Som der natuurlijke getallen

Stel S0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …, dan divergeert S0 naar oneindig. Of niet?

Deze vraag veroorzaakt sinds een tijdje nogal wat “drukte” op het internet naar aanleiding van een filmpje waarin beweerd wordt dat de som der natuurlijke getallen (wat S0 is) gelijk is aan -1/12.

We gaan eens kijken hoe ze in dat filmpje tot deze conclusie komen. Daarna beantwoorden we de vraag of dit juist is.

Stel (wederom) S0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …
Stel S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … dan wisselt S1 tussen 0 (als S1 een even aantal elementen heeft) en 1 (als S1 een oneven aantal elementen heeft), maar convergeert naar 1/2.
Stel S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – … dan convergeert S2 naar 1/4.

Laten we beginnen met S1:

S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …) = 1 – S1
S1 = 1 – S1 → 2S1 = 1 → S1 = 1/2.

Dan nu S2:

S1      = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – …
S2      = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
————————————————————————————————— -/-
S1 – S2 = 0 + 1 – 2 + 3 – 4 + … = 0 + S2

Dus S1 – S2 = 0 + S2 → S1 = 2S2 → 2S2 = 1/2 → S2 = 1/4.

En nu S0:

S0     = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …
S2     = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …
————————————————————————————————— -/-
S0 – S2 = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 + … = 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …) = 4S0
3S0 = -S2 = -1/4 → S0 = -1/12.

Hierboven is dus algebraïsch aangetoond dat de som der natuurlijke getallen gelijk is aan -1/12.

Maar is dit nu ook waar?
Het antwoord luidt: Natuurlijk niet!
We weten allemaal dat de som der natuurlijke getallen steeds groter wordt en naar oneindig gaat.

Wat gaat hierboven dan fout?
Het verraderlijke zit hem in het is-gelijk-teken (=). Dit is-gelijk-teken is gedefinieerd voor eindige(!) sommen en niet voor oneindige sommen.

Normaal staan we hier niet bij stil omdat we in het dagelijkse leven nu eenmaal zelden of nooit met oneindige sommen worden geconfronteerd.

Maar de wiskunde moet streng zijn.

Hiermee zou dit artikel tot een einde kunnen komen, want we hebben immers de eerste vraag beantwoord.

Maar we gaan nog even door. Een andere vraag die we kunnen stellen is of datgene wat hierboven staat allemaal uit de lucht is gegrepen. En dat is niet het geval.

Oneindige somreeksen

Een somreeks is een optelling van een aantal (reeks) getallen.

Voorbeeld: De som van de eerste 10 natuurlijke getallen is dus 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55.

Wiskundig schrijven we een som met de Griekse hoofdletter S (Sigma):

\sum

De som van de eerste 10 natuurlijke getallen ziet er in de wiskunde dan als volgt uit:

\sum_{k=1}^{10}k = 55

en betekent: Laat k van 1 tot 10 lopen (met stapjes van 1) en tel al deze k’s bij elkaar op.

Wanneer we echter een oneindige somreeks hebben dan kunnen er een aantal uitkomsten mogelijk zijn:

  • De somreeks convergeert; gaat naar een bepaalde waarde toe, met een limiet aan te tonen;
  • De somreeks divergeert; gaat naar (plus of min) oneindig toe;
  • De somreeks alterneert; wisselt tussen verschillende waardes; kan zowel convergeren als divergeren.

Een voorbeeld van een somreeks die convergeert is:

\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...=1

S0 is divergerend, S1 is alternerend convergent en S2 is alternerend divergent.

Voor de rest van het verhaal introduceer ik een nieuw symbool: :=, dus een dubbelepunt gevolgd door een is-gelijk-teken en betekent: “Ken waarde toe aan” en dat is iets anders dan is-gelijk-aan.

Functionaalvergelijkingen

Kijken we weer naar S1 = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – … .
We gaan nu op zoek naar een zogenaamde functionaalvergelijking die deze somreeks representeert. Dit betekent dat we een polynoom zoeken die voor een bepaalde waarde van x de somreeks bepaalt.

Voor S1 kunnen we daarvoor de volgende functionaalvergelijking gebruiken:

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(\text{ - }x)^{n}=1\text{ - }x+x^{2}\text{ - }x^{3}+x^{4}\text{ - }x^{5}+...

Deze functie is gedefinieerd op het domein Df=<-1, 1>. Dit betekent dat binnen het interval <-1, 1> f(x) een waarde heeft. Buiten het domein gaat f(x) naar oneindig toe.

Merk op dat f(1) S1 voortbrengt; daar is het allemaal om te doen.
Het enige probleem hier is dat f(1) niet bestaat, 1 valt immers (net) buiten het domein.

Regulariseren

We gaan nu proberen om f(x) zo “om te buigen” dat f(1) wel bestaat. Dit proces heet regulariseren.

Als we nog eens goed kijken naar f(x) dan zien we dat alle termen, behalve de eerste, een x bevatten. Dit wetende kunnen we f(x) nu ook als volgt schrijven:

f(x) = 1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + … = 1 – x(1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + …) = 1 – x.f(x).

Dus f(x) = 1 – x.f(x).

Delen we beide kant door f(x) dan krijgen we:

f(x)=1\text{ - }xf(x)\rightarrow \frac{f(x)}{f(x)}=\frac{1\text{ - }xf(x)}{f(x)}\rightarrow \newline 1=\frac{1}{f(x)}.\text{ - }x\rightarrow f(x)=\frac{1}{1+x}=g(x)

g(x) is dus de geregulariseerde versie van f(x).

Het domein van g(x) is nu: Dg=ℝ\{-1}.

En dit betekent dat g(1) bestaat en gelijk is aan:

g(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}

En door al dit werk kunnen we nu, met (wiskundig) recht zeggen dat:

S_{1}:=\frac{1}{2}

De somreeks S1 “tendeert” dus naar 1/2.

 

We gaan nu hetzelfde doen voor S2 = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …

De functionaalvergelijking die deze somreeks kan voortbrengen luidt:

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n(\text{ - }x)^{n\text{ - }1}=1\text{ - }2x+3x^{2}\text{ - }4x^{3}+5x^{4}\text{ - }...

De functie f(x) heeft een domein van: Df=<-1,1>.

En S2 wordt voortgebracht door f(1), maar f(1) bestaat niet.

Dus moeten we f(x) gaan regulariseren.

We maken een nieuwe functie g(x) door f(x) te vermenigvuldigen met (x + 1)2 = (x2 + 2x + 1), dus g(x) = (x + 1)2.f(x) .

We krijgen dan:

g(x) = (x2 + 2x + 1)(1 – 2x + 3x2 – 4x3 + 5x4 – …) = x2 + 2x + 1 – 2x3 – 4x2 – 2x + 3x4 + 6x3 + 3x2 – 4x5 – 8x4 – 4x3

Gelijksoortige termen bij elkaar zoeken levert op:

g(x) = 1 + (2x – 2x) + (x2 – 4x2 + 3x2) + (-2x3 + 6x3 – 4x3) + …

Alles wat tussen haakjes staat is gelijk aan 0.
Dus g(x) = 1.

En dus krijgen we:

g(x)=(x+1)^{2}.f(x)=1\rightarrow f(x)=\frac{1}{(x+1)^{2}}

En voor deze geregulariseerde f(x) is het domein: Df=ℝ\{-1}.

En dus bestaat f(1).

f(1)=\frac{1}{(1+1)^{2}}=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}

En daarmee

S_{2}:=\frac{1}{4}

De somreeks S2 “tendeert” dus naar 1/4.

Eta en Zeta

Het is helaas niet zo gemakkelijk om een geregulariseerde functionaalvergelijking voor S0, de som der natuurlijke getallen, te vinden.

Gelukkig hebben beroemde wiskundigen, zoals Euler en Riemann, dit in het verleden al gedaan.

De eta- en zeta-functie zullen ons verder helpen.

De eta-functie (Dirichlet) ziet er als volgt uit:

\eta (s)\sum_{n=1}^{\infty}(\text{ - }1)^{n\text{ - }1}n^{\text{ - }s}=\frac{1}{1^{s}}\text{ - }\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}\text{ - }\frac{1}{4^{s}}+...

De zeta-functie (Riemann), een versimpelde eta-functie, ziet er als volgt uit:

\zeta (s)\sum_{n=1}^{\infty}n^{\text{ - }s}=\frac{1}{1^{s}}\text{ - }\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}\text{ - }\frac{1}{4^{s}}+...

De s uit beide functies is een complex getal, dus s =a+bi, met a,b∈ℝ en i2=-1; a heet het reële deel (ℜ(s)) en b het complexe deel. Het domein van beide functies is dus ℂ, de verzameling van complexe getallen (zie ook het artikel Formule van Euler).

Voor de zeta-functie geldt verder dat deze is gedefinieerd als het reële deel groter dan 1 is, dus ℜ(s) > 1.

Voor de eta-functie geldt dat deze is gedefinieerd voor ℜ(s) > 0.

Nu blijkt dat wanneer we s=-1 in de zeta-functie invullen we S0 als resultaat krijgen:

\zeta (\text{ - }1)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{1}=1+2+3+4+5+...

Het vervelende is alleen dat voor s=-1 de zeta-functie dus niet gedefinieerd is.

We moeten dus een geregulariseerde zeta-functie gaan zoeken en dat is waar de eta-functie ons bij gaat helpen.

We gaan de eta-functie van de zeta-functie aftrekken:

ζ(s)        = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s + …
η(s)        = 1/1s – 1/2s + 1/3s – 1/4s + …
————————————————————————————————————————————— -/-
ζ(s) – η(s) =   0  + 2/2s +   0  + 2/4s + ….

Dus

\zeta (s)\text{ - }\eta (s)=\frac{2}{2^{s}}+\frac{2}{4^{s}}+\frac{2}{6^{s}}+\frac{2}{8^{s}}+...=\newline \frac{2}{2^{s}}(\frac{1}{1^{s}}+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}})=\frac{2}{2^{s}}\zeta (s)

En dus

\zeta (s)\text{ - }\eta (s)=\frac{2}{2^{s}}\zeta (s)\rightarrow \zeta (s)\text{ - }\frac{2}{2^{s}}\zeta (s)=\eta (s)\rightarrow  \newline \zeta (s)(1\text{ - }\frac{2}{2^{s}})=\eta (s)\rightarrow \zeta (s)=\frac{\eta (s)}{1\text{ - }\frac{2}{2^{s}}}

En deze geregulariseerde zeta-functie heeft een domein Dζ=ℂ\{1}.

Merk op dat

\eta (\text{ - }1)=1\text{ - }2+3\text{ - }4+...=S_{2}=\frac{1}{4}

En als we nu s=-1 in de laatste functie invullen krijgen we:

\zeta (\text{ - }1)=\frac{\eta (\text{ - }1)}{1\text{ - }\frac{1}{2^{\text{ - }1}}}=\frac{\eta (\text{ - }1)}{1\text{ - }4}=\frac{\frac{1}{4}}{\text{ - }3}=\text{ - }\frac{1}{3}.\frac{1}{4}=\text{ - }\frac{1}{12}

En daarmee

S_{0}:=\text{ - }\frac{1}{12}

De somreeks S0 tendeert dus inderdaad naar -1/12.

Toch wel een verrassend resultaat.

Die -1/12 komt ook nog op een andere manier in aanraking met S0.

Een algemene formule voor de som van opeen lopende natuurlijke getallen vanaf 1 tot n luidt:

\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)

En als we nu eens gaan kijken naar de grafiek van de functie f(x)=(1/2)x(x+1), met x∈ℝ, dan ziet die er als volgt uit:

De functie is een parabool met nulpunten (-1, 0) en (0, 0).

Kijken we naar de oppervlakte van de parabool onder de x-as, dat is dus tussen de nulpunten, dan krijgen we

\int_{\text{ - }1}^{0}\frac{1}{2}x(x+1)=\int_{\text{ - }1}^{0}\left ( \frac{1}{2}x(x+1) \right )dx=\left [ \frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{2}}{4} \right ]_{\text{ - }1}^{0}=\newline 0\text{ - }(\text{ - }\frac{1}{6}+\frac{1}{4})=\text{ - }\frac{1}{12}

Het blijft toch een fascinerende wereld…

[Oplossing raadsel 9]