Inhoud
Deze pagina gaat over onopgeloste problemen in de wiskunde die eenvoudig zijn de formuleren zodat een kind, bij wijze van spreken, begrijpt waarover het gaat maar waar de wiskunde tot op heden geen oplossing voor heeft kunnen geven. We gaan dus niet in op problemen zoals de Riemann hypothese. Is het belangrijk dat deze, of soortgelijke, problemen worden opgelost? Wanneer u beroemd wil worden los dan één van deze problemen op! Er zijn oneindig veel priemgetallen. Dat is al eeuwen geleden bewezen (zie Bewijzen) en er zijn meer bewijzen voor deze stelling. Laten we eens kijken naar het begin van de rij priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199 Als we kijken naar de onderlinge verschillen tussen twee opeenvolgende priemgetallen dan valt op dat er veel paren zijn met een onderling verschil van 2: 3 en 5, 5 en 7, 11 en 13, 17 en 19, 29 en 31, 41 en 43, 59 en 61, 71 en 73, 101 en 103, 107 en 109, 137 en 139, 149 en 151, 179 en 181, 191 en 193, 197 en 199, … Deze paren heten priemtweelingen, ofwel een priemtweeling is een tweetal opeenvolgende priemgetallen met onderling verschil van 2. Hoe ver men ook in de rij (opeenvolgende) priemgetallen heeft gekeken, overal komen ze voor. [Excuses! Dit is een aangepaste tekst omdat er in de vorige editie (ernstige) fouten waren geslopen.] Een volmaakt getal, ook wel perfect getal genoemd, is een getal dat je kunt schrijven als de som van de “echte” delers van dat getal. Onder de echte delers van een getal wordt verstaan: Alle delers behalve het getal zelf (zie ook Getal-eigenschappen). Dit verhaal gaat over even volmaakte getallen! Zo is 6 bijvoorbeeld een volmaakt getal, want de echte delers van 6 zijn 1, 2 en 3 en 1 + 2 + 3 = 6. Dit is ook het kleinste volmaakte getal. Het volgende getal is 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 en 1, 2, 4, 7 en 14 zijn de echte delers van 28. De volgende is 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Daarna komt 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064. Volmaakte getallen worden dus, kennelijk, snel groter en dat is ook zo. Het 5e volmaakte getal is namelijk 33.550.336. Er is echter een mooie formule om volmaakte getallen te genereren: Als een priemgetal geschreven kan worden als 2n – 1 dan heet zo’n priemgetal een Mersenne-priemgetal, vernoemd naar de Franse priester en wiskundige Marin Mersenne (16e / 17e eeuw). Als 2n – 1 een Mersenne-priemgetal is, dan is n (de exponent) ook een priemgetal. Mersenne-priemgetallen worden aangegeven als Mp, waarbij p de exponent is (en p is dus priem). Laten we eens kijken naar de ontbindingen van de, tot nog toe in dit artikel, gevonden volmaakte getallen: 6 = 21 × (22 – 1) = 21 × M2, De factoren tussen haakjes zijn allemaal Mersenne-priemgetallen. Merk op dat M11 = 2047 geen priemgetal is (2047 = 23 × 89). De formule voor een volmaakt getal is: Als (2p – 1) priem is dan is 2p-1 × (2p – 1) een volmaakt getal. Het volgende priemgetal is 17 en 217-1 is priem dus 216 × (217 – 1) = 8589869056 is het volgende (6e) volmaakte getal. Het is wiskundig bewezen dat ieder even volmaakt getal volgens bovenstaande formule te maken is (en vice versa, dus ieder even volmaakt getal is van de vorm 2n-1 × (2n – 1) waarbij 2n – 1 een priemgetal is). Bewijs Alvorens we naar het generieke bewijs gaan kijken gaan we eerst 496 (3e perfecte getal) “ontleden”, want dit geeft een concreet beeld van hoe het bewijs eruit gaat zien. 496 = 1 + 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 (dit zijn de “echte” delers van 496). Omdat we zo meteen 31 buiten haakjes gaan halen voeg ik eerst 496 zelf toe aan de som. We krijgen dan dus 2 maal het perfecte getal 496: 2 × 496 = 1 + 2 +4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 + 496 = Bedenk wel dat dit laatste resultaat dus 2 keer 496 is, dus 2 × 496 = 25 × (25 – 1). Maar dat betekent dus dat 496 = 24 × (25 – 1), precies volgens de formule! We gaan nu kijken naar de som der delers van 2n-1 × (2n – 1) waarbij 2n-1 een priemgetal is. De delers van een 2e macht zijn niets anders dan de getallen 2n, waarbij n loopt van 0 naar de exponent. We krijgen dus: (1 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1)(2n – 1) = Merk op dat het laatste getal [2n-1(2n – 1)] het getal zelf is; dit is dus de dubbele som! We gaan verder: = (1 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1) + (2n-1)(1 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1) = Stel nu T = 1 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1, dan is En als we deze twee netjes onder elkaar zetten dan kunnen we ze van elkaar aftrekken: 2T = 0 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1 + 2n We hebben dus 2T – T = T = 2n – 1. Dus 2n(1 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1) = En tot slot moeten we ons bedenken dat we met een dubbele som te maken hebben waardoor we het laatste getal [2n(2n-1)] door 2 moeten delen en er 2n-1(2n-1) over blijft! Alle, tot nog toe gevonden volmaakte getallen zijn even. En dat leidt tot de vraag: Dit probleem kwam ik tegen op Numberphile in een artikel van Matt Parker. Omdat het niet echt een naam had heb ik dit zelf “Parker Product Chains” genoemd. Het gaat als volgt: Je krijgt zo een ketting van getallen. Alle getallen van 0 t/m 9 hebben een kettinglengte van 0 (triviaal). Het getal 10 (t/m 24) heeft een kettinglengte van 1. Het getal 10 is ook het eerste (kleinste) getal met een kettinglengte van 1: 10 → 0 (=1 × 0). Voor de rest van dit verhaal zoeken we steeds het kleinste getal met een bepaalde kettinglengte. Het getal 25 is het kleinste getal met een kettinglengte van 2 (10 → 0). Het getal 39 is het kleinste getal met een kettinglengte van 3 (27 → 14 → 4). Zie verder onderstaande tabel: En hier stopt de tabel… Tot op heden is er geen getal gevonden dat een kettinglengte groter dan 11 oplevert. Overigens heb ik de resultaten uit bovenstaande tabel met een Python-programmaatje verkregen. Met een wat uitgebreidere versie van dat Python-programma ben ik verder gaan zoeken. Hoe doet ie dat? Het is uiteraard onmogelijk om alle getallen tot tien octiljoen te testen. En daarom is de wiskunde zo handig. Lang niet alle getallen komen in aanmerking voor dit probleem. Als eerste moet je je realiseren dat bijvoorbeeld 123, 321, 132 etc. allemaal hetzelfde product opleveren, daarom hoef je alleen maar 123 te testen. Verder zal een 0 in een getal een product van 0 opleveren wat de ketting dus meteen stopt. Ook een 1 legt geen enkel gewicht in de schaal. En de combinatie van een even getal met 5 levert in de volgende stap ook een 0 op, waarmee de ketting dus weer tot een eind komt. En Python heeft de prettige eigenschap van zogenaamde “comprehensions”, dit is een manier om op een handige manier lijsten te vullen waar ik dankbaar gebruik van maak: En in de functie test kijk ik dan of er een even getal en een 5 in voorkomt. Het programma dat de informatie van bovenstaande tabel oplevert test daarvoor maar 173.603 getallen en dat is vele malen minder dan 277.777.788.888.899. Op mijn simpele laptopje heeft Python daar dan ook maar 1,8 seconden voor nodig. Het lijkt erop dat er geen getallen zijn met een langere ketting dan 11, maar dat moet dan wel bewezen worden. Nog zo’n mooi onopgelost probleem. Het vermoeden is vernoemd naar Lothar Collatz (1910 – 1990), een Duits wiskundige, die het vermoeden in 1937 opperde. Neem een willekeurig natuurlijk getal (dus positief geheel). Herhaal met dit nieuwe getal bovenstaande procedure. Het vermoeden is nu dat je altijd op 1 zult eindigen. In wiskundige termen ziet het er als volgt uit: ∀ n ∈ℕ > 0 geldt: Voorbeelden: n = 5, dan 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1, Inmiddels zijn alle getallen tot zo’n 300 triljoen getest en alle voldoen aan het vermoeden. Het kan dus zijn dat er getallen bestaan die ofwel nooit eindigen ofwel in een ander getal (of lus) eindigen. Voor meer informatie zie ook wikipedia. Inleiding
Nee en ja.
Nee, omdat het geen belangwekkende problemen voor de wiskunde zijn.
Ja, omdat de manier van oplossen nieuwe inzichten kan verschaffen voor het oplossen van wel belanghebbende problemen in de wiskunde die dan ook weer gevolgen kunnen hebben voor andere wetenschappen.Priemtweelingen
Onopgelost: Zijn er oneindig veel priemtweelingen?
Volmaakte getallen
28 = 22 × (23 – 1) = 22 × M3,
496 = 24 × (25 – 1) = 24 × M5,
8128 = 26 × (27 – 1) = 26 × M7,
33.550.336 = 212 × (213 – 1) = 212 × M13
(1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 31(1 + 2 + 4 + 8 + 16) =
(1 + 31)(1 + 2 + 4 + 8 + 16) =
32 × 31 = 25 × (25 – 1).
(2n – 1) + 21(2n – 1) + 22(2n – 1) + 23(2n – 1) + … + 2n-2(2n – 1) + 2n-1(2n – 1).
(2n-1+1)(1 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1) =
2n(1 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1).
2T = 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1 + 2n.
T = 1 + 21 + 22 + 23 + … + 2n-2 + 2n-1 + 0
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ -/-
2T – T = -1 + 2n = 2n-1
2n.T = 2n(2n-1).Onopgelost: Zijn er oneven volmaakte getallen?
(als ze er zijn dan zijn ze groter dan 101500)Parker Product Chains
Ketting-lengte
Getal
Ketting-producten
0
0
n.v.t.
1
10
0
2
25
10, 0
3
39
27, 14, 4
4
77
49, 36, 18, 8
5
679
378, 168, 48, 32, 6
6
6.788
2688, 768, 336, 54, 20, 0
7
68.889
27648, 2688, 768, 336, 54, 20, 0
8
2.677.889
338688, 27648, 2688, 768, 336, 54, 20, 0
9
26.888.999
4478976, 338688, 27648, 2688, 768, 336, 54, 20, 0
10
3.778.888.999
438939648, 4478976, 338688, 27648, 2688, 768, 336, 54, 20, 0
11
277.777.788.888.899
4996238671872, 438939648, 4478976, 338688, 27648, 2688, 768, 336, 54, 20, 0
Tot nog toe heb ik alle (in aanmerking komende) getallen tot 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (tien octiljoen, zie Nomenclatuur getallen) getest.Onopgelost: Zijn er getallen met een langere product-ketting dan 11 of is 11 het maximum?
Vermoeden van Collatz
Als dit getal even is dan deel je het door 2.
Als dit getal oneven is dan vermenigvuldig je het met 3 en telt er 1 bij op.
n = 11, dan 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1Onopgelost: Is het vermoeden van Collatz waar?
Onopgeloste problemen
inv=inv+[a*100+b*10+c
for a in range(2,10)
for b in range (a,10)
for c in range (b,10)
if test(a*100+b*10+c)]
\begin{matrix}a_{0}=n\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \\a_{i+1}=\left\{\begin{matrix}\frac{a_{i}}{2}\: als\: a_{i}\: even\: is\\ 3a_{i}+1\: als\: a_{i}\: oneven\: is\end{matrix}\right.\\ \end{matrix}