Inhoud
In dit artikel gaan we kijken naar de Rationale Wortel Stelling. We gaan met deze stelling bijvoorbeeld een ander bewijs geven van het feit dat √2 irrationaal is (zie ook het bewijs in Bewijzen: De wortel uit 2 is irrationaal ). Allereerst verstaan we onder een “wortel” van een polynoom een oplossing van dat polynoom. De algemene vorm van een polynoom ziet er als volgt uit: anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 Wanneer we de polynoom gelijk aan 0 stellen kunnen we proberen om de oplossingen (“wortels”) te vinden; dus welke waarde(s) kan x hebben. De Rationale Wortel Stelling zegt nu: Wanneer er rationale oplossingen zijn dan is de teller een deler van a0 en de noemer een deler van an. Onder een rationale oplossing verstaan we een breuk p/q (met p, q ∈ ℤ) waarbij p en q relatief priem zijn, ofwel de ggd van p en q is 1, ofwel de breuk p/q kan niet vereenvoudigd worden. Samengevat: Als x=p/q (met p en q gehele getallen) een oplossing is van de vergelijking anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0, dan is p een deler van a0 en q een deler van an. Voor het bewijs maken we, onder andere, gebruik van een generalisering van het Lemma van Euclides (zie ook Hoofdstelling van de rekenkunde): Als n een deler is van a×b en de ggd van n en a is gelijk aan 1, dan is n een deler van b. In wiskundige notatie: Zij n∈ℕ, n|ab en n^a=1, dan n|b. We beginnen met de vergelijking: anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 Als x=p/q een oplossing is, dan p|a0 en q|an. Vullen we x=p/q in dan krijgen we: an(p/q)n + an-1(p/q)n-1 + … + a1(p/q) + a0 = 0 Om de q uit de noemers te krijgen vermenigvuldigen we met qn: anpn + an-1pn-1q + … + a1pqn-1 + a0qn = 0 Als we nu het losse getal (a0qn) naar rechts brengen dan hebben de getallen links allemaal een p gemeen en die kunnen we dan buiten haakjes halen. We krijgen dan nu: p(anpn-1 + an-1pn-2q + … +a1qn-1) = -a0qn Dat laatste betekent nu dus dat p een deler is van -a0qn, dus p|-a0qn. Omdat de ggd van p en q gelijk is aan 1 geldt (volgens het Lemma van Euclides) dat p|-a0 en (logischer wijs) dus ook p|a0. Evenzo kunnen we q buiten haakjes halen en de eerste term naar rechts brengen: q(an-1pn-1 + an-2pn-2q + … + a0qn-1) = -anpn. Dus q|-anpn, en omdat de ggd van p en q gelijk aan 1 is geldt dus ook weer (volgens het Lemma van Euclides) dat q|-an en dus ook q|an. q.e.d. Als de eerste term van de polynoom anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 gelijk is aan 1 (dus an=1) dan is de noemer van x=p/q ook gelijk aan 1 (q|an, dus q|1 maar dan q=1). Dan zijn de rationale oplossingen dus gehele getallen! We kunnen dan dus spreken van Gehele Wortel Stelling. 1. 2. 3. Bewijs: √2 is een oplossing van de vergelijking x2 – 2 = 0. Volgens de Rationale Wortel Stelling zijn de mogelijke kandidaten voor rationale (in dit geval gehele) oplossingen: ±1 en ±2 en dus zeker niet √2. Daarom moet √2 dus irrationaal zijn. 4. Er zijn methodes voor het oplossen van 3e-graads vergelijkingen maar deze zijn nogal omslachtig en zeer bewerkelijk. Laten we eens kijken of de Rationale Wortel Stelling uitkomst kan bieden. Omdat an = 1 kunnen er hooguit één of meer gehele oplossingen zijn (de andere oplossingen zijn dan irrationaal). De mogelijke gehele oplossingen zijn: ±1, ±2 of ±4. De ±1 leveren niets op. De +2 echter wel! Maar hoe nu verder? We kunnen de vergelijking x3 – 5x2 +4x + 4 = 0 nu schrijven (ontbinden) als: (x – 2)( … )=0 Hoe komen we erachter wat er tussen het 2e haakjespaar staat? We krijgen dan: x-2/x3-5x2+4x+4\x2-3x-2 Dus de vergelijking x3 – 5x2 + 4x + 4 = 0 kan nu ontbonden worden als: Rest ons niets anders dan x2 – 3x – 2 = 0 op te lossen om de andere 2 oplossingen te vinden en dat kan met de beroemde abc-formule: De discriminant is b2 – 4ac = (-3)2 – 4.1.-2 = 9 + 8 = 17. x = (3 – √17)/2 ≈ 0,56155 of x = (3 + √17) / 2 ≈ 3,45155. Inleiding
We bekijken hoe deze stelling er uitziet, bewijzen hem, geven een afleiding en kijken we naar wat toepassingen.De Rationale Wortel Stelling
Overigens heeft een ne-graads vergelijking hooguit n oplossingen.Bewijs
Afleiding
Toepassingen
De vergelijking 2x3 + x +1 = 0 heeft geen rationale wortels, want de mogelijke rationale kandidaten zijn ±1 en ±½ en geen van deze getallen voldoen aan de vergelijking.
De vergelijking x3 – 7x + 6 = 0 heeft de volgende kandidaten als (gehele) oplossing (merk op dat a0 hier 1 is): ±1, ±2, ±3 en ±6.
De getallen 1, 2 en -3 voldoen hieraan. En omdat het hier een 3e-graads vergelijking betreft zijn dit dus ook alle oplossingen.
De wortel van 2 (√2) is irrationaal.
Zoek de oplossingen van de vergelijking: x3 – 5x2 + 4x +4 = 0.
Dus 2 is een oplossing voor x; x = 2.
Welnu: Staartdelen (zie ook: Waarom staartdelen wel goed is)!
x3-2x2
—————— -/-
-3x2+4x
-3x2+6x
——————— -/-
-2x+4
-2x+4
————— -/-
0
(x – 2)(x2 – 3x – 2) = 0.