Varia

Inhoud

Inleiding

Op deze pagina vindt u onderwerpen die te klein zijn om een eigen pagina te rechtvaardigen maar toch interessant genoeg om er enige aandacht aan te besteden.

Waarom bestaan er geen 6-cijferige palindroom priemgetallen?

Deze vraag kwam ik op Quora tegen. Interessant…

Allereerst: Een palindroom getal is een getal dat van links naar rechts hetzelfde is als van rechts naar links. Voorbeelden: Alle 1-cijferige getallen, 22, 66, 838, 9119, 12321, 246642, etc.

Een 6-cijferig getal bestaat dus uit 6 cijfers in de volgende vorm: abcdef en heeft een waarde van a x 100.000 + b x 10.000 + c x 1.000 + d x 100 + e x 10 + f.

Maar een 6-cijferig palindroom getal heeft de vorm: abccba met als waarde: a x 100.000 + b x 10.000 + c x 1.000 + c x 100 + b x 10 + a en dat kan ik schrijven als 100.001a + 10.010b + 1100c en dat kan ik schrijven als 11(9091a + 910b + 100c). Dus een palindroom getal van zes cijfers is altijd deelbaar door 11. En dus heeft een 6-cijferig palindroom getal meer dan 2 (echte) delers en kan derhalve niet priem zijn.

Weet u nog wat het kenmerk van deelbaarheid is voor 11? Welnu: Tel de cijfers op de even plaatsen bij elkaar op; doe hetzelfde voor de cijfers op de oneven plaatsen. Neem nu het (absolute) verschil tussen beide sommen. Als dit verschil deelbaar is door 11 dan is het gehele getal deelbaar door 11.
Voorbeelden:
121 -> 1+1=2 en 2 -> 2-2=0 is deelbaar door 11 dus 121 ook;
3957 -> 3+5=8 en 9+7=16 -> 16-8=8 is niet deelbaar door 11 dus 3957 ook niet;
1358016 -> 1+5+0+6=12 en 3+8+1=12 -> 12-12=0 is deelbaar door 11 dus 1358016 ook.

Bij een 6-cijferig getal hebben we dus de vorm abccba. Laten we eens kijken wat het kenmerk van deelbaarheid door 11 oplevert:
(a+c+b)-(b+c+a)=(a+c+b)-(a+c+b)=0 is deelbaar door 11 dus abccba ook.

Maar dit geldt voor elk even-cijferig palindroom getal! De som van de cijfers op de even plaatsen minus de som van de cijfers op de oneven plaatsen is altijd 0, dus deelbaar door 11 en kan dus nooit een priemgetal zijn.

Voor palindroomgetallen met een oneven aantal cijfers geldt dit niet en onder deze palindromen zijn genoeg priemgetallen te vinden:
353, 787, 34543, 76667, 3946493, 7987897, 106222601, 399686993, …

Onder de 3-cijferige palindroom getallen zijn er 15 priem;
onder de 5-cijferige palindroom getallen zijn er 93 priem;
onder de 7-cijferige palindroom getallen zijn er 668 priem en
onder de 9-cijferige palindroom getallen zijn er 5172 priem.
Verder is mijn Python programma niet gekomen…

Overigens geldt voor iedere mogelijke palindroom priem dat deze moet beginnen met een 1, 3, 7 of 9, daar het eerste cijfer en het laatste cijfer van een palindroom getal hetzelfde is. Daarom vallen 2, 4, 6 en 8 als begincijfer af omdat het getal dan deelbaar is door 2 en dus zeker geen priem getal is en hetzelfde geldt voor het cijfer 5 omdat dan het getal deelbaar is door 5 en dus ook niet priem is.

Priemen, 6 en 24

Wat hebben de getallen 6 en 24 met priemen te maken?

We bekijken in deze paragraaf naar priemgetallen groter dan 3, maar gelukkig zijn dat er (ook) oneindig veel.

Welnu: Voor of na een priemgetal staat altijd een 6-voud, ofwel een getal dat deelbaar is door 6.

Voorbeelden: 7 wordt voorafgegaan door 6 (is een 6-voud), 23 wordt gevolgd door 24 (is een 6-voud), …

Om dit aan te tonen kijken we naar de getallenlijn:

… , p – 1, p, p + 1, …, waarbij p een priemgetal is.

Het getal p is zeker niet deelbaar door 2. Dit betekent dat zowel p – 1 als p + 1 een even getal is. Eén van de drie getallen p – 1, p of p + 1 moet een 3-voud zijn, want de 3-vouden komen op de getallenlijn natuurlijk ergens in een groepje van 3 voor. Onze p kan geen 3-voud zijn, dus moet p – 1 of p + 1 een 3-voud zijn, maar omdat p – 1 en p + 1 ook even getallen zijn moet dus p – 1 of p + 1 een 6-voud zijn (2 x 3).

Maar nu 24. Ieder kwadraat van een priemgetal is een veelvoud van 24 plus 1, ofwel: p² = 24n + 1.

Goed, we weten dat p te schrijven is als 6k + 1 of 6k – 1 (zie hierboven) met k ∈ ℕ.
Als k een even getal is, zeg 2m (met m ∈ ℕ) dan krijgen we voor p²:

p² = (6k + 1)² = (12m + 1)² = 144m² + 24m + 1 = 24(6m² + m) + 1 of
p² = (6k – 1)² = (12m – 1)² = 144m² – 24m + 1 = 24(6m² – m) + 1

Als k een oneven getal is, zeg 2m + 1 (met m ∈ ℕ) dan krijgen we voor p²:

p² = (6k + 1)² = (12m + 7)² = 144m² + 168m + 49 = 24(6m² + 7m + 2) + 1 of
p² = (6k – 1)² = (12m + 5)² =  144m² + 120m + 25 = 24(6m² + 5m + 1) + 1

In alle vier de gevallen krijgen we een 24-voud + 1.

Maar we kunnen er ook op een andere manier naar kijken: p² is dus kennelijk een “vast” getal plus 1. Om dat “vaste” getal te bepalen kunnen we ook kijken naar p² – 1.

Op de middelbare school hebben we geleerd dat p² – 1 een zogenaamd merkwaardig product is en ontbonden kan worden in (p – 1)(p + 1).

We weten ook dat het product van 2 oneven getallen een oneven getal is, nietwaar?

Dus het kwadraat van een priemgetal (>3) is dus een oneven getal. Dit betekent dat p – 1 en p + 1 even getallen moeten zijn. Sterker nog: p – 1 of p + 1 moet zelfs een 4-voud zijn! Tevens moet p – 1 of p + 1 een 3-voud zijn (zie ook de redenatie hierboven, bij 6).
Kortom: (p – 1)(p + 1) is een product van een 2-voud, een 3-voud en een 4-voud en derhalve dus een veelvoud van 2 x 3 x 4 = 24. En het kwadraat van p is dus een 24-voud + 1.

Anticlimax

De 6-eigenschap en de 24-eigenschap zijn niet exclusief voor priemgetallen.

Dat blijkt uit de uitwerkingen hierboven. In die uitwerkingen kwamen we erachter dat de factoren 2 en 3 (en 4) cruciaal waren voor de eigenschappen.
Dit betekent dat we de 6-eigenschap en de 24-eigenschap hebben aangetoond voor alle getallen die niet de factoren 2 en 3 hebben!

Voorbeelden: 35 wordt gevolgd door 36 (een 6-voud) en 35² = 1225 kan ik schrijven als 24 x 51 + 1, en 35 is geen priemgetal!
143 wordt gevolgd door 144 (een 6-voud) en 143² = 20449 kan ik schrijven als 24 x 852 + 1, en 143 is geen priemgetal!

Is ∞ een getal?

Laten we eens kijken naar drie bekende gevallen, maar nu met ∞ (oneindig) in plaats van een gewoon getal.

Wat is 1^∞?

We weten dat 1^x = 1, want 1 × 1 × … × 1 blijft natuurlijk gewoon 1.

Laten we nu eens kijken naar de volgende limiet:

duiding

Deze limiet gaat inderdaad naar 1; dus nog niets aan de hand.

Maar nu de volgende, beroemde, limiet (van Euler):

duiding

Deze limiet gaan niet naar 1, maar gaat naar e (≈ 2,718282…).

Dus voor 1^∞ hebben we nu 2 verschillende antwoorden. Dit betekent dan dat 1^∞ wiskundig niet gedefinieerd is.

Wat is ∞⁰?

We weten dat x⁰ = 1 voor elke x (ongelijk aan 0). Maar kunnen we voor x ∞ invullen?

Wederom gaan we kijken naar 2 limieten:

duiding

Dit gaat dus nog goed.

Maar nu deze limiet:

duiding

En wederom hebben we twee verschillende uitkomsten!

Dus ook ∞⁰ is wiskundig niet gedefinieerd.

Wat is 0 × ∞?

We weten dat 0 × x = 0, want ieder getal dat je vermenigvuldigt met 0 is 0.

En ook hier gaan we naar twee limieten kijken:

duiding

Dus niets aan de hand.

Maar nu:

duiding

Dus ook hier geldt dat 0 × ∞ wiskundig niet gedefinieerd is.

Conclusie

Bovenstaande voorbeelden laten zien dat ∞ geen gewoon getal is waarmee we kunnen rekenen.

Wees dus altijd zeer voorzichtig met het “begrip” ∞ !!!

Product van priemtweelingen en 8

We beginnen met twee definities:

1. Onder de “digitale som” van een getal verstaan we de som der cijfers;
2. Onder de “digitale wortel” van een getal verstaan we de herhaling van de digitale som totdat een getal van 1 cijfer is overgebleven.

Als voorbeeld kijken we naar het getal 12345. De digitale som is niets anders dan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Om de digitale wortel van 12345 te krijgen moeten we nu de digitale som van 15 bepalen en dat is 1 + 5 = 6.
Dus de digitale wortel van 12345 is 6.

Welnu:

De digitale wortel van het product van een priemtweeling is altijd 8 (mits de priemgetallen groter dan 3 zijn).

Onder een priemtweeling wordt verstaan: Twee opeenvolgende priemgetallen met onderling verschil van 2 (zie ook Priemtweelingen).
Bijvoorbeeld: 5 en 7, 11 en 13, 17 en 19, 29 en 31 etc.

Laten we eens kijken naar 29 en 31. Het product is: 29 × 31 = 899 (natuurlijk gemakkelijk uit te rekenen door het merkwaardige product (a + 1)(a – 1)=a² – 1).
De digitale wortel van 899 is 8 + 9 + 9 = 26 → 2 + 6 = 8, dus 8.

Nog een voorbeeld: 101 en 103: 101 × 103 = 10403; de digitale wortel van 10403 is 1 + 0 + 4 + 0 + 3 = 8.

Maar waarom is dat nu zo?

Allereerst moeten we opmerken dat het bepalen van de digitale wortel van een getal niets anders is dan rekenen modulo 9 (zie ook Klokrekenen).

Uitleg

Kijken we bijvoorbeeld naar 1234 dan is 1234 ≡ 1 (mod 9) en 1 + 2 + 3 + 4 = 10 → 1 + 0 = 1 de digitale wortel en deze zijn gelijk.

Welnu: Kijken we naar de getallenlijn bij een priemtweeling dan ziet deze er als volgt uit:

… n – 1, n, n + 1 …, waarbij n – 1 en n + 1 de priemtweeling is en derhalve n – 1 en n + 1 priem zijn.
Maar dat betekent dat n zelf een 3-voud is, want de drievouden komen elke 3 getallen voor op de getallenlijn.

Laten we zeggen dat n = 3k (k ∈ ℕ), maar dan is (n – 1)(n + 1)=(3k – 1)(3k + 1)=9k² – 1.
Het lijkt mij evident dan 9k² ≡ 0 (mod 9) en dus 9k² – 1 ≡ -1 (mod 9) maar -1 ≡ 8 (mod 9).
En daarom is de digitale wortel van het product van een priemtweeling altijd 8.

Cijfer-sommen en quotiënten

Kijk eens naar de volgende som:

1 + 1 + 1 = 3, voeg nu de drie 1-en samen en deel deze door 3 (de som): 111 ÷ 3 = 37.

Laten we dit ook eens doen met het cijfer 9:

9 + 9 + 9 = 27; 999 ÷ 27 = 37.

Het lijkt erop dat wanneer je drie dezelfde cijfers neemt en je bepaalt daarvan de som en je “plakt” de drie cijfers aan elkaar en deelt dit dan door de som er 37 uitkomt. Is dit ook zo?

Ja.

We moeten dus het volgende bepalen:

Als a∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan is aaa ÷ (a + a + a) = 37.

Bewijs: aaa betekent 100a + 10a + a. Delen we dit door de som (a + a + a) dan krijgen we:

(100a + 10a + a) ÷ (3a) = 100a÷3a + 10a÷3a + 3÷3a = [de a’s in de teller vallen weg met de a’s in de noemer] 100÷3 + 10÷3 + 1÷3 = (100 + 10 + 1)÷3 = 111÷3 = 37.

Geinig, niet waar?

Maar iets dergelijks gaat ook op voor iedere lengte van een getal met dezelfde cijfers.

Laten we eens kijken naar een 5-cijferig getal met dezelfde cijfers.

Bijvoorbeeld: vijf 4-en, dan krijgen we 44444÷(4 + 4 + 4 + 4 + 4) = 44444÷20 = 2222,2.

Het bewijs gaat analoog aan het voorgaande bewijs, dus:

Als Als a∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan is aaaaa ÷ (a + a + a + a + a) = 2222,2.

Bewijs: aaaaa betekent: 10000a + 1000a + 100a + 10a + a. Delen we dit door de som dan krijgen we:

(10000a + 1000a + 100a + 10a + a) ÷ (5a) = 10000÷5a + 1000a÷5a + 100a÷5a + 10÷5a + a÷5a = 10000÷5 + 1000÷5 + 100÷5 + 10÷5 + 1÷5 = 11111÷5 = 2222,2

Bovenstaande bewijs methoden gaan op voor getallen met dezelfde cijfers van iedere lengte.

ℕ-piramide

De verzameling ℕ bestaat uit de natuurlijke getallen; dat zijn alle positieve gehele getallen dus de verzameling {1, 2, 3, 4, …}.

Er zijn vele eigenschappen te vertellen over deze natuurlijke getallen en deze paragraaf laat een opmerkelijke eigenschap zien, namelijk de zogenaamde ℕ-piramide:

n	som																						som
1	3									1	+	2	=	3									3
2	15							4	+	5	+	6	=	7	+	8							15
3	42					9	+	10	+	11	+	12	=	13	+	14	+	15					42
4	90			16	+	17	+	18	+	19	+	20	=	21	+	22	+	23	+	24			90
5	165	25	+	26	+	27	+	28	+	29	+	30	=	31	+	32	+	33	+	34	+	35	165

Op rij 1 zien we aan de linker zijde de eerste twee getallen; 1 en 2. De som van 1 en 2 is 3 en deze zien we op rij 1 aan de rechter zijde.
Op rij 2 beginnen we dan met 4 en zetten daarachter de twee opeenvolgende getallen, 5 en 6 neer. De som van 4, 5 en 6 is 15 en dat is dezelfde som als 7 + 8, die netjes na 4, 5 en 6 komen.
In de volgende rijen zetten we deze methode voort.

De vraag is nu of dit altijd goed blijft gaan.
Dat gaan we uitzoeken.

Merk op dat het eerste getal aan de linker kant van rij n n² is. Het laatste getal aan de linker kant van rij n is n²+n.

Het eerste getal aan de rechter kant van rij n is n²+n+1 en het laatste getal aan de rechter kant van rij n is n²+2n.

De rijen (zowel aan de linker kant als aan de rechter kant) zijn zogenaamde rekenkundige rijen.
Een rekenkundige rij is een rij getallen waarbij een volgend getal dezelfde constante wordt opgeteld.

Om de som van een rekenkundige rij te bepalen kun je gebruik maken van de volgende formule:

Bewijs

We zullen zo zien dat we deze formule voor de linker zijde iets moeten aanpassen. Verder moeten we weten wat t_e en t_l voor beide zijden is (de e staat voor eerste element en de l voor laatste element).

Voor de linker kant van rij n is t_e=n² en t_l=n²+n en
voor de rechter kant van rij n is t_e=n²+n+1 en t_l=n²+2n, zoals we hierboven al hadden gezien.

De formule voor de linker kant van de rij moeten we iets aanpassen. Deze wordt:

Dit is gemakkelijk na te gaan (probeer maar).

Omdat de som van de linker kant van rij n gelijk moet zijn aan de som van de rechter kant van rij n moet dus gelden:

En omdat de noemers aan beide kanten gelijk zijn (namelijk 2) moeten dus de tellers aan beide kanten gelijk zijn.

Dit beteken dat:

(n+1)(n² + n²+n) = n(n²+n+1 + n²+2n)

Eerst de linker kant uitwerken:

(n+1)(n² + n²+n) = (n+1)(2n²+n) = 2n³+n²+2n²+n = 2n³+3n²+n (I).

Nu de rechter kant uitwerken:

n(n²+n+1+n²+2n) = n(2n²+3n+1) = 2n³+3n²+n (II).

En daar I en II gelijk zijn zal de ℕ-piramide voor elke rij n aan de linker zijde dezelfde som hebben als aan de rechter zijde.