Inhoud 2025 is een getal met een aantal interessante eigenschappen. In dit artikel gaan we een aantal van die eigenschappen noemen. Wanneer je het product tabel van de getallen 1 t/m 9 maakt en vervolgens al deze producten optelt dan krijg je 2025: Stel dat je de volgende kubussen hebt: een kubus van 1×1×1, van 2×2×2, van 3×3×3, …, van 8×8×8 en van 9×9×9 en je bouwt daar een piramide van (met de grootste onder t/m de kleinste boven) dan heb je precies 2025 kubussen van 1×1×1. Wiskundig ziet dat er zo uit: Bewijs Hier volgt een simpel bewijs voor 13+23+33+43+53+63+73+83+93 = 1+8+27+64+125+216+343+512+729 = 2025 Maar laten we dit maar even veralgemeniseren: Een algemene formule voor het optellen van derde machten luidt: Dit kan bewezen worden door volledige inductie: a) voor n=1 geldt: b) voor n>1 geldt: I) II) En uit de berekeningen blijkt dat I) en II) gelijk zijn. Uit a) en b) volgt hetgeen we moesten bewijzen ofwel q.e.d. Als je de getallen van 1 t/m 9 bij elkaar optelt en daar vervolgens het kwadraat van neemt dan krijg je 2025. In wiskundige notatie: De som van de opeenvolgende getallen vanaf 1 t/m 9 = 45. Ook hier bestaat een algemene formule voor: Het bewijs voor deze formule vindt u in het artikel over bewijzen. Zoals we hierboven zagen is Is dat nu toeval of niet? Nee, dat is het niet. En het bewijs daarvoor is heel simpel: We weten dat en dat Welnu, dan is We hebben hierboven gezien dat we in de formules voor n steeds 9 moeten invullen om tot 2025 te komen. Ook de product tabel loopt tot en met 9. En wat wil nu het geval? De som der cijfers van 2025 = 2+0+2+5 = 9. Het getal 2025 is ook te schrijven als het volgende merkwaardige merkwaardige product: (20+25)2 = 452 = 2025 Inleiding
Som van product tabel
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
S(r)
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
45
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
90
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
135
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
180
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
225
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
270
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
315
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
360
9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
405
2025
Som van derde machten
Kwadraat van som
Som van derde machten = Kwadraat van som
Som der cijfers
Merkwaardig product
2025
\sum\limits_{k=1}^{9}k^{3}=2025
\sum\limits_{k=1}^{9}k^{3}=2025
\sum\limits_{k=1}^{n}k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}= \frac{n^{2}\left ( n^{2}+2n+1 \right )}{4} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}
\sum\limits_{k=1}^{1}k^{3} = \frac{1^{2}(1+1)^{2}}{4} = 1^{3} = \frac{1\cdot 4}{4} = \frac{4}{4} = 1
\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{3} = \frac{\left ( n+1 \right )^{2}\left ( n+2 \right )^{2}}{4} = \frac{\left ( n^{2}+2n+1 \right )\left ( n^{2}+4n+4 \right )}{4} = \frac{n^{4}+4n^{3}+4n^{2}+2n^{3}+8n^{2}+8n}n^{2}+4n+4{4} = \frac{n^{4}+6n^{3}+13n^{2}+12n+4}{4}
\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^{3} = \sum\limits_{k=1}^{n}k^{3}+\left ( n+1 \right )^{3} = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}}{4}+n^{3}+3n^{2}+3n+1 = \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}+4n^{3}+12n^{2}+12n+4}{4} = \frac{n^{4}+6n^{3}+13n^{2}+12n+4}{4}
\left(\sum\limits_{k=1}^{9}k\right)^{2}=2025
\sum\limits_{k=1}^{n}k = \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}
\sum\limits_{k=1}^{9}k^{3} = \left ( \sum\limits_{k=1}^{9}k\right )^{2}=2025
\sum\limits_{k=1}^{n}k^{3} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}
\sum\limits_{k=1}^{n}k = \frac{n\left ( n+1 \right )}{2}
\left ( \sum\limits_{k=1}^{n}k \right )^{2} = \left ( \frac{n\left ( n+1 \right )}{2} \right )^{2} = \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{2^{2}} = \frac{n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}}{4} = \sum\limits_{k=1}^{n}k^{3}