Inhoud
Met de formule van Heron kun je de oppervlakte van een willekeurige driehoek bepalen. De formule van Heron ziet er als volgt uit: a is de zijde tegenover hoek A, b de zijde tegenover hoek B en c is de zijde tegenover hoek C: In dit artikel gaan we deze stelling op een “moderne” manier bewijzen, namelijk met de cosinusregel, die we eerst zullen bewijzen/afleiden. Op het internet zijn diverse sites met hetzelfde bewijs, maar die zijn zeer bondig in de zin dat er veel stappen als vanzelfsprekend worden verondersteld. In dit artikel probeer ik geen enkele stap over te slaan. Omdat we het gaan hebben over de cosinusregel gaan we in deze paragraaf de belangrijkste zaken over goniometrie beknopt behandelen. Voor iedereen die wiskunde in zijn pakket heeft gehad is dit niet meer dan een herhaling. Bekijk onderstaande figuur: We zien een rechthoekige driehoek ABC waarvan we hoek ABC α noemen, hoek CAB β en hoek BCA γ (=90°=½π). We gaan uit van hoek α. De zijde a noemen we de aanliggende rechthoekzijde (t.o.v. hoek α), zijde b noemen we de overstaande rechthoekzijde (t.o.v. hoek α) en zijde c de schuine zijde of hypotenusa. In deze driehoek zijn nu de volgende verhoudingen gedefinieerd: cos(inus)α = aanliggende rechthoekzijde / schuine zijde = a / c Verder geldt dat: De hoeken worden dan wel in graden gemeten, waarbij een cirkel 360° heeft, dan wel in radialen die betrekking hebben op de omtrek van de cirkel met straal 1, dus 2π. Verder is van belang dat cos(90°)=0 . De cosinusregel luidt als volgt: a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosα. Wanneer je in een driehoek de zijden b en c weet en hoek α, dan kun je met deze regel zijde a bepalen. Er zijn twee varianten op deze regel: b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosβ en Bekijk onderstaande driehoek: In deze driehoek zit ook de rechthoekige driehoek bed verscholen. En in een rechthoekige driehoek kunnen we de stelling van Pythagoras toepassen. I) e2 + d2 = b2 ⇒ d2 = b2 – e2 maar ook: II) (c – e)2 + d2 = a2 ⇒ d2 = a2 – (c – e)2 , Uit I) en II) volgt: En nu zijn we er bijna. De cosinus van een hoek in een rechthoekige driehoek is gedefinieerd als: De aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de schuine zijde. In de driehoek hierboven geldt: cosα = e / b en dus e = b.cosα. a2 = b2 + c2 – 2ec = b2 + c2 – 2.b.c.cosα . Merk op dat de cosinusregel een veralgemenisering is van de stelling van Pythagoras. Immers geldt in een rechthoekige driehoek dat α gelijk is aan 90° en de cosinus van 90° is 0, waarmee 2.b.c.cosα gelijk aan nul wordt. En dan hou je dus de stelling van Pythagoras over! De formule van Heron ziet er dus als volgt uit: We pakken de cosinusregel als uitgangspunt en we gaan stap voor stap toewerken naar de formule van Heron waarbij bovenal algebraïsche bewerkingen de hoofdmoot zullen zijn. Laat u hierdoor vooral niet ontmoedigen… We gaan dus uit van: a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosα. De sinα = d / b, dus d = b.sinα. De oppervlakte van een driehoek is ½ × basis × hoogte. In onze driehoek is dat dus: A(ΔABC)= ½ × c × d. Omdat d = b.sinα geldt dus: A(ΔABC) = ½ × c × b.sinα. Met de formule sin2α + cos2α = 1 zien we dat Omdat we hoek α altijd tussen de 0° en 180° kunnen houden geldt dat de sinα altijd groter of gelijk aan 0 is. Daarmee vervalt de – en dus werken we verder met: Dus: Met de cosinusregel kunnen we cosα nu schrijven als: a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosα ⇒ En dus is: cos2α = [(b2 + c2 – a2) / 2b]2. Alles bij elkaar genomen hebben we nu: We gaan moedig verder: We kunnen 1 schrijven als 1 = (4b2c2) / (4b2c2), daarmee krijgen we dan: En omdat √(x/y) = √(x)/√(y) krijgen we: Nu is de √(4b2c2) = 2bc. We kunnen nu dus de wortel uit de noemer verwijderen: Het “getal” voor het wortelteken is niets anders dan: Zodat nu overblijft: Houd vol! We zijn al halverwege… We gaan ons nu concentreren op hetgeen er onder het wortelteken staat. We laten dus voor het gemak even het wortelteken weg; op het einde voegen we die weer toe (en de factor ¼ vergeten we ook niet). We kijken dus naar (2bc)2 – (b2 + c2 – a2)2: Merk op dat hier een verschil van 2 kwadraten staat en daar hebben we een merkwaardig product voor. nl.: x2 – y2 = (x – y)(x + y). We krijgen dan: (2bc)2 – (b2 + c2 -a2)2 = (2bc – (b2 + c2 – a2)) (2bc + (b2 + c2 – a2)) Uitgewerkt levert dat op: (2bc – (b2 + c2 – a2)) (2bc + (b2 +c2 – a2)) = (2bc – b2 – c2 + a2) (2bc + b2 + c2 – a2) We gaan nu de a2 er buiten halen en wat husselen met de volgorde: ((-b2 + 2bc – c2) + a2) ((b2 + 2bc + c2) – a2) Om de – bij de b2 en c2 weg te halen schrijf ik ((-b2 + 2bc – c2) + a2) nu als: (a2 – (b2 – 2bc + c2)). Dan wordt de laatste expressie: (a2 – (b2 – 2bc + c2)) ((b2 + 2bc + c2) – a2) In de binnenste haken zien we respectievelijk de merkwaardige producten (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 en (x + y)2 = x2 + 2xy + y2, We krijgen dus: a2 – (b – c)2) (b + c)2 – a2 En nu kunnen we 2 keer het merkwaardige product x2 – y2 = (x – y)(x + y) zien. Dus krijgen we: (a – (b – c)) (a + (b – c)) ((b + c) – a) ((b + c) + a) en dat is te schrijven als (haakjes wegwerken): (a – b + c) (a + b – c) (b + c – a) (a + b + c). Nu gaan we de halve omtrek erin verwerken: De halve omtrek: s = (a + b + c) / 2 ⇒ (a – b + c) (a + b – c) (b + c – a) (a + b + c) = Tijd om onze ¼ en wortel terug te halen: De 16 onder de wortel vandaan halen: En als we nu tot slot de volgorde van de factoren veranderen dan hebben we eindelijk de formule van Heron: Ik geef toe dat het een heel karwij was maar we hebben iedere mogelijke stap uitgewerkt, en dat was het doel van dit artikel. De methode van Heron heeft niets te maken met de oppervlakte van een driehoek maar alles met worteltrekken. Er zijn verschillende methodes om een (vierkants-) wortel van een getal te trekken (zie Worteltrekken) maar de methode van Heron is een bijzonder snelle manier. Deze manier wordt dan ook in de meeste rekenmachines gebruikt. Het is een iteratieve manier. Dat wil zeggen dat je een aantal dezelfde stappen doorloopt, steeds met het vorige resultaat als invoer. De methode van Heron ziet er als volgt uit: Waarbij S het getal is waaruit je de wortel wilt trekken. Deze methode (een beetje te vergelijken met de Newton-Raphson-methode) is zeer snel. Stel dat we √318 willen bepalen. Voor de eerste ronde (0) moeten we een starwaarde bepalen. Dit kan ieder positief getal zijn, maar het is handig om hier een “educated guess” te nemen. Welk getal in het kwadraat komt in de buurt van 318. Wanneer je dit uit het hoofd doet dan weet je dat 152=225 en 202=400, dus een getal ergens tussen de 15 en 20 is een goede startwaarde voor x0. √318 ≈ 17,8325545001… Laten we x0 = 17 nemen, dan Je ziet dat we al na 3 iteraties op 10 decimalen nauwkeurig zitten. Kiezen we het startgetal “ongelukkig”, zeg x0 = 2, dan duurt het 7 iteraties, wat nog steeds heel erg snel is. Toch is het handig om de x0 een beetje handig te kiezen. En daar zijn wel degelijk (snelle) methodes voor. Eén zo’n methode is de lineaire schatting (zie voor uitgebreide uitleg https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_algorithms#Linear_estimates) en ziet er als volgt uit: De a en de n in bovenstaande formule verkrijg je door S te schrijven in wetenschappelijke notatie, waarbij n even moet zijn. Dus 318 schrijf je dan als 3,18E2 (=3,18 × 102). Hier is dus a=3,18 en n=2. Het startgetal bereken je dan met de bovenste van de twee formules; dat wordt dan 17,3. In Excel vba zou een UDF (User Defined Function) er als volgt kunnen uitzien: Function BepaalX0(getal) g = getal Nog een opmerking tot slot: Heron heeft deze methode niet zelf bedacht want deze methode werd al veel eerder gebruikt, maar hij heeft hem wel beschreven.Inleiding
De formule die je waarschijnlijk op school hebt geleerd luidt: De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de halve basis keer de hoogte. In formulevorm: A(Δabc)=½basis×hoogte. Maar het is vaak moeilijk om de hoogte op een basis te bepalen. Met de formule van Heron heb je hier geen last van.
Goniometrie
sin(us)α = overstaande rechthoekzijde / schuine zijde = b / c
tan(gens)α = overstaande rechthoekzijde / aanliggende rechthoekzijde = b / a = sinα / cosα.
sin2α + cos2α = 1 .De cosinusregel
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosγ.
Nu is (c – e)2 een merkwaardig product dat we kunnen uitwerken:
(c – e)2 = c2 – 2ec + e2 en dus:
d2 = a2 – [c2 – 2ec + e2] = a2 – c2 + 2ec – e2
b2 – e2 = a2 – c2 + 2ec – e2 ⇒
b2 = a2 – c2 + 2ec ⇒
b2 – a2 = -c2 + 2ec ⇒
-a2 = -b2 – c2 + 2ec ⇒
a2 = b2 + c2 – 2ec .
Substitueren we dit in de laatste formule dan krijgen we:De formule van Heron
sin2α = 1 – cos2α en dus dat
sinα = ±√(1 – cos2α).
sinα = √(1 – cos2α)
A(ΔABC) = ½ × c × b.sinα = ½ × c × b × √(1 – cos2α).
a2 – b2 – c2 = -2.b.c.cosα ⇒
2.b.c.cosα = b2 + c2 – a2 ⇒
cosα = (b2 + c2 – a2) / 2b .
a + b + c = 2s ⇒
a + b = 2s – c en
a + c = 2s – b en
b + c = 2s – a .
(a + c – b) (a + b – c) (b + c – a) (a + b + c) =
(2s – b – b) (2s – c – c) (2s – a – a) 2s =
(2s – 2b) (2s – 2c) (2s – 2a) 2s =
2(s – b) 2(s – c)2 (s – a) 2s =
2.2.2.2(s – b) (s – c) (s – a) s =
16(s – b) (s – c)(s – a) s .De methode van Heron
x1 ≈ 17,8529411764…
x2 ≈ 17,8325661401…
x3 ≈ 17,8325545001…
x4 ≈ 17,8325545001,…
Dim g, e, r
e = 0
Do While g \ 100 > 0
g = g \ 100
e = e + 1
Loop
If g < 10 Then
r = (0.28 * g + 0.89) * 10 ^ e
Else
r = (0.089 * g + 2.8) * 10 ^ e
End If
BepaalX0 = r
End Function
Formule van Heron
A(\Delta ABC)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \small \text{, met s = }\frac{1}{2}(a+b+c)
A(\Delta ABC)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \small \text{, met s = }\frac{1}{2}(a+b+c)
A(\Delta ABC)=\frac{1}{2}bc\sqrt{1-cos^{2}\alpha}= \\ \frac{1}{2}bc\sqrt{1-\left( \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} \right)^{2}}= \\ \frac{1}{2}bc\sqrt{1-\frac{\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}}{4b^{2}c^{2}}}
A(\Delta ABC)=\frac{1}{2}bc\sqrt{\frac{4b^{2}c^{2}-\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}}{4b^{2}c^{2}}}
A(\Delta ABC)=\frac{1}{2}bc{\frac{\sqrt{4b^{2}c^{2}-\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}}}{\sqrt{4b^{2}c^{2}}}}
A(\Delta ABC)=\frac{1}{2}bc\frac{1}{2bc}{\sqrt{4b^{2}c^{2}-\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}}}
\frac{1}{2}bc.\frac{1}{2bc}=\frac{1. \cancel{bc}}{2.2 \cancel{bc}}=\frac{1}{2.2}=\frac{1}{4}
A(\Delta ABC)=\frac{1}{4}{\sqrt{(2bc)^{2}-\left( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right)^{2}}}
A(\Delta ABC)=\frac{1}{4}\sqrt{16(s-b)(s-c)(s-a)s}
A(\Delta ABC)=\frac{1}{4}.\sqrt{16}\sqrt{(s-b)(s-c)(s-a)s}= \\ \frac{1}{4}.4\sqrt{(s-b)(s-c)(s-a)s}= \\ \sqrt{(s-b)(s-c)(s-a)s}
A(\Delta ABC)=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \small \text{, met }s=\frac{1}{2}(a+b+c)
x_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( x_{n}+\frac{S}{x_{n}} \right )
\sqrt{S}=\begin{cases}\left ( 0.28a+0.89\right).10^{n},\text{als a}< 10, \\ \left ( 0.089a+2.8 \right ).10^{n},\text{als a}\geq 10.\end{cases}