ik u meenemen met mijn zoektocht naar de oplossing van deze puzzel. De puzzel Eerst maar even [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2061,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_lmt_disableupdate":"no","_lmt_disable":"","footnotes":""},"class_list":["post-76","page","type-page","status-publish","hentry"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.3 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Triplets puzzel - Wiskunst<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"nl_NL\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Triplets puzzel - Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"og:description\" content=\"Inleiding Een tijdje geleden gaf een bevriende wiskundige mij de volgende puzzel: Voor welke\u00a0n\u00a0kun je een driehoek, gestapeld met zeshoekjes, met basis\u00a0n\u00a0geheel vullen met triplets, waarbij een triplet een driehoekje met 3 zeshoekjes is? In dit artikel wil ik u meenemen met mijn zoektocht naar de oplossing van deze puzzel. De puzzel Eerst maar even [&hellip;]\" \/>\n<meta property=\"og:url\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/\" \/>\n<meta property=\"og:site_name\" content=\"Wiskunst\" \/>\n<meta property=\"article:modified_time\" content=\"2024-03-26T09:57:38+00:00\" \/>\n<meta property=\"og:image\" content=\"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/up.jpg\" \/>\n<meta name=\"twitter:card\" content=\"summary_large_image\" \/>\n<meta name=\"twitter:label1\" content=\"Geschatte leestijd\" \/>\n\t<meta name=\"twitter:data1\" content=\"11 minuten\" \/>\n<script type=\"application\/ld+json\" class=\"yoast-schema-graph\">{\"@context\":\"https:\\\/\\\/schema.org\",\"@graph\":[{\"@type\":\"WebPage\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/triplets-puzzel\\\/\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/triplets-puzzel\\\/\",\"name\":\"Triplets puzzel - Wiskunst\",\"isPartOf\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\"},\"primaryImageOfPage\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/triplets-puzzel\\\/#primaryimage\"},\"image\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/triplets-puzzel\\\/#primaryimage\"},\"thumbnailUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/01\\\/up.jpg\",\"datePublished\":\"2022-01-20T12:01:03+00:00\",\"dateModified\":\"2024-03-26T09:57:38+00:00\",\"breadcrumb\":{\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/triplets-puzzel\\\/#breadcrumb\"},\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"ReadAction\",\"target\":[\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/triplets-puzzel\\\/\"]}]},{\"@type\":\"ImageObject\",\"inLanguage\":\"nl-NL\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/triplets-puzzel\\\/#primaryimage\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/01\\\/up.jpg\",\"contentUrl\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/wp-content\\\/uploads\\\/2022\\\/01\\\/up.jpg\",\"width\":45,\"height\":42},{\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/triplets-puzzel\\\/#breadcrumb\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Home\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"Wiskunde is leuk\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Nieuwe artikelen\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Artikel 00-0F\",\"item\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/index.php\\\/wiskunde-is-leuk\\\/nieuwe-artikelen\\\/artikel-00-0f\\\/\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":5,\"name\":\"Triplets puzzel\"}]},{\"@type\":\"WebSite\",\"@id\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/#website\",\"url\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/\",\"name\":\"Wiskunst\",\"description\":\"2\u221e\u2227&gt;\",\"potentialAction\":[{\"@type\":\"SearchAction\",\"target\":{\"@type\":\"EntryPoint\",\"urlTemplate\":\"https:\\\/\\\/wiskunst.nl\\\/?s={search_term_string}\"},\"query-input\":{\"@type\":\"PropertyValueSpecification\",\"valueRequired\":true,\"valueName\":\"search_term_string\"}}],\"inLanguage\":\"nl-NL\"}]}<\/script>\n<!-- \/ Yoast SEO plugin. -->","yoast_head_json":{"title":"Triplets puzzel - Wiskunst","robots":{"index":"index","follow":"follow","max-snippet":"max-snippet:-1","max-image-preview":"max-image-preview:large","max-video-preview":"max-video-preview:-1"},"canonical":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/","og_locale":"nl_NL","og_type":"article","og_title":"Triplets puzzel - Wiskunst","og_description":"Inleiding Een tijdje geleden gaf een bevriende wiskundige mij de volgende puzzel: Voor welke\u00a0n\u00a0kun je een driehoek, gestapeld met zeshoekjes, met basis\u00a0n\u00a0geheel vullen met triplets, waarbij een triplet een driehoekje met 3 zeshoekjes is? In dit artikel wil ik u meenemen met mijn zoektocht naar de oplossing van deze puzzel. De puzzel Eerst maar even [&hellip;]","og_url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/","og_site_name":"Wiskunst","article_modified_time":"2024-03-26T09:57:38+00:00","og_image":[{"url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/up.jpg","type":"","width":"","height":""}],"twitter_card":"summary_large_image","twitter_misc":{"Geschatte leestijd":"11 minuten"},"schema":{"@context":"https:\/\/schema.org","@graph":[{"@type":"WebPage","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/","name":"Triplets puzzel - Wiskunst","isPartOf":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website"},"primaryImageOfPage":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/#primaryimage"},"image":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/#primaryimage"},"thumbnailUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/up.jpg","datePublished":"2022-01-20T12:01:03+00:00","dateModified":"2024-03-26T09:57:38+00:00","breadcrumb":{"@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/#breadcrumb"},"inLanguage":"nl-NL","potentialAction":[{"@type":"ReadAction","target":["https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/"]}]},{"@type":"ImageObject","inLanguage":"nl-NL","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/#primaryimage","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/up.jpg","contentUrl":"https:\/\/wiskunst.nl\/wp-content\/uploads\/2022\/01\/up.jpg","width":45,"height":42},{"@type":"BreadcrumbList","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/triplets-puzzel\/#breadcrumb","itemListElement":[{"@type":"ListItem","position":1,"name":"Home","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/"},{"@type":"ListItem","position":2,"name":"Wiskunde is leuk","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/"},{"@type":"ListItem","position":3,"name":"Nieuwe artikelen","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/"},{"@type":"ListItem","position":4,"name":"Artikel 00-0F","item":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wiskunde-is-leuk\/nieuwe-artikelen\/artikel-00-0f\/"},{"@type":"ListItem","position":5,"name":"Triplets puzzel"}]},{"@type":"WebSite","@id":"https:\/\/wiskunst.nl\/#website","url":"https:\/\/wiskunst.nl\/","name":"Wiskunst","description":"2\u221e\u2227&gt;","potentialAction":[{"@type":"SearchAction","target":{"@type":"EntryPoint","urlTemplate":"https:\/\/wiskunst.nl\/?s={search_term_string}"},"query-input":{"@type":"PropertyValueSpecification","valueRequired":true,"valueName":"search_term_string"}}],"inLanguage":"nl-NL"}]}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/76","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=76"}],"version-history":[{"count":25,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/76\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2045,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/76\/revisions\/2045"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2061"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wiskunst.nl\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=76"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}